Gefahrenzone für Flugzeuge

Question

Gefahrenzone für Flugzeuge

Benutzer350331

Fragestellung:-

Ein feindlicher Jet fliegt in einer konstanten Höhe von $250\text{ m}$ mit einer Geschwindigkeit von $500\text{ m/s}$ . Der Kampfjet überfliegt ein Flugabwehrgeschütz, das jederzeit und in jede Richtung mit einer Geschwindigkeit von feuern kann $100\text{ m/s}$ . Bestimmen Sie das Zeitintervall, in dem der Kampfjet Gefahr läuft, von den Gewehrkugeln getroffen zu werden.

Quelle:- Mechanincs for JEE (Main & Advanced) (Vol.-1) - Er. Anurag Mischra

Meine Lösung:-

Wie wir wissen, ist die Bahngleichung eines schräg projizierten Projektils $\theta$ unter dem Einfluss der Gravitationskraft gegeben ist durch

\begin{matrix} (1) & j = X bräunen θ - \frac{G X^{2}}{2 u^{2}} (1 + {bräunen}^{2} θ) \end{matrix}

$y=x\tan{\theta}-\dfrac{gx^2}{2u^2}(1+\tan^{2}{\theta}) \tag{1}$

Wo $x$ Und $y$ repräsentieren die kartesischen Koordinaten.

Nun, bedenke $t=0\text{ sec}$ als der Zeitpunkt, an dem die Flugabwehrkanone eine Kugel abfeuert, um das Düsenflugzeug zu treffen. Um also das Flugzeug zu treffen, muss die Kugel die gleichen Koordinaten wie die des Düsenflugzeugs zu dem Zeitpunkt haben, zu dem die Kugel die gleiche Höhe wie die des Düsenflugzeugs erreicht, dh $250\text{ m}$ . Nehmen wir also an, danach $t$ Sekunden erreicht die Kugel eine Höhe von $250\text{ m}$ . Zu diesem Zeitpunkt wären die Koordinaten des Düsenflugzeugs $(500t,250)$ , also die $x-$ Koordinate der Kugel wird sein $x=500t$ .

Also aufs Ersetzen $u=100\text{ m/s}; g=10\text{ m/$s^2$}; y=250\text{ m}; x=500t$ in Gleichung $(1)$ , wir bekommen

\begin{aligned} 250 = (500 T) bräunen θ - \frac{G (500 T)^{2}}{2 \times 100^{2}} (1 + {bräunen}^{2} θ) \\ ⟹ & \frac{G (500 T)^{2}}{2 u^{2}} {bräunen}^{2} θ - (500 T) bräunen θ + (250 + \frac{G {(500 T)}^{2}}{2 u^{2}}) = 0 \end{aligned}

$\begin{aligned} &250=(500t)\tan{\theta}-\dfrac{g(500t)^2}{2\times{100}^2}(1+\tan^{2}{\theta}) \\ \implies &\dfrac{g(500t)^2}{2u^2}\tan^{2}{\theta}-(500t)\tan{\theta}+\left(250+\dfrac{g{(500t)}^{2}}{2{u}^{2}}\right)=0 \end{aligned}$

Nun, damit eine solche Flugbahn existiert $D\ge0$

\begin{aligned} ∴ (500 T)^{2} - 4 \frac{G (500 T)^{2}}{2 u^{2}} (250 + \frac{G (500 T)^{2}}{2 u^{2}}) \geq 0 \\ ⟹ T^{2} (2 - T^{2}) \geq 0 \end{aligned}

$\begin{aligned} \therefore \qquad(500t)^2-4\dfrac{g(500t)^2}{2u^2}\left(250+\dfrac{g(500t)^2}{2u^2}\right)\ge0\\ \implies t^2(2-t^2)\ge0 \end{aligned}$

Das Intervall für $t$ Ist $t \in \left[-\sqrt{2},\sqrt{2}\right]$ ,aber $t\gt 0$ , So $t\in (0,\sqrt{2}]$ .

