Wie finde ich die Bewegungsgleichungen des 2-dim harmonischen Oszillators?

Zunächst einmal: Ich bin kein Physiker, also ziemlich hilflos.

Ich muss die Bewegungsgleichungen des 2-Dim finden. harmonischer Oszillator . Wenn es möglich ist, sollte es eher elementar sein, denn wie gesagt, ich bin kein Physiker. Ich habe gehört, dass EINE Möglichkeit die Hamilton-Mechanik ist, aber um ehrlich zu sein, weiß ich kaum, was das ist!

Vielleicht könnt ihr mir helfen? Ich wäre sehr dankbar.

Aktualisieren :

Für das allgemeine Kugelpendel bekomme ich

θ ¨ = Sünde ⁡ θ cos ⁡ θ φ ˙ 2 + G l Sünde ⁡ θ ,     φ ¨ = − 2 cos ⁡ θ θ ˙ φ ˙ Sünde ⁡ θ .

Ist das nicht 2-dim. harmonischer Oszillator ein spezielles Kugelpendel, damit ich diese Ergebnisse vielleicht verwenden kann?

Können Sie uns etwas über Ihren Hintergrund erzählen? Sind Sie Mathematiker - wenn Sie Bewegungsgleichungen lösen möchten, sind Sie vermutlich mit Differentialgleichungen zufrieden. Macht dieser Artikel über den harmonischen 2D-Oszillator Sinn?
@JohnRennie Ich studiere Mathematik und beschäftige mich jetzt mit ODE. Ich habe immer Probleme mit Beispielen aus Physik. Also ehrlich gesagt verstehe ich kein Wort von dem Link.
Beim harmonischen Oszillator ist die Kraft proportional zur Verschiebung. Eine physikalische Umsetzung des eindimensionalen Ho ist das Federpendel. Das normale Pendel ist kein harmonischer Oszillator (kann aber als solcher angenähert werden, wenn die Amplitude ausreichend niedrig ist). Das Lösen eines Kugelpendels ist viel schwieriger als das Lösen eines harmonischen Oszillators, daher würden Sie normalerweise kein Kugelpendel durch einen harmonischen Oszillator ersetzen (eher umgekehrt).
Ok, also habe ich jetzt die Bewegungsgleichungen für ein Kugelpendel. Aber ich weiß nicht, wie ich die Bewegungsgleichungen für einen harmonischen Oszillator finden soll ...
Siehe die Bearbeitung meiner Antwort.

Antworten (1)

Der Trick beim zweidimensionalen harmonischen Oszillator besteht darin, zu erkennen, dass es zwei Richtungen gibt, sodass die Bewegung in einer Richtung unabhängig von der Bewegung in der anderen ist (wenn der harmonische Oszillator rotationssymmetrisch ist, reichen zwei beliebige orthogonale Richtungen aus). Wenn Sie die Äquipotentiallinien des Oszillatorpotentials zeichnen (dh die potentielle Energie, wenn sich die Masse an diesem Punkt befindet), besteht sie aus Ellipsen; die Hauptachsen dieser Ellipsen geben diese beiden Richtungen an.

In jeder der Richtungen ist die Bewegungsgleichung nur die Bewegungsgleichung eines eindimensionalen harmonischen Oszillators. Sie lösen also die beiden eindimensionalen harmonischen Oszillatoren separat.

Wenn Sie eine solche Abkürzung nicht verwenden möchten, können Sie sie auch direkt mit einer der üblichen Methoden wie dem Lagrange-Formalismus oder dem Hamilton-Formalismus berechnen.

So würden Sie es im Lagrange-Formalismus machen:

Schritt 1: Bestimmen Sie die kinetische und potentielle Energie des harmonischen 2D-Oszillators.

  • Kinetische Energie: T = 1 2 M ( X ˙ 2 + j ˙ 2 )

    Hier X Und j sind die Koordinaten, und der Punkt beschreibt die zeitliche Ableitung, d. h. X ˙ Und j ˙ sind die Komponenten der Geschwindigkeit.

  • Potenzielle Energie: v = A X 2 + B X j + C j 2

Hier A , B Und C sind allgemeine Konstanten (mit der Einschränkung, dass A > 0 , C > 0 Und 2 A C − B 2 > 0 ). Dies ist das allgemeinste zweidimensionale harmonische Oszillatorpotential mit der Einschränkung, dass das Minimum liegt X = j = 0 (und der Wert dort ist 0 , aber ein konstanter Term im Potential ändert nichts an den Bewegungsgleichungen).

Schritt 2: Aus der kinetischen und potentiellen Energie berechnest du die Lagrange-Funktion. Dieser Schritt ist trivial: Die Lagrange-Funktion ist immer L = T − v , das heißt in diesem Fall,

L = 1 2 M ( X ˙ 2 + j ˙ 2 ) − A X 2 − B X j − C j 2

Schritt 3: Um die Bewegungsgleichung abzuleiten, setzen Sie einfach diese Lagrange-Gleichung in die Euler-Lagrange-Gleichungen (des zweiten Typs) ein: Für jede Koordinate Q (das ist hier, X Und j ), lautet die Bewegungsgleichung

D D T ∂ L ∂ Q ˙ = ∂ L ∂ Q
So für X , wir bekommen ∂ L / ∂ X ˙ = M X ˙ Und ∂ L / ∂ X = 2 A X + B j , und somit
M X ¨ = − ( 2 A X + B j )
und analog
M j ¨ = − ( B X + 2 C j )

Das sind die Bewegungsgleichungen.

