Warum ist die Spannung auf der Riemenscheibe in einer Atwood-Maschine nicht gleich (m1+m2)g(m1+m2)g(m_1 + m_2)g?

Betrachten Sie die folgende einfache Atwood-Maschine mit einer idealen Riemenscheibe und einer idealen Saite

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Laut meinem Lehrbuch ist die Spannung an der Klemme, die die Maschine an der Wand hält, gleich 2 T . Ich verstehe nicht, warum das so ist. Die Spannung rein T in der Zeichenfolge ist betragsmäßig gleich M 1 G + M 1 A = M 2 G − M 2 A , vorausgesetzt, dass M 1 beschleunigt nach oben.

Auch die Beschleunigung von Massen in einer Atwood-Maschine ist gegeben durch

A = ( M 2 − M 1 ) G M 1 + M 2

Setzen wir dies ein, erhalten wir die Spannung gleich

T = M 1 G + M 1 ( M 2 − M 1 ) G M 1 + M 2 = M 1 G ( 1 + M 2 − M 1 M 2 + M 1 ) = 2 M 2 M 1 G M 1 + M 2

Laut meinem Lehrbuch sollte die Spannung an der Riemenscheibenklemme also sein:

2 T = 4 M 1 M 2 G M 1 + M 2

Aber sind all diese Kräfte nicht innere Kräfte? Wenn wir die gesamte Atwood-Maschine als System betrachten (ohne die Klemme), wirken nur die Schwerkraft, ( M 1 + M 2 ) G und die Spannung in der Klemme, T C . Da das System in Ruhe ist

T C = ( M 1 + M 2 ) G

Habe ich Recht oder ist meine Argumentation falsch?

Du fandest T , und das Lehrbuch hat dieselbe Gleichung multipliziert mit einem Faktor von 2. Hier gibt es kein Problem.
Hinweis: Das System ist nicht in Ruhe.
Nicks Antwort ist vollständig, aber ich mochte Ihre Frage, weil sie die Anstrengung zeigt, das PRINZIP unter Berechnungen zu verstehen. Daher ist es meiner Meinung nach wichtig zu verstehen, warum das System nicht in Ruhe ist.
Richtig, jede Berechnung sollte nicht nur mathematisch überprüft werden, sondern die physikalische Interpretation ist auch ein sehr sehr sehr wichtiger Teil! Also auf den Punkt der Frage würde ich sagen, gute Arbeit und weiter so!
Wenn es hilft, können Sie zeigen, dass der Schwerpunkt der beiden Massen liegt M 1 Und M 2 nach unten beschleunigt, und obwohl es so aussieht, als ob die Stütze das Rad stabil hält, lässt sie das Rad/Masse-System dadurch tatsächlich nach unten beschleunigen.

Antworten (3)

Das System ruht nicht. Wenn Sie die Massen und die Riemenscheibe als ein System betrachten, können Sie das Verhalten des Systems anhand des Verhaltens seines Massenschwerpunkts verstehen. Wenn die Massen nicht gleich sind, ist der Massenmittelpunkt des Systems nicht in Ruhe.

Es könnte nützlich sein, sich das so vorzustellen: Innerhalb der Systemgrenzmasse M 1 bewegt sich durch eine Strecke nach unten, während Masse M 2 bewegt sich um die gleiche Distanz nach oben. Der Massenmittelpunkt hat sich also nach unten bewegt (oder nach oben, je nachdem, ob M 1 > M 2 ).

Die Spannung wäre also durch die Gleichung gegeben:

( M 1 + M 2 ) A C M = ( M 1 + M 2 ) G − T C

Das kannst du weiter ausarbeiten

A C M = A ( M 2 − M 1 ) / ( M 1 + M 2 ) , wobei a der Wert der Massenbeschleunigung ist M 1 die du erwähnt hast.

Setzen Sie es in die Gleichung ein und Sie werden Folgendes finden:

T C = 4 M 1 M 2 M 1 + M 2 G

So werde ich versuchen, dieses Problem zu lehren. Danke schön.
Könnten Sie oder @Nick die Lösung in Form von 4 g * mu kommentieren? Ich weiß, dass es vielleicht den Rahmen des Problems sprengt, aber wenn ich solche Zusammenhänge sehe, versuche ich, sie zu verstehen.

In diesem Fall gilt Ihr Ergebnis, wenn die beiden Massen gleich sind A = 0 und du hättest das:

T = M 1 G = M 2 G .

