Flugbahn des bergab geworfenen Projektils

Ich bringe mir Mechanik bei und wollte ein Problem lösen, bei dem es darum geht, den optimalen Winkel zu bestimmen, um ein Projektil zu werfen, wenn man auf einem Hügel steht, um eine maximale Reichweite zu erzielen. Meine Antwort scheint fast plausibel, bis auf einen Begriff, der, um plausibel zu sein, sein Vorzeichen wechseln muss. Aber ich kann kein Loch in meiner Argumentation finden.

Problem: Ich stehe auf einem geraden, abfallenden Hügel und möchte einen Stein für maximale Reichweite werfen. Der Hügel ist von der Horizontalen nach unten geneigt$\varphi$. Welcher Winkel$\theta$über der Horizontalen soll ich es anwerfen?

Meine Lösung:

1. Verwenden Sie dazu Koordinaten$x$ist parallel zum Hügel

2. Lassen$\alpha = \varphi + \theta$(das heißt, der Winkel über dem Boden, auf den ich werfe)

3. Dann initial$v$Ist$v_x = \cos \alpha$,$v_y = \sin \alpha$(Normalisierung der Einheiten, um Konstanten zu entfernen)

4. Erdbeschleunigung ist dann$a_x = -k \sin \varphi$,$a_y = - k \cos \varphi$(Schwerkraft ist in y-Richtung). Nehmen Sie zur Vereinfachung der Berechnungen an$k = 2$(Die Antwort gilt für jeden Wert der Schwerkraft, also auf dem Mond wie auf der Erde)

5. Wir wollen das Alpha finden, das maximiert$s_x$zu der Zeit, die macht$s_y = 0$. Finden Sie zuerst die Zeit, die macht$s_y = 0$; nenne es t.

6. $s_y = t \sin \alpha - t^2 \cos \varphi$. Mit der quadratischen Formel$s_y = 0$bei$t = 0$oder$t = \frac{ \sin \alpha }{\cos \varphi}$.

7. Jetzt finden$s_x$bei diesem$t$. Durch Einsetzen und Verwenden von grundlegender Algebra und Trig erhalten wir$s_x = \sin \alpha \, \cos \alpha - \sin ^2 \alpha\, \tan \varphi$. (Das macht Sinn; der erste Term ist maximal$\pi/4$, wie wir es von Symmetrie erwarten würden. Der zweite Term sagt uns, dass wir unseren Wurfwinkel verringern sollten, wenn der Boden stark abfällt. Sehr plausibel.)

8. Wenn wir phi als Konstante nehmen, möchten wir diesen Ausdruck maximieren. Ein wenig Kalkül und trigonometrische Identitäten bringen die Ableitung gleich$\cos(2\alpha)- \sin(2\alpha) \,\tan \varphi$, die eine Null bei hat$\alpha = \pi/4 - \varphi/2$, oder$\theta = \pi/4 - 3\varphi/2$. Hier brechen die Dinge zusammen. Der erste Begriff,$\pi/4$, scheint richtig. Aber der zweite Term liefert lächerliche Ergebnisse.

9. Das Umschalten des Vorzeichens des zweiten Terms in der Alpha-Gleichung endet mit$\theta = \pi/4 - \varphi/2$, was durchaus plausible Ergebnisse liefert. Aber ich kann keinen Fehler in meiner Argumentation oder Berechnung finden!

Kann jemand den fehlenden Link finden?

Erklärung der Antwort:

Wie Pygmalion festgestellt hat, ist Schritt 4 falsch. Der$a_y$Wert ist korrekt , aber$a_x$sollte positiv sein : zeigt den Hügel hinunter.

Die Antwort ist unabhängig von der Größe der Schwerkraft; aber es kommt auf die richtung an .

Überarbeitung der Herleitung:

7.$s_x = \sin \alpha \cos \alpha + \sin ^2 \alpha \tan \phi$

8. Ableitung ist$\cos(2 \alpha) + \sin(2 \alpha) \tan \phi$, mit Null bei$\alpha = \pi/4 + \phi/2$, daher$\theta = \pi/4 - \phi/2$. QED.