Das Düsenflugzeug läuft also Gefahr, von der Flugabwehrkanone für einen Zeitraum von getroffen zu werden $\sqrt{2}$ Sekunden

Lösung des Buches:-

Die Gleichung der Flugbahn von Kugeln ist

\begin{matrix} (1) & j = X bräunen θ - \frac{G X^{2}}{2 u^{2}} (1 + {bräunen}^{2} θ) \end{matrix}

$y=x\tan{\theta}-\dfrac{gx^2}{2u^2}(1+\tan^{2}{\theta}) \tag{1}$

Für einen gegebenen Wert von $x$ , maximal $y$ daraus bestimmt werden können

\frac{D j}{D (bräunen θ)} = X - \frac{G X^{2}}{u^{2}} (bräunen θ) = 0 ⟹ bräunen θ = \frac{u^{2}}{G X}

$\dfrac{dy}{d(\tan{\theta})}=x-\dfrac{gx^2}{u^2}(\tan{\theta})=0 \\ \implies \tan{\theta}=\dfrac{u^2}{gx}$

Beim Ersetzen des Ausdrucks für $\tan{\theta}$ in Gleichung $(1)$ , wir bekommen

\begin{aligned} j_{M A X} = \frac{u^{2}}{G} - \frac{G X^{2}}{2 u^{2}} [1 + \frac{u^{4}}{G^{2} X^{2}}] \\ ⟹ & j_{M A X} = \frac{u^{2}}{2 G} - \frac{G X^{2}}{2 u^{2}} \end{aligned}

$\begin{aligned} &y_{max}=\dfrac{u^2}{g}-\dfrac{gx^2}{2u^2}\left[1+\dfrac{u^4}{g^2x^2}\right] \\ \implies & y_{max}= \dfrac{u^2}{2g}-\dfrac{gx^2}{2u^2} \end{aligned}$

Die Granate kann einen durch definierten Bereich treffen

j \leq \frac{u^{2}}{2 G} - \frac{G X^{2}}{2 u^{2}}

$y\le \dfrac{u^2}{2g}-\dfrac{gx^2}{2u^2}$

Beim Ersetzen von Zahlenwerten, $y=250 m; u=100 m/s; g=10 m/s^2$ , wir bekommen

\frac{X^{2}}{2000} \leq 250 ⟹ - 500 \sqrt{2} \leq X \leq 500 \sqrt{2}

$\dfrac{x^2}{2000}\le 250 \implies -500\sqrt{2}\le x \le 500\sqrt{2}$

Der Kampfjet kann reisen $1000\sqrt{2}$ m während es getroffen werden kann. Das Flugzeug ist also für einen Zeitraum von in Gefahr

\frac{1000 \sqrt{2}}{500} = 2 \sqrt{2} Sek

$\dfrac{1000\sqrt{2}}{500}=2\sqrt{2}\text{sec}$

Mein Umgang mit der Frage: -

Warum unterscheiden sich meine Antwort und die Antwort der Bücher, was vermisse ich?
Warum findet die Lösung des Buches das Maximum heraus? $y$ für ein bestimmtes $x$ (was meiner Meinung nach die Position des Jets irgendwann ist, wie in meiner Lösung erklärt, korrigiere mich, wenn ich falsch liege).
Warum kann das Projektil nur den in der Lösung definierten Bereich treffen, wollte ich damit sagen, dass die Granate nur in diesem Bereich das Düsenflugzeug treffen kann, wenn dem so ist, dann habe ich immer noch Zweifel, warum nur dieser Bereich.
Abschließend, was könnte die Inspiration des Autors gewesen sein, diese Lösung zu finden

Elegantere Lösungen sind immer willkommen.

Bearbeiten 1: - Ich weiß, dass diese Frage hier gestellt wurde , aber da das OP keine Arbeit bereitgestellt hat, wurde sie zurückgestellt, daher habe ich meine Arbeit bereitgestellt und dies ist auch keine Hausaufgabe, ich löse sie auf meiner eigen.

Bearbeiten 2: -

Wie alle Löser betonten, hatte ich einen Fehler bei der Bestimmung der Referenzzeit für den Jet gemacht, um das zu korrigieren, versuchte ich Folgendes.

Sei die Position des Jets in der kartesischen Ebene $(x+500t,250)$ , Wo $-\infty\le x \le\infty$ Und $\Delta t$ stellt die Zeit dar, die verstrichen ist, nachdem die Kugel aus der Waffe abgefeuert wurde und die Kugel den Jet traf (da mir nichts Gutes einfiel, das das auch sagen könnte $t$ kann negativ sein, wenn wir nehmen $t=0$ als Referenzzeit, also habe ich stattdessen definiert $\Delta t$ ). Wenn wir diese Werte in die Bahngleichung des Projektils einsetzen, erhalten wir:

Gleichung der Flugbahn eines schräg projizierten Projektils $\theta$ unter dem Einfluss der Gravitationskraft gegeben ist durch

\begin{matrix} (1) & j = X bräunen θ - \frac{G X^{2}}{2 u^{2}} (1 + {bräunen}^{2} θ) \end{matrix}

$y=x\tan{\theta}-\dfrac{gx^2}{2u^2}(1+\tan^{2}{\theta}) \tag{1}$

Beim Ersetzen $(x+500t,250)$ , in Gleichung $(1)$ , wir bekommen

\begin{aligned} 250 = (X + 500 T) bräunen θ - \frac{G (X + 500 T)^{2}}{2 u^{2}} (1 + {bräunen}^{2} θ) \\ ⟹ & \frac{(500 T + X)^{2} G}{2 u^{2}} {bräunen}^{2} θ - (500 T + X) bräunen θ + (250 + \frac{(500 T + X)^{2} G}{2 u^{2}}) = 0 \\ ⟹ & \frac{(500 T + X)^{2}}{2000} {bräunen}^{2} θ - (500 T + X) bräunen θ + (\frac{5 \times 10^{5} + (500 T + X)^{2}}{2000}) = 0 \end{aligned}

$\begin{aligned} & 250=(x+500t)\tan{\theta}-\dfrac{g(x+500t)^2}{2u^2}(1+\tan^{2}{\theta}) \\ \implies & \dfrac{(500t+x)^2g}{2u^2}\tan^2{\theta}-(500t+x)\tan{\theta}+\left(250+\dfrac{(500t+x)^2g}{2u^2}\right)=0 \\ \implies & \dfrac{(500t+x)^2}{2000}\tan^2{\theta}-(500t+x)\tan{\theta}+\left(\dfrac{5\times10^5+(500t+x)^2}{2000}\right)=0 \end{aligned}$

Nun, damit eine solche Flugbahn existiert $\tan{\theta}\in \mathbb{R}$ , So $D\ge0$

\begin{aligned} ∴ & (X + 500 T)^{2} - 4 (\frac{(500 T + X)^{2}}{2000}) (\frac{5 \times 10^{5} + (500 T + X)^{2}}{2000}) \geq 0 \\ ⟹ & (500 T + X)^{2} (5 \times 10^{5} - (500 T + X)^{2}) \geq 0 \end{aligned}

$\begin{aligned} \therefore \qquad &(x+500t)^2-4\left(\dfrac{(500t+x)^2}{2000}\right)\left(\dfrac{5\times10^5+(500t+x)^2}{2000}\right) \ge 0 \\ \implies & (500t+x)^2(5\times10^5-(500t+x)^2)\ge 0 \end{aligned}$

Nun lass $(500t+x)=p$ , dann wird die obige Ungleichung

\begin{aligned} P^{2} (5 \times 10^{5} - P^{2}) \geq 0 \\ ⟹ & - 500 \sqrt{2} \leq P \leq 500 \sqrt{2} \end{aligned}

$\begin{aligned} &p^2(5\times10^5-p^2)\ge0 \\ \implies &-500\sqrt{2}\le p\le 500\sqrt{2} \end{aligned}$

Wie wir das sehen können $p=(500t+x)$ repräsentiert die $x$ -Koordinate des Jets, also erhalten wir, dass der Jet in Gefahr ist, wie in der obigen Ungleichung für dargestellt $\boxed{2\sqrt2}$ Sekunden.

Bitte sagen Sie mir, ob ich Fehler gemacht habe und die Lösung des Buches viel intuitiver und kürzer zu sein scheint.

Antworten (3)

Gefahrenzone für Flugzeuge

Floris · Answer 1

AKTUALISIERT Sammy Gerbil wies zu Recht darauf hin, dass meine Antwort falsch war – und ich entschuldige mich dafür. Hier ist also die "echte" Antwort ...

Beginnen wir mit dem folgenden Diagramm:

Es ist ein Diagramm der möglichen Flugbahnen der Kanonenkugel, abgefeuert in verschiedenen Winkeln. Grün ist der "kritische" Winkel - derjenige, der gerade eine Höhe von 250 m erreichen würde. Aber wie Sie sehen können, ist das NICHT der Winkel, der den Jet am weitesten entfernten Punkt trifft! Es ist möglich, ein bisschen höher zu zielen und ein bisschen weiter zu kommen (danke Sammy Gerbil für den Hinweis).

Die Frage zeigte eine Gleichung für die Flugbahn, mit der vielleicht nicht jeder vertraut ist. Ich war nicht... Also beschloss ich, mich davon zu überzeugen, indem ich es von der Parametergleichung ableite, die ich kenne. Für ein mit Geschwindigkeit abgefeuertes Projektil $v$ in einem Winkel $\theta$ zur Horizontalen sind die horizontalen und vertikalen Komponenten der Geschwindigkeit:

v_{X} = v \cos θ v j = v Sünde θ - G \cdot T

$v_x = v\cos\theta\\ vy=v\sin\theta-g\cdot t$

Wir können diese wrt Zeit integrieren, um die Position zu bekommen:

X = v \cos θ \cdot T j = v Sünde θ \cdot T - \frac{1}{2} G T^{2}

$x = v\cos\theta\cdot t\\ y = v \sin \theta \cdot t - \frac12 g t^2$

Umstellen des Ausdrucks für $x$ gibt uns $t$ :

T = \frac{X}{v \cos θ}

$t = \frac{x}{v\cos\theta}$

Setzen Sie dies in den Ausdruck für ein $y$ wir bekommen

j = \frac{v Sünde θ \cdot X}{v \cos θ} - \frac{1}{2} G \frac{X^{2}}{v^{2} \cos^{2} θ} = X bräunen θ - \frac{G X^{2}}{2 v^{2}} (1 + {bräunen}^{2} θ)

$y = \frac{v\sin\theta\cdot x}{v\cos\theta} - \frac12 g \frac{x^2}{v^2 \cos^2\theta}\\ = x \tan\theta -\frac{g x^2}{2 v^2}\left(1+\tan^2\theta\right)$

Das kommt Ihnen bekannt vor – mir war es neu. Aber es war das nächste Stück, wo Sie Probleme hatten. Sie haben den Zeitraum berechnet, in dem eine Kugel die Höhe erreichen könnte $h$ , und nahm an, dass die längste benötigte Zeit dem weitesten möglichen Schuss entsprechen würde (was eigentlich nicht stimmt: die benötigte Zeit wäre am längsten, wenn die Kugel direkt nach oben abgefeuert wird). Sie gingen auch davon aus, dass die Kugel beim Abfeuern den Jet treffen würde, der über Ihnen vorbeiflog. Da der Jet schneller fliegt als die Kugel, kann dies niemals wahr sein. Dass Ihre Lösung dann auch nur annähernd den richtigen Zahlenwert erreicht hat, grenzt an ein Wunder. [ aber siehe unten... Ich denke, nach deiner letzten Bearbeitung verstehe ich dieses "Wunder" ]

Fahren wir also mit der Argumentation fort. Wir müssen die größtmögliche Entfernung finden $x$ die in der Höhe erreicht werden können $h$ . Die einzige Variable ist $\theta$ . Das bedeutet, wenn wir die Ableitung von nehmen $x$ gegenüber $\theta$ , entspricht der stationäre Punkt (Nullsteigung) der weitesten Entfernung (Sie müssen natürlich überprüfen, ob es sich nicht um die kürzeste Entfernung handelt). Dies ist, was die Antwort in dem Buch getan hat. Aber (und das ist der schlaue Teil), das zu erkennen $\tan\theta$ eine monotone Funktion über den interessierenden Wertebereich ist $<-\pi/2,\pi/2]>$ , kann man sich auch für eine Ableitung entscheiden $\tan\theta$ . Normalerweise würde dies formal durch Substitution von Variablen erfolgen; Die Lösung des Buches nimmt eine Abkürzung.

Wenn wir setzen $q = \tan\theta$ , können wir die Bahngleichung umschreiben als

\begin{matrix} (1) & j = X Q - \frac{G X^{2}}{2 v^{2}} (1 + Q^{2}) \end{matrix}

$y = x q - \frac{gx^2}{2 v^2}(1+q^2)\tag1$

und der Wert von $q$ wo der stationäre Punkt ist (am weitesten entfernt) geschieht wann

\frac{D j}{D Q} = 0

$\frac{dy}{dq}=0$

Hinweis - Mit diesem Ansatz erlauben wir $y$ mit variieren $\theta$ - wir finden den höchstmöglichen Wert von $y$ bei gegeben $x$ . Dies ist mathematisch einfacher zu bewerkstelligen, da der Ausdruck linear ist $y$ . Dies bringt uns jedoch zu einem Ausdruck für die gestrichelte rote Linie in meinem Diagramm, als hätte ich die Ableitung von genommen $x$ gegenüber $\theta$ - aber es wäre härtere Arbeit gewesen.

Das heisst

0 = X - \frac{Q G X^{2}}{v^{2}} X = \frac{Q G X^{2}}{v^{2}} Q = \frac{v^{2}}{G X}

$0 = x - \frac{q g x^2}{v^2}\\ x = \frac{q g x^2}{v^2}\\ q = \frac{v^2}{g x}$

Ersetzen Sie diesen Ausdruck durch $q$ zurück in die Flugbahn (1), bekommen wir

j = \frac{v^{2}}{G} - \frac{G X^{2}}{2 v^{2}} (1 + {(\frac{v^{2}}{G X})}^{2}) = \frac{v^{2}}{2 G} - \frac{G X^{2}}{2 v^{2}}

$y = \frac{v^2}{g} - \frac{g x^2}{2 v^2}\left(1 + \left(\frac{v^2}{g x}\right)^2\right)\\ = \frac{v^2}{2g} - \frac{g x^2}{2 v^2}$

Diese beschreibt eine Parabel, die die Einhüllende aller möglichen Punkte ist, die erreicht werden können (denn bei jedem Wert von $y$ es gibt uns das Größte und das Kleinste $x$ die getroffen werden können). Ich habe diese Kurve als rote gestrichelte Linie in die Abbildung eingefügt. Und jetzt ist die Lösung einfach.

Wir müssen nur den Wertebereich finden $x$ die sich innerhalb der roten gestrichelten Linie befinden - mit anderen Worten, wir lösen

H = \frac{v^{2}}{2 G} - \frac{G X^{2}}{2 v^{2}} X^{2} = \frac{2 v^{2}}{G} (\frac{v^{2}}{2 G} - H)

$h = \frac{v^2}{2g} - \frac{g x^2}{2 v^2}\\ x^2 = \frac{2 v^2}{g}\left(\frac{v^2}{2g}-h\right)$

Dies gibt uns zwei Werte für $x$ - eine positive und eine negative. Wenn Sie einstellen $g=10 ~\rm{m/s}$ , das Intervall ist $[-500\sqrt{2}, 500\sqrt{2}]$ und da der Jet mit einer Geschwindigkeit von 500 m/s fliegt, ist er für insgesamt anfällig $\sqrt{8}$ Sekunden - die Zeit, die benötigt wird, um durch die Zone zu fliegen, in der die Kanone sie erreichen könnte.

Beachten Sie, dass die Kanone immer beträchtlich abgefeuert werden muss, bevor der Jet in den "geschützten Luftraum" eintritt - selbst wenn er direkt nach oben abgefeuert wird, dauert es über 2,5 Sekunden, um die Höhe des Jets zu erreichen.

Als Referenz ist hier der Python-Code, der zum Generieren des Diagramms verwendet wurde:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from math import pi,sqrt,acos,asin

vgun = 100.0
h    = 250.0
g    = 9.81

t = np.linspace(0,20,200)

# the curve that just touches the path of the jet:
vy_critical = sqrt(2*g*h)
th_critical = acos(vy_critical / vgun)
ax=plt.figure()
vx = vgun*np.sin(th_critical)
vy = vgun*np.cos(th_critical)
x = t*vx
y = vy*t-0.5*g*t*t
plt.plot(x,y,'g')
x = -x;
plt.plot(x,y,'g')

# add a number of trajectories at different angles:
for theta in np.linspace(-90,90,19)*pi/180:
    vx = vgun*np.sin(theta)
    vy = vgun*np.cos(theta)
    x = t*vx
    y = vy*t-0.5*g*t*t
    plt.plot(x,y,'b')


# limiting angle - largest range
th_crit = asin(sqrt((-2*g*h+vgun*vgun)/(-2*g*h+2*vgun*vgun)))
vxc = vgun*np.sin(th_crit)
vyc = vgun*np.cos(th_crit)
xc = t*vxc
yc = t*vyc -0.5*g*t*t
plt.plot(xc,yc,'m')
plt.plot(-xc,yc,'m')

# add the path of the jet:
plt.plot([-800,800],[h,h],'r')

# limit the range of the axes:
ax=plt.gca()
ax.set_ylim((0,2*h))
ax.set_xlim((-800,800))
plt.xlabel('horizontal position (m)')
plt.ylabel('vertical position (m)')
plt.title('possible trajectories')

# add the envelope of trajectories
x = np.linspace(-800,800,1000)
y = vgun*vgun/(2*g) - g*x*x/(2*vgun*vgun)
plt.plot(x,y,'r',ls='--') # red dashed line
plt.show()

AKTUALISIEREN

Also - was ist, wenn überhaupt, falsch an der neuesten Version Ihrer Lösung (die immerhin die richtige Antwort liefert)? Ich musste eine ganze Weile darüber nachdenken, aber ich glaube, ich habe herausgefunden, was los ist. Meine Verwirrung wurde nicht durch die Tatsache unterstützt, dass Sie verwendet haben $x$ um zwei verschiedene Dinge zu bedeuten - sowohl die Anfangsposition des Jets, wenn die Kanone abgefeuert wird, als auch die Position, an der er von der Kanone abgefangen wird.

Aber deswegen funktioniert deine Lösung. Sie lösen nach allen möglichen Trajektorien, die sich schneiden, und nach denen $\tan\theta$ ist gültig. Dies führt zu einer Ungleichheit in Ihrer Amtszeit $p^2$ , und das gibt Ihnen einen minimalen und maximalen Wert von $p$ . Endlich seit $p = 500 t + x_0$ , und du hast beide $p_{max}$ Und $p_{min}$ , können Sie den Zeitunterschied finden, ohne wissen zu müssen, was $x_0$ War.

Umständlich, aber richtig.

Der übliche Ansatz besteht darin, den Maximalwert von zu finden $x$ , indem man die Ableitung nimmt. Das haben sowohl das Buch als auch meine Lösung getan. Aber Sie haben tatsächlich einen anderen gültigen Weg gefunden, um die Lösung zu erhalten. Also gut gemacht.

Meine Lösung ist also richtig, das einzige Problem ist, dass ich das negative Zeitintervall zum Abfeuern der Kanone nicht berücksichtigt habe, und ich denke auch (korrigieren Sie mich, wenn ich falsch liege), was Sie vorschlagen, ist, dass ich es nicht hätte nehmen sollen $t=0$ Als Referenz für das Abfeuern der Kanone hätte ich stattdessen nur in Betracht ziehen sollen $t$ B. das Zeitintervall, in dem die Kugel die erreicht $250m$ Höhe und dann gleich die $x$ Koordinate des Geschosses zu der Position des Strahls nach Ablauf der Zeit $t$ .
Ja, ich denke, das ist richtig. Sie waren sehr nah dran – ich wollte die Situation nur so darstellen, dass deutlicher wird, dass Sie „rückwärts schießen“ können.
Ah ... noch etwas, die Fragen, die ich bisher gelöst habe, deuten alle darauf hin, dass die negative Zeit darauf hindeutet, dass die erforderlichen Phänomene auch in derselben Flugbahn aufgetreten wären, als das Projektil zuvor abgefeuert worden wäre $x$ Sekunden, wo $x$ ist der Absolutwert der negativen Zeit. Woher wissen Sie also bei dieser Frage, dass eine negative Zeit darauf hindeutet, rückwärts zu schießen, anstatt auf die imaginäre Flugbahn? Wenn möglich, können Sie auch erklären, was die Lösung des Buches sagt, weil es mich sehr lange von innen nach außen aufgefressen hat
Das Problem ist, dass Sie willkürlich entscheiden, dass es eine Zeit gibt, die Sie "t = 0" nennen. Das ist nicht nötig. Stattdessen müssen Sie sehen, "während welchem Segment seines Fluges der Jet von der Kanone getroffen werden kann", und das zeigt mein Diagramm. Sie sagen dann "Die Entfernung ist X, die Geschwindigkeit v, also ist die Gefahrenzeit t = X / v". Es besteht keine Notwendigkeit, "negative Zeit" aufzurufen, es sei denn, Sie sagen "über der Kanone ist t = 0", aber das ist völlig willkürlich. Wenn das Flugzeug diesen Punkt um 10 Uhr überquert, könnte man genauso sagen "t=36000".
Okay ... also sollte man unter diesen Bedingungen, bei denen die Position eines Objekts (dem Solver) unbekannt ist, keine Referenzzeit aufrufen, stattdessen ist die Verwendung eines Zeitintervalls erforderlich. Korrigiere mich, wenn ich falsch liege.
Okay, nach einigem ruhigen Nachdenken denke ich, dass Ihre Lösung tatsächlich alle meine Zweifel beantwortet, also werde ich sie akzeptieren.
Das war eine ausgezeichnete Antwort, Floris. Deshalb habe ich dafür gestimmt.
Ich denke, Ihre Antwort könnte falsch sein. Wenn ich das richtig verstehe, sagen Sie, dass das Intervall zwischen den beiden Punkten, an denen sich die rote Linie und die grüne Trajektorie schneiden, die "Gefahrenzone" ist. Allerdings kreuzen die blauen Flugbahnen direkt über den grünen die rote Linie (ein zweites Mal) in einem größeren horizontalen Abstand von der Flak. Die "Gefahrenzone" erscheint mir also größer als das, was Sie sagen.
@sammygerbil du hast recht!! Ich muss das noch ein bisschen durchdenken und meine Antwort aktualisieren.
@Floris - Okay, jetzt, nachdem ich Ihre geänderte Antwort gesehen habe, bin ich wieder verwirrt. In dem Absatz, in dem Sie mit der Erklärung der Lösung des Buches begonnen haben, haben Sie erklärt, dass für eine feste Höhe (z $h$ ) das Maximum $x$ für diese Höhe kann durch erhalten werden $\frac{dx}{d\theta}=0$ , so für $h=250m$ , das Maximum $x$ finden Sie unter $\frac{dx}{d\theta}=0$ , warum hast du dann erwähnt "und den Wert von $q$ wo der stationäre Punkt ist (am weitesten entfernt) geschieht wann $\frac{dy}{dz}=0$ ", als $y$ konstant ist, so wird die Ableitung sein $0$ mit Sicherheit. Das war auch das, was mich an der Lösung des Buches am meisten gestört hat.
Ich habe nicht verstanden, wie Sie zu dem Schluss gekommen sind, was Sie über meine Lösung gesagt haben. Was ich getan habe, war (was Sie erklärt haben, warum es genauso falsch war wie bei allen anderen Lösern), nur der Schnittpunkt der Flugbahnen des Flugzeugs und der AA-Kanone. was vom Parameter abhing $t$ (Zeit), was sehr schlecht gewählt war, aber ich habe nicht verstanden, wie Sie zu dem Schluss gekommen sind: "Sie haben den Zeitbereich berechnet, in dem eine Kugel die Höhe erreichen könnte $h$ , und angenommen, dass die längste benötigte Zeit dem weitesten möglichen Schuss entsprechen würde (was eigentlich nicht stimmt: die benötigte Zeit wäre am längsten, wenn die Kugel direkt nach oben abgefeuert wird).
@Floris - Ich habe meine Lösung aktualisiert, wenn Sie bitte nach Fehlern darin suchen können. Außerdem bin ich immer noch verwirrt über die Lösung des Buches und meine Zweifel bleiben bestehen, wie in den beiden obigen Kommentaren angegeben
Bitte sehen Sie, ob meine neuesten Änderungen die Dinge für Sie klären!

Tief · Answer 2

Die Bahn des Projektils ist eine Parabel, deren Spitze (Punkt maximaler Höhe) davon abhängt $\theta$ . Für bestimmte Werte von $\theta$ , die Spitze reicht nicht einmal bis zu der Höhe, in der der feindliche Jet fliegt. Für alle Fälle, in denen der Apex gleich oder größer als die Höhe des feindlichen Jets ist, gibt es also a $\textit{possibility}$ den feindlichen Jet zu treffen (der Schütze muss seinen Schuss richtig timen). Dies ist die Gefahrenzone für den feindlichen Jet, die bei diesen Werten beginnt und endet $x$ , wobei die Spitze der Parabel gerade der Höhe des Jets entspricht.

Mit anderen Worten, wann immer die Höhe der Spitze der Parabel ist $y_{max}\geq y_{jet}$ (Flughöhe) Der Jet befindet sich im Gefahrenbereich. Das ist, was die Lehrbuchlösung sagt, was richtig ist.

Ich sehe, was Sie andeuten, ist, dass dies immer der Fall ist $y_{max}\ge y_{jet}$ , dann besteht die Gefahr, dass der Jet getroffen wird, aber was ist, wenn zu dem Zeitpunkt, zu dem die Kugel aufsteigt (oder von der Spitze herunterfällt) auf die Höhe, in der der Jet fliegt, der Jet bereits aus seiner Reichweite (der Kugel) entkommen ist ( in der Höhe von $25m$ )
In der Frage und auch in der Antwort scheint die Gefahrenzone als der Bereich definiert zu sein, in dem nur die Möglichkeit besteht, getroffen zu werden. Wenn Sie Pilot dieses Jets wären, würden Sie es nicht genauso definieren?
@ user350331 , sind Sie sicher, dass die ursprüngliche Frage keinen Tippfehler enthält? Wie bereits erwähnt, bewegt sich die Kugel 5-mal langsamer als der Jet. Offensichtlich ist dies ziemlich unrealistisch, wenn Sie es ernst meinen, den Jet abzuschießen.

Färcher · Answer 3

Berücksichtigen Sie bei Ihrer Lösung, was wann passiert $t=0$ .
Das Projektil ist in Position $(0,0)$ und der Jet ist in Position $(0,250)$ dh in einer Höhe von 250 m direkt über dem Projektil.
Wenn dies die Anfangsbedingung wäre, würde das Projektil niemals den Jet treffen.

Ich habe die Anmerkung des Diagramms geändert, von der ich hoffe, dass sie Ihnen hilft zu verstehen, wie die Lösung erhalten wurde.

Diese Lösung findet die maximale Höhe $y_{\text{max}}$ für eine gegebene horizontale Verschiebung des Projektils $x$ .

j_{max} = \frac{u^{2}}{2 G} - \frac{G X^{2}}{2 u^{2}} = 500 - \frac{X^{2}}{2000}

$y_{\text{max}}= \dfrac{u^2}{2g}-\dfrac{gx^2}{2u^2} = 500 - \dfrac{x^2}{2000}$

Jetzt muss nur noch sichergestellt werden, dass die maximale Höhe des Projektils erreicht wird $y_{\text{max}}$ gleich oder größer als die Strahlhöhe von 250 m ist.
Die Grenzwerte von $x$ auftreten wann $250 = 500 - \dfrac{x^2}{2000} \Rightarrow x = \pm 500 \sqrt 2$ m und dann folgt die Antwort.

Ihrer Lösung konnte ich entnehmen, dass zunächst einmal die Gefahrenzone der Bereich ist, in dem das Düsenflugzeug wahrscheinlich getroffen wird, wenn der Schuss perfekt getimt ist. Auch in Ihrer Lösung haben Sie gesagt, dass die Gefahrenzone so festgelegt ist, dass der Scheitelpunkt der Flugbahn des Geschosses ist $\ge 250m$ . Also, wenn wir die maximale Reichweite des Projektils herausfinden, die herauskommt $1000~\mathrm{m}$ bei $\theta=\pi/4$ und in diesem Winkel kommt die Spitze heraus $250m$ , Dann $\pi/4\le\theta\le\pi/2$ , habe ich recht.
Außerdem müsste ich das Schießen der Waffe in beiden Quadranten berücksichtigen. Und ob die Waffe schräg schießen kann $\pi/4\le\theta\le\pi/2$ dann habe ich einige Probleme, die Koordinaten zu finden, wenn sich die Kugel in einer Höhe befindet $250m$ damit ich das Intervall von finden kann $x$ in denen der Jet in Gefahr ist. Ich weiß nicht warum, aber diese Frage ist mir immer noch ein wenig unangenehm, und mir fallen keine Worte ein, die meine Zweifel klar zum Ausdruck bringen würden.
@ user350331 Ich habe meine Antwort umgeschrieben, um zu versuchen, etwas detaillierter zu erklären, wie die Buchantwort erhalten wurde.
Vielen Dank .... die Visualisierung mit den hinzugefügten Anmerkungen hat sehr geholfen und sie haben auch die Fragen beantwortet, die ich stellen wollte, aber nicht gut genug Worte finden konnte, um einen Sinn daraus zu machen. Ich muss zugeben, dass Sie ein Lebensretter sind.

Gefahrenzone für Flugzeuge

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Auflösen nach der Anfangsgeschwindigkeit eines Projektils bei gegebenem Winkel, Schwerkraft und Anfangs- und Endposition?

Projektil, Luftwiderstand und Wind

Projektilbewegung aus großer Höhe

Flugbahn des bergab geworfenen Projektils

Finden Sie die Kraft, die erforderlich ist, um den Körper in Bezug auf die Widerstandskraft für eine bestimmte Zeit auf eine bestimmte Geschwindigkeit zu beschleunigen

Paintballs ausweichen

Maximale Reichweite eines Projektils (aus einer Höhe abgefeuert) [geschlossen]

Optimaler Startwinkel für ein Projektil, das aus einer Höhe über dem Boden abgefeuert wird [geschlossen]

Finden des optimalen Winkels einer Projektilbewegung [geschlossen]

Horizontale Entfernung, die von einem Objekt von einer Anfangshöhe bis zum Boden zurückgelegt wird