Oder:

2 T = 2 M 1 G = 2 M 2 G = ( M 1 + M 2 ) G .

Für den Fall, dass die Massen nicht gleich sind, beschleunigen beide Massen, was wiederum eine geringere Kraft auf das Rollensystem (und auf die Klemme) ausübt.

Dies lässt sich leicht mit Ihrer Spannungsformel überprüfen!

T = 2 M 1 M 2 G M 1 + M 2 ,

Wenn ich die Gesamtmasse definieren würde als: M = M 1 + M 2 , dann könnte ich ausdrücken T als:

T = 2 M 1 ( M − M 1 ) G M = 2 G M ( M 1 ( M − M 1 ) ) .

Sie können überprüfen, ob Sie planen würden T als Funktion von M 1 , dass es ein Maximum erreicht in M 1 = M / 2 , was bedeutet, dass die Spannung maximal wird, wenn die beiden Massen gleich sind, die Spannung wird dann:

T = M G 2 = ( M 1 + M 2 ) G 2 ,

oder wie du dachtest:

2 T = ( M 1 + M 2 ) G

Der Vollständigkeit halber die Darstellung der Spannung in Abhängigkeit von der Masse M 1 in dimensionslosen Größen.

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Auf diesem Diagramm können Sie leicht sehen, ob M 1 = 0 ⇒ M 2 = M oder M 1 = M ⇒ M 2 = 0 , dass es keine Spannung geben würde, da eine der beiden Massen frei fallen würde. In den Zwischenfällen würde Spannung entstehen, da auf beiden Seiten der Saite ein „Zug“ entsteht, je größer die Masse ist M 1 Und M 2 gleich sind, desto weniger Bewegung gibt es und desto mehr Zug ist an der Saite.

