Optimaler Startwinkel für ein Projektil, das aus einer Höhe über dem Boden abgefeuert wird [geschlossen]

Wenn Sie sagen, dass sich das Projektil in einer Höhe befindet, können Sie nicht sagen, dass 45 Grad der optimale Startwinkel sind (dies wäre jedoch auf einer flachen Ebene mit der Projektilhöhe korrekt$h = 0$Einheiten). Wenn jedoch das Projektil in einer Höhe abgefeuert wird$h$über der Ebene ist der optimale Winkel gleich einer Funktion$f(v_0,h)$.

Sie können leicht die Zeit berechnen, die das Projektil benötigt, um sich zu bewegen$A$Zu$B$. Für die Zeit genommen von$B$Zu$C$, denken Sie an die Energie, die das Projektil an den beiden Punkten besitzt. Denken Sie auch daran, dass die$x$Die Geschwindigkeitskomponente des Geschosses ändert sich während des Fluges nicht. Berechnen Sie die Gesamtreichweite in der$x$Richtung und denken Sie daran, dass die längste zurückgelegte Strecke wann ist$\frac{dR}{d\theta}=0$.

Vereinfachen Sie die gebildete Gleichung und Sie erhalten den optimalen Winkel als Funktion$f(v_0,h)$.

Für die von A nach C benötigte Zeit,

X-Komponente der Geschwindigkeit ($v_0\cos\theta$) ändert sich während des Fluges nicht.

Jetzt$\frac{dR}{d\theta}=0$für maximale Reichweite. Eine implizite Differenzierung ist sehr hilfreich, wie hier skizziert .

Ich werde versuchen, ohne Mathematik eine qualitative Antwort zu geben.

Während der 45°-Winkel den maximalen Abstand bei gleicher Höhe angibt, muss dieser bei Höhenunterschieden angepasst werden, was zu einem flacheren optimalen Winkel führt. Warum?

Wir wissen, dass das Projektil einer Parabel folgt, was bedeutet, dass es auf seinem Weg nach unten die Starthöhe unter demselben Winkel passiert, in dem es gestartet wurde.

Der Pfad kann in zwei Teile unterteilt werden, den Abschnitt über dem Start und den Teil unter dem Start.

Stellen wir uns einen etwas flacheren Winkel vor, zB 44°. Der Teil über dem Start wird immer noch fast die gleiche Distanz zurücklegen wie der 45°-Start (nahe am Optimum, die Dinge ändern sich langsam), aber die Fortsetzung (der Teil unter dem Start) wird aufgrund des flacheren Winkels mehr Distanz zurücklegen.

Ein steilerer Winkel als 45° kann nicht zu einer größeren Gesamtdistanz führen, da dann beide Teile eine kürzere Distanz zurücklegen (der Teil über dem Start, weil wir von seinem 45°-Optimum entfernt sind, und der Teil unter dem Start wegen des steileren Abwärtswinkels ).

Das Optimum liegt sicherlich in einem positiven, nach oben gerichteten Winkel, da das Starten mit einer nach unten gerichteten Komponente sicherlich schlechter sein wird (es verringert sowohl die horizontale Geschwindigkeit als auch die Flugzeit im Vergleich zu einem horizontalen Start).

Bleibt also die Frage, wo zwischen 0° und 45° das Optimum liegt. Dies kann nur mathematisch genau beantwortet werden, in einem Winkel, in dem der Verlust an Entfernung über dem Start nicht mehr durch den Gewinn an Entfernung unter dem Start kompensiert wird.

Der Winkel für die maximale Reichweite aus einer Höhe, h, beträgt nicht 45 Grad. Um es zu finden, beginnen Sie mit den Komponentengleichungen: x =$v_o$cos(θ) t und y = h +$v_o$sin(θ) t – (1/2)g$t^2$= 0. Löse die x-Gleichung nach cos(θ) und die y-Gleichung nach sin(θ). Dann$sin(θ)^2$+$cos(θ)^2$= 1. Dies führt zu einer quadratischen Gleichung in$t^2$was zwei positive Werte für t ergibt. Diese entsprechen den zwei möglichen Winkeln zum Treffen eines Ziels in einer bekannten Entfernung unterhalb der Reichweite. Wenn Sie sich der maximalen Reichweite nähern, konvergieren die Winkel (und Zeiten). An diesem Punkt ist die Quadratwurzel im Quadrat gleich Null. Sie können es gleich Null setzen und nach lösen$x^2$. Mit der Quadratwurzel bei Null ergibt sich das Quadrat$t^2$. Kombinieren Sie diese in der x-Gleichung, um cos(θ) zu erhalten.

Wenn$h>0$dann, wie andere Antworten darauf hingewiesen haben, die Flugzeit$t$die positive Wurzel eines Quadrats ist, und der Bereich$R=v_xt$Ist

Wo$\theta$ist der Winkel zwischen dem Startwinkel und der Vertikalen. Finden Sie den Wert von$\theta$was maximiert$R$ist schwierig, aber wenn$\frac{gh}{v_0^2} << 1$wir können uns annähern$R(\theta)$von

und dann

Wenn$0 < \theta < 45^o$wir haben$\frac{dR}{d \theta}>0$und bei$\theta = 45^o$wir haben$\frac{dR}{d \theta} \approx 4h > 0$, also zu maximieren$R(\theta)$wir müssen machen$\theta$ größer als $45^o$dh die optimale Trajektorie ist flacher als wenn$h=0$.

Ich weiß, dass, wenn das Projektil auf einer Höhe gelandet wird, die nicht gleich der Starthöhe ist, die Formel, die die Reichweite maximiert, wenn der Winkel 45 Grad beträgt, nicht bereits anwendbar ist. Aber ist dies ein Argument dafür, dass 45 Grad nicht der optimale Startwinkel für ein Objekt sind, das über dem Boden gestartet wird und auf dem Boden landet?

Der Winkel, der den größten bietet$R$Überreste$45^{\circ}$. Aber in diesem Winkel von einem erhöhten ($y>0$) Startposition tatsächlich erhöht$R$etwas, in Bezug auf den Start von$y=0$.

Wenn Sie also dasselbe Ziel von einer erhöhten Startposition aus treffen wollten, müssten Sie den Winkel oder die Anfangsgeschwindigkeit anpassen.

Halbmathematisch können wir zeigen, dass die horizontal zurückgelegte Strecke wie folgt gegeben ist.

Die für den Fall in der Luft verbrachte Zeit$y=0$Ist:

Und weil vertikale und horizontale Geschwindigkeiten unabhängig voneinander sind (galileische Invarianz), ist die horizontal zurückgelegte Strecke:

Aber in dem Fall$y>0$dann die Zeit$t_1$verbrauchte Luft ist länger und so: