Schreiben der Gleichung für die Amplitude des angesteuerten harmonischen Oszillators in Lorentz-Form

Question

Schreiben der Gleichung für die Amplitude des angesteuerten harmonischen Oszillators in Lorentz-Form

Mel

Dieser harmonische Oszillator wird angetrieben und gedämpft, mit der Form:

\ddot{X} + λ \dot{X} + ω_{0}^{2} X = A \cos (ω_{D} T)

$\ddot{x} + \lambda \dot{x} + \omega_0^2 x = A \cos(\omega_d t)$

Nun habe ich den Ansatz (Vermutung) verwendet: $x(t) = B \cos(\omega_d t + \phi)$ , und haben B in der Form geschrieben:

B = \frac{A}{\sqrt{(ω_{Ö}^{2} - ω_{D}^{2})^{2} + λ ω_{D}^{2}}}

$B = \frac{A} {\sqrt{(\omega_o^2-\omega_d^2)^2+\lambda\omega_d^2}}$

Als nächstes muss ich " B mit der Lorentz-Form approximieren "

B = \frac{C}{(ω_{D} - Ω)^{2} + (\frac{Γ}{2})^{2}}

$B = \frac{C}{(\omega_d - \Omega)^2+\biggl(\frac{\Gamma}{2}\biggr)^2}$

Hier hänge ich jedoch fest. Ich weiß, dass ich, weil es "ungefähr" sagt, irgendwie Terme von meinem ersten Ausdruck zu B weglassen muss, aber ich weiß nicht, wo ich anfangen soll. Wie kann ich B in dieser Form schreiben?

BEARBEITEN: Ich habe einen Wikipedia-Artikel über Resonanz gefunden, der eine Form zeigt, die dem, was ich suche, sehr ähnlich ist, aber ich kann anscheinend keine Ableitung http://en.wikipedia.org/wiki/Resonance finden

Ana SH

Ich denke, Sie könnten anfangen, die Quadratwurzel in einer Taylor-Reihe zu erweitern.

Vibert

...und welcher Term ist kleiner?

(ω_{0}^{2} - ω_{d}^{2})^{2}

$(\omega_0^2 - \omega_d^2)^2$ oder

λ ω_{d}^{2}

$\lambda \omega_d^2$ ?

Mel

@Vibert Mir werden in der Frage keine Informationen gegeben, aus denen ich ableiten könnte, was kleiner ist. Tatsächlich habe ich alle Informationen bereitgestellt, die mir oben gegeben wurden.

Michael

Wenn Sie die Grenze nehmen

ω_{d} \to \infty

$\omega_d \rightarrow \infty$ Sie finden

A = C

$A=C$ . Dann

ω_{d} = 0

$\omega_d=0$ Und

ω_{d} = ω_{0}

$\omega_d=\omega_0$ Geben Sie zwei weitere Gleichungen an, die bestimmt werden können

Ω

$\Omega$ Und

Γ

$\Gamma$ . Ich bin mir nicht sicher, ob dies richtig funktioniert. Wahrscheinlich ist es eine bessere Wette, Taylor beide Formen um den maximalen Punkt und die Match-Bedingungen zu erweitern.

Benutzer22564

wie hast du x(t)=Bcos(ωdt+ϕ) erraten?

Daniel Sank

@MichaelBrown: Sie möchten dies auf jeden Fall tun, indem Sie um den Gipfel herum expandieren. Der Lorentzian entspricht weit entfernt von der Spitze einfach nicht der wahren Resonanzkurve.

Antworten (1)

Schreiben der Gleichung für die Amplitude des angesteuerten harmonischen Oszillators in Lorentz-Form

Ich denke, Sie könnten anfangen, die Quadratwurzel in einer Taylor-Reihe zu erweitern.
...und welcher Term ist kleiner? $(\omega_0^2 - \omega_d^2)^2$ oder $\lambda \omega_d^2$ ?
@Vibert Mir werden in der Frage keine Informationen gegeben, aus denen ich ableiten könnte, was kleiner ist. Tatsächlich habe ich alle Informationen bereitgestellt, die mir oben gegeben wurden.
Wenn Sie die Grenze nehmen $\omega_d \rightarrow \infty$ Sie finden $A=C$ . Dann $\omega_d=0$ Und $\omega_d=\omega_0$ Geben Sie zwei weitere Gleichungen an, die bestimmt werden können $\Omega$ Und $\Gamma$ . Ich bin mir nicht sicher, ob dies richtig funktioniert. Wahrscheinlich ist es eine bessere Wette, Taylor beide Formen um den maximalen Punkt und die Match-Bedingungen zu erweitern.
@MichaelBrown: Sie möchten dies auf jeden Fall tun, indem Sie um den Gipfel herum expandieren. Der Lorentzian entspricht weit entfernt von der Spitze einfach nicht der wahren Resonanzkurve.

zonksoft · Answer 1

Da das Maximum der wichtigste Punkt der Kurve ist, schlage ich vor, die Ableitungen 0-2 der beiden Kurven aneinander anzupassen $\omega_0$ . Dies ist gleichbedeutend damit, eine Taylor/Potenz-Entwicklung an beiden Funktionen durchzuführen und die ersten drei Koeffizienten anzupassen. Da es drei Konstanten gibt, können wir drei Kriterien (=Gleichungen) zuordnen.

Erste Ableitung: set $\Omega=\omega_0$ , und durch Differenzieren beider Kurven können Sie zeigen, dass die erste Ableitung beider Kurven bei ist $\omega_0$ ist Null.

Nullte Ableitung: Durch Gleichsetzen der beiden Kurven und Auflösen nach $C$ , das findest du $C=\frac{A (\frac{\Gamma}{2})^2}{\sqrt{\lambda}\omega_d}$ .

Zweite Ableitung: Wir haben immer noch nicht festgelegt $\Gamma$ . Die notwendige Gleichung ergibt sich aus der Einstellung der zweiten Ableitung auf $\omega_0$ gleich. Das gibt $\frac{\Gamma}{2}=\sqrt{\frac{\lambda}{2}}$ .

Das Diagramm (alle Parameter in der ursprünglichen Resonanzkurve sind 2; Blau ist Original, Rot ist Lorentzian) sieht für mich ziemlich gut aus:

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Danke. Eine Sache jedoch, wie kommt es, dass Ihre blaue Kurve (scheinbar) keine zwei Spitzen hat? Als ich beide Kurven zeichnete, hatte die ursprüngliche Kurve zwei Spitzen, bei $\omega_d = \omega_0$ Und $\omega_d = -\omega_0$
Du hast absolut Recht - ich habe eine Quadratwurzel vergessen. Ich habe die Berechnung, die $C$ hat sich nicht geändert, aber die $\Gamma$ tat.

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Ana SH

Vibert

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Michael

Benutzer22564

Daniel Sank

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zonksoft

Mel

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