Wenn mein Argument also falsch war, kann das nur bedeuten, dass das System nicht in Ruhe ist. Aber wie können Sie sagen, dass das System nicht in Ruhe ist?
Im obigen Fall haben wir eine reibungsfreie Rolle mit einer masselosen Schnur. Das System kann nur dann in Ruhe sein, wenn die beiden Massen gleich sind (in Ihrer Berechnung ist dies der einzige Fall, wenn die Beschleunigung gleich Null ist). Wenn dies der Fall ist, ziehen beide Massen mit gleicher Kraft an beiden Enden der Saite. Beachten Sie, dass dies nicht unbedingt bedeutet, dass das System in Ruhe ist, es kann sich auch mit konstanter Geschwindigkeit bewegen!
@Gerard Wenn Sie dem Stich Masse und / oder dem Pully Reibung hinzufügen würden, könnte es andere Situationen geben, in denen das System in Ruhe ist / wird.
Nach der Mathematik ist das, was Sie sagen, absolut richtig. Aber ich will intuitiv wissen, warum das System nicht ruht. Gemäß der eigentlichen Definition von Ruhe sollte das System seine Position in Bezug auf die Zeit nicht ändern. Ganz klar, die atwood-Maschine bleibt an der gleichen Stelle.
@Gerard, nun, wenn die beiden Massen unterschiedlich wären, zieht die schwerere Masse stärker an der Saite als die leichtere Masse. Dadurch bewegt sich das System. Wenn die Massen gleich sind, dann ist die Zugkraft auf beiden Seiten gleich und das System bleibt in Ruhe.
Ja, die einzelnen Massen werden sich bewegen, aber die ganze Maschine bleibt am selben Ort.
@Gerard, wahr, bis dir die Saite zum Beschleunigen ausgeht. Dann kommt die schwerere Masse, die ihre potenzielle (Gravitations-) Energie in kinetische Energie umgewandelt hat, zu einem plötzlichen Halt, wo sie ihre gesamte Energie verliert. Die Maschine hat ihre kinetische Energie abgesenkt, um in einen Zustand mit geringerer Energie (Grundzustand) zu gelangen. Die einzige Möglichkeit, dies zu verhindern, besteht darin, eine unendlich lange Schnur und damit eine unendlich große Maschine zu verwenden.
Es ist nicht wahr, dass es an der gleichen Stelle bleibt. Sein Massenschwerpunkt beschleunigt sich, denn selbst wenn m_1 nach oben und m_2 nach unten geht, sind die Massen unterschiedlich, also haben sie ein unterschiedliches "Gewicht" in der globalen Bewegung. Wenn also m_2 > m_1 und m_2 nach unten beschleunigt wird, bewegt sich der Massenmittelpunkt nach unten.
@DR10, das ist natürlich auch eine gute Bemerkung (so wie Jerry Schrimer in den Kommentaren sagte)! Aber ich denke, das OP dachte daran, einfach auf die Maschine zu schauen, wenn es einen Fall um sie herum gäbe. Sie können den Massenmittelpunkt nicht „beobachten“, indem Sie einfach darauf schauen. Was Sie sehen KÖNNEN, sind die Massen, die zur Ruhe kommen, wenn dem System die Schnur ausgeht. Die extreme Verzögerung der schwereren Masse ist hörbar, da die leichtere Masse an der Riemenscheibe haften würde. Und das bei einer sehr großen Masse M 2 (oder M 1 , je nachdem, was schwerer ist), kann das System sogar aus der Aufhängung gerissen werden.
@ DR10: Meine Definition von Ruhe war also unvollständig. Ein System ist in Ruhe, wenn sein Massenschwerpunkt seine Position in Bezug auf die Zeit nicht ändert, richtig?
@Gerard, die Definition für ein ruhendes System ist, wenn alle partiellen Ableitungen sind ∂ / ∂ T verschwinden. Oder um es in eine intuitivere Sprache zu bringen, wenn sich das System nicht mit der Zeit ändert. Das bedeutet, dass der Schwerpunkt tatsächlich zeitlich gleich bleiben sollte.
@Gerard, für den Ruhezustand sollte man auch immer einen Bezugsrahmen haben. Da ein System bezüglich eines Bezugssystems immer in Ruhe ist. Für einen stationären Beobachter mag das System in Ruhe sein, aber für einen anderen Beobachter, der mit konstanter Geschwindigkeit vorbeikommt, scheint das System nicht in Ruhe zu sein.
@Gerard: Richtig, beachten Sie, dass Ruhe oder Bewegung für Ihren Zweck (dh die auf das System wirkende Gesamtkraft) nicht das ist, wonach Sie wirklich suchen. Ich war schlampig und habe Ihnen einfach gesagt: "Das System ist nicht in Ruhe". Wichtig ist die Gesamtbeschleunigung und in diesem Fall ist sie von 0 verschieden. Eine Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit benötigt keine Krafteinwirkung auf das System. Ich höre hier auf, weil wir den Platz für Kommentare ein wenig missbrauchen.
@Dominique nette Antwort! Sie sagen: "Falls die Massen nicht gleich sind, würde eine von ihnen "fallen" und daher keine Kraft auf das Riemenscheibensystem (und auf die Klemme) ausüben." Dies gilt jedoch nur, wenn eine der Massen Null ist, denn wie Sie sagten, würden im unmittelbaren Fall beide Massen einen Zug auf die Saite ausüben.
@ rb612 das ist in der Tat falsch von mir (wie auf der Handlung gezeigt). Mein Fehler! Für die Fallbewegung sollten wir natürlich auf den Massenmittelpunkt schauen ;-).
Ich versuche heute, dieses Problem zu lehren und erwarte Fragen wie die von Gerard. Ich bin dankbar für Nicks großartige mathematische Erklärung, aber auch für die Beobachtung von @DR10, denn ich denke, das beantwortet die Frage des Schülers: WARUM wird die Spannung Tc gesenkt, wenn das System in Bewegung kommt? Ich denke, ich werde den Schülern sagen, dass der Massenmittelpunkt des GESAMTEN Systems nach unten beschleunigt wird, und daher muss Tc=2T, die einzige nach oben gerichtete Kraft des Systems, gegen (m1+m2)g, die einzige nach unten gerichtete Kraft, "verlieren". auf dem System.

In Ihrer Argumentation ist tatsächlich ein Fehler. Kurz gesagt, die Spannung an der Umlenkrolle ist nur erforderlich, um die gesamte Gravitationskraft auf das System aufzuheben, wenn alles im Gleichgewicht ist und es keine Beschleunigung gibt. Wenn die Massen jedoch unausgeglichen sind, fällt eine von ihnen und die andere steigt, und es ist nicht klar, ob dies die Gesamtkraft auf dem gleichen Wert wie im ausgeglichenen Fall halten wird.

In der Tat können Sie überprüfen, ob die Antworten übereinstimmen , wenn die beiden Massen gleich sind : Die richtige Spannung an der Riemenscheibe ist

T Schließe = 2 T = 4 M 2 M + M G = 2 M G = ( M + M ) G .

Warum ist die Spannung auf der Riemenscheibe in einer Atwood-Maschine nicht gleich (m1+m2)g(m1+m2)g(m_1 + m_2)g?
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