Wie ist die Flugbahn eines Teilchens unter konstanter Winkelkraft immer senkrecht zu seinem Ortsvektor?

Es handelt sich um eine Frage der klassischen Mechanik, die zwar mit dem Zentralkraftproblem verwandt ist, sich aber davon unterscheidet.

Die Bewegungsgleichung kann wie folgt in Polarkoordinaten ausgedrückt werden:

R ¨ − R θ ˙ 2 = 0 R θ ¨ + 2 R ˙ θ ˙ = F M
mit Anfangsbedingung der Geschwindigkeit Null (was auch immer, nur zur Vereinfachung):
R ( 0 ) = R 0 ,   θ ( 0 ) = 0 ,   R ˙ ( 0 ) = 0 ,   θ ˙ ( 0 ) = 0.

Allerdings bin ich nicht begabt, diese Gleichung analytisch zu lösen. Kannst du mir helfen?

Natürlich hilft das berühmte erste Integral im Zentralkraftproblem, der Drehimpuls, nicht, es zu lösen. Ich glaube, dass die Flugbahn einen Namen hat, ich meine eine aussagekräftige Kurve, aber ich kann sie nicht finden.

Ich bin auch neugierig, ob dieses Problem einem realen physischen System zugeordnet werden kann. Es könnte helfen, es zu lösen.

Sie können es numerisch lösen, wenn Sie eine Vorstellung davon haben möchten, wie die Kurve aussieht, und nicht wissen, wie Sie sie genau lösen sollen
Meinst du senkrecht zu seinem Geschwindigkeitsvektor?
@Farcher Nein. Diese Frage ist eine Routineübung. Dies ist ein schwieriges System von Differentialgleichungen. Mit gleichmäßiger Kreisbewegung hat das nichts zu tun.
@Naptzer Danke für deinen Kommentar. Natürlich weiß ich, wie man es numerisch löst, und ich habe es tatsächlich getan.
Aus der numerischen Berechnung weiß ich nur, dass der Radius (r) sehr schnell zunimmt. Es hilft eigentlich nichts, und ich denke, eine Handschriftkurve reicht aus, um die Form der Flugbahn zu kennen.

Antworten (1)

Dies entspricht definitiv einem physikalischen System: Betrachten Sie eine Masse in einem reibungsfreien halbunendlichen Rohr mit einem Ende am Ursprung. Ihre Situation entspricht dem Drehen des Rohrs, sodass die Normalkraft auf die Masse konstant ist. Aus diesem Aufbau ist intuitiv klar, dass dies dazu neigt, die Masse vom Ursprung wegzudrängen.

Dieses Setup ist mir schon einmal begegnet, aber mit konstantem Drehmoment, was wahrscheinlich der realistischere Fall wäre. In diesem Fall ist es einfach zu lösen, da der Drehimpuls linear mit der Zeit zunimmt. Ihr Fall ist schwieriger. Nach dem Eliminieren θ Ich kam an

3 R ˙ R ¨ + R R ⃛ = ( R R ¨ ) 1 / 2 F M
woraus wir beobachten können, dass eine Lösung ist
R ( T ) = F 6 2 M T 2
was das auch impliziert θ ( T ) ∝ Protokoll ⁡ T . Aber ich weiß nicht, wie ich es für allgemeine Anfangsbedingungen lösen soll.

Ich habe keine Zeit, dies weiter zu verfolgen, aber eine Technik, die Sie vielleicht ausprobieren möchten, ist die Komplexifizierung. Das heißt, die Position des Teilchens in der darstellen X j Ebene als komplexe Zahl z . Dann hast du nur eine Gleichung, z ¨ ∝ ich z / | z | , was ziemlich einfach ist. Hoffentlich kann jemand diese Analyse beenden!

Fragt man also nach der Flugbahn eines Teilchens in einer Zentrifuge?
@Farcher Ja, aber einer, der eine konstante Kraft anstelle eines konstanten Drehmoments ausübt, was etwas seltsam ist.
Danke für deine schnelle Antwort! Irgendwie versuche ich, wenn ich versuche, es zu lösen, zu vermeiden, die Ordnung dieser Differentialgleichung zu erhöhen, weil die Anfangsbedingung nur von erster Ordnung ist. Denken Sie, dass es notwendig ist, die Anfangsbedingung zweiter Ordnung zu kennen?
@qfzklm Ich habe nur versucht, loszuwerden θ ohne die Reihenfolge unten zu halten. In jedem Fall können Sie unter Ihren Anfangsbedingungen immer noch meine Anfangsbedingungen finden, wie die erste Gleichung ergibt R ¨ direkt, und die Kombination der beiden gibt R ⃛ .
Kümmern Sie sich nicht um den realistischen Fall, nur in der Gleichung, dass ein konstanter Term auf der rechten Seite am einfachsten sein könnte, oder? Ich stimme zu, dass konstantes Drehmoment der einfachste Fall ist. Es tut mir leid, dass ich nicht erkannt habe, dass der Fall mit konstanter Kraft so schwierig ist.
Leider scheint Ihre Lösung die Anfangsbedingung nicht zu erfüllen. Ich werde versuchen, eine angemessene Lösung zu finden. Auf jeden Fall danke, dass Sie sich Zeit dafür genommen haben.
Wie ist die Flugbahn eines Teilchens unter konstanter Winkelkraft immer senkrecht zu seinem Ortsvektor?
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