Benutzt du jetzt ein Federpendel? Bevor ich das tue (Danke!) bleiben noch zwei Fragen: Wie kann ich die Koordinaten ausdrücken? X Und j ? Warum ist die potentielle Energie A X 2 + B X j + C j 2 ?
Ist ein 2-dim. harmonischer Oszillator ein Federpendel, das sich auf und ab bewegen kann und zusätzlich wie ein Kugelpendel?
X Und j sind nur zwei Richtungen, in die der Oszillator verschoben werden kann. Sie müssen nicht einmal orthogonal sein. Die potentielle Energie A X 2 + B X j + C j 2 ist nur die allgemeinste mögliche quadratische Form ohne linearen oder konstanten Term. Es hat diese Form, weil das das System zu einem harmonischen Oszillator macht (Sie könnten hier ein anderes Potential einstecken, aber dann hätten Sie keinen harmonischen Oszillator mehr – nun, es sei denn, Ihre Koordinaten sind etwas anderes als Verschiebungen, dann könnte es ein sein harmonischer Oszillator in verschiedenen Koordinaten).
@math12: Nein. Eine spezifische Implementierung (nicht die allgemeinste) wäre eine Masse, die sich auf einer Ebene bewegen kann (horizontal, also keine Gravitation und reibungsfrei), die durch eine (reibungslose, masselose, beliebig biegbare) Faser verbunden ist durch ein kleines Loch in dieser Ebene zu einer Feder, die sich in ihrer Ruheposition befindet, wenn sich die Masse genau über dem Loch befindet.
Sie bemühen sich so sehr, es mir zu erklären, danke. Aber um ehrlich zu sein, verstehe ich nicht: Wenn man sagt "2-dim harmonischer Oszillator" - was meint man damit? Ich bin gerade etwas verwirrt.
Ich habe Folgendes gefunden: "Betrachten Sie den 2-dim harmonischen Oszillator H = 1 2 ( P X 2 + P j 2 ) + 1 2 ( w X 2 X 2 + w j 2 j 2 ) ." Was ist das?
@math12: "Zweidimensionaler harmonischer Oszillator" bedeutet per Definition "zweidimensionales System mit attraktivem quadratischem Potential". "Quadratisches Potential" bedeutet "Potenzial, das ein Polynom vom Grad 2 in der Position ist", und "attraktiv" bedeutet "wenn Sie sich von der Gleichgewichtsposition entfernen, wird das Potential größer".
Es ist der Hamiltonoperator eines harmonischen Oszillators; Der Hamilton-Operator wird im Hamilton-Formalismus verwendet (eine andere Möglichkeit, die Bewegungsgleichungen abzuleiten). Grundsätzlich, H = T + v , außer dass T wird mit dem Impuls beschrieben. Ansonsten ist das ein Sonderfall des von mir angegebenen Potenzials (mit A = 1 2 w X 2 , B = 0 , C = 1 2 w j 2 ), erreicht durch Verwendung der Hauptachsen des Potentials als Koordinaten. Übrigens, ich bemerke gerade, dass ich einen Vorzeichenfehler in den Bewegungsgleichungen habe; Ich korrigiere es gleich.
Okay, ich denke, es ist dann viel besser, Ihre allgemeine Formulierung zu verwenden. :-) Jetzt habe ich also die Gleichungen und kann ein System daraus machen und bekomme: X ˙ = ω 1 , j ˙ = ω 2 , ω ˙ 1 = − 1 M ( 2 A X + B j ) , ω ˙ 2 = − 1 M ( B X + 2 C j ) . Ist diese Abweichung kostenlos?
@math12 Ich möchte nicht unhöflich sein, aber im Moment scheinen Sie nur nach Lösungen für Ihre Hausaufgaben zu fragen, was wir auf dieser Website nicht fördern. Vielleicht solltest du mit deinem Lehrer darüber sprechen, wenn es dir so schwer fällt, dieses (eher elementare) Beispiel zu verstehen.
@Danu Ich verstehe was du meinst, aber das ist keine Hausaufgabe. Ich versuche das nur zu verstehen, weil ich mich an solche Beispiele, die hin und wieder auftauchen, etwas gewöhnen muss. Wie Sie sehen können, habe ich keine physikalischen Kenntnisse und versuche, mich zumindest ein wenig an die Physik zu gewöhnen.
Ich denke, es ist in der Tat divergenzfrei. F : R 4 → R 4 , ( X , j , ω 1 , ω 2 ) ↦ ( F 1 ( X , j , ω 1 , ω 2 ) F 2 ( X , j , ω 1 , ω 2 ) F 3 ( X , j , ω 1 , ω 2 ) F 4 ( X , j , ω 1 , ω 2 ) ) = ( ω 1 ω 2 − 1 M ( 2 A X + B j ) − 1 M ( B X + 2 C j ) ) und so div F = ∂ X F 1 + ∂ j F 2 + ∂ ω 1 F 3 + ∂ ω 2 F 4 = 0 .
Gibt es ein Beispiel für einen solchen 2-Dim-Harmonischen-Oscellator, wo die Parameter X , j , ω 1 , ω 2 sind begrenzt? Ich möchte den Rekursionssatz anwenden und daher muss das Vektorfeld f, das eine Strömung erzeugt, divergenzfrei sein (dies ist erfüllt, wie ich in meinem letzten Kommentar gezeigt habe) und die Bewegung muss auf eine begrenzte Teilmenge von beschränkt sein R 4 . Das muss ich also noch zeigen. Und ich denke, deshalb muss ich das zeigen X , j , ω 1 , ω 2 sind begrenzt.
Wie finde ich die Bewegungsgleichungen des 2-dim harmonischen Oszillators?
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