Zeigen Sie, dass zwei Lagrange-Funktionen äquivalent sind

Question

Zeigen Sie, dass zwei Lagrange-Funktionen äquivalent sind

Benutzer292868

Ich habe die folgende Frage in einem Übungsblatt gesehen und bin etwas verwirrt:

Gegeben sei die Lagrange-Funktion $L=\frac{1}{2}\dot{r}^2 -\frac{a}{r^2}-b r^2$ , war $a$ Und $b$ sind konstant. Zeigen Sie, dass eine neue Lagrange-Funktion $L'$ ist äquivalent zu $L$ , war $L'$ Ist $L$ in einer neuen Variablen $s=\frac{1}{r}$

Also habe ich die Euler-Lagrange-Gleichungen für die obigen Fälle berechnet und bin zu folgendem gekommen:

$\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial\dot{r}}=\ddot{r}=2a\frac{1}{r^3}-2br= \frac{\partial L}{\partial r}$
$\frac{d}{dt} \frac{\partial L'}{\partial\dot{s}}=\frac{1}{\ddot{s}^3}=2as-2b\frac{1}{s^3}= \frac{\partial L'}{\partial s}$

Wie kann ich nun zeigen, dass 1. und 2. äquivalent sind?

EDIT: Ich habe einen dummen Fehler herausbearbeitet (siehe Kommentare).

JG

Schreiben Sie diese ELEs jeweils als

f (r, \dot{r}, \ddot{r}) = 0, g (s, \dot{s}, \ddot{s}) = 0

$f(r,\,\dot{r},\,\ddot{r})=0,\,g(s,\,\dot{s},\,\ddot{s})=0$ , dann umschreiben

g

$g$ als Funktion von

r, \dot{r}, \ddot{r}

$r,\,\dot{r},\,\ddot{r}$ verwenden

s = 1 / r ⟹ \dot{s} = - \dot{r} / r^{2}

$s=1/r\implies\dot{s}=-\dot{r}/r^2$ usw.

FrodCube

1 / {\ddot{s}}^{3}

$1/\ddot s^3$ ist definitiv nicht gleich

{\ddot{r}}^{3}

$\ddot r^3$ . Wenn Sie dies beheben, sollten Sie das richtige Ergebnis erhalten.

FrodCube

Du hast

\dot{r} = - \frac{\dot{s}}{s^{2}}

$\dot r = -\frac{\dot s}{s^2}$ (auch das L' in deinem Beitrag ist falsch) und

\ddot{s} = \frac{2 {\dot{r}}^{2} - r \ddot{r}}{r^{3}}

$\ddot s=\frac{2\dot r^2 - r \ddot r}{r^3}$

FrodCube

Wechseln Sie jetzt zurück

s

$s$ ,

\dot{s}

$\dot s$ Und

\ddot{s}

$\ddot s$ bezüglich

r

$r$ und seine Derivate

Antworten (1)

Zeigen Sie, dass zwei Lagrange-Funktionen äquivalent sind

Schreiben Sie diese ELEs jeweils als $f(r,\,\dot{r},\,\ddot{r})=0,\,g(s,\,\dot{s},\,\ddot{s})=0$ , dann umschreiben $g$ als Funktion von $r,\,\dot{r},\,\ddot{r}$ verwenden $s=1/r\implies\dot{s}=-\dot{r}/r^2$ usw.
$1/\ddot s^3$ ist definitiv nicht gleich $\ddot r^3$ . Wenn Sie dies beheben, sollten Sie das richtige Ergebnis erhalten.
Du hast $\dot r = -\frac{\dot s}{s^2}$ (auch das L' in deinem Beitrag ist falsch) und $\ddot s=\frac{2\dot r^2 - r \ddot r}{r^3}$
Wechseln Sie jetzt zurück $s$ , $\dot s$ Und $\ddot s$ bezüglich $r$ und seine Derivate

JG · Answer 1

Zuerst, $L$ hat ELE

\ddot{R} = \frac{D}{D T} \frac{\partial L}{\partial \dot{R}} = \frac{\partial L}{\partial R} = \frac{2 A}{R^{3}} - 2 B R .

$\ddot{r}=\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot{r}}=\frac{\partial L}{\partial r}=\frac{2a}{r^3}-2br.$ Seit

s = r^{- 1}

$\color{blue}{s=r^{-1}}$ ,

\dot{s} = - r^{- 2} \dot{r}

$\color{blue}{\dot{s}=-r^{-2}\dot{r}}$ Und

\ddot{s} = 2 r^{- 3} {\dot{r}}^{2} - r^{- 2} \ddot{r}

$\color{blue}{\ddot{s}=2r^{-3}\dot{r}^2-r^{-2}\ddot{r}}$ , Und

R = S^{- 1} ⟹ \frac{1}{2} {\dot{R}}^{2} = \frac{1}{2} (- S^{- 2} \dot{S})^{2} = \frac{1}{2} S^{- 4} {\dot{S}}^{2} .

$r=s^{-1}\implies\frac12\dot{r}^2=\frac12(-s^{-2}\dot{s})^2=\frac12s^{-4}\dot{s}^2.$ Seit

L^{'} = \frac{1}{2} s^{- 4} {\dot{s}}^{2} - a s^{2} - b s^{- 2}

$L^\prime=\frac12s^{-4}\dot{s}^2-as^2-bs^{-2}$ , sein ELE ist

S^{- 4} \ddot{S} - 4 S^{- 5} {\dot{S}}^{2} = \frac{D}{D T} \frac{\partial L}{\partial \dot{S}} = \frac{\partial L}{\partial S} = - 2 A S + 2 B S^{- 3} .

$s^{-4}\ddot{s}-4s^{-5}\dot{s}^2=\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot{s}}=\frac{\partial L}{\partial s}=-2as+2bs^{-3}.$ Setzen Sie nun die blauen Gleichungen in diese ein, um zu zeigen, dass sie auf das ursprüngliche ELE reduziert werden.

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Benutzer292868

JG

FrodCube

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Benutzer292868

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