Finden des optimalen Winkels einer Projektilbewegung [geschlossen]

Es hilft, das Problem zu skalieren, indem die dimensionslose Variable definiert wird

$$\delta=\frac{2gh}{v_0^2}.$$ Beachten Sie, dass wir die Grenze nehmen können $\delta\rightarrow0$um die Lösung zu erholen, wenn $h=0$in diesem Fall erwarten wir zu bekommen $\alpha=\tfrac{\pi}{4}$. Mit dieser Substitution wird Ihr Ausdruck für den Zeitpunkt, zu dem das Projektil den Boden berührt $$t_{y=0}=\frac{v_0}{g}\left(\sqrt{\sin^2\alpha+\delta}+\sin\alpha\right).$$ Setzen Sie dies in den Ausdruck für ein $x(t)$gibt $$x(t_{y=0})=\frac{v_0^2}{g}\cos\alpha\left(\sqrt{\sin^2\alpha+\delta}+\sin\alpha\right).$$ Es ist dieser Ausdruck, in Bezug auf den wir maximieren wollen $\alpha$. Bilden der ersten Ableitung ergibt $$\frac{d}{d\alpha}x(t_{y=0})= \frac{v_0^2}{g}\left(\cos^2\alpha\left(\frac{\sin\alpha} {\sqrt{\sin^2\alpha+\delta}}+1\right) -\sin\alpha\left(\sqrt{\sin^2\alpha+\delta}+\sin\alpha\right) \right).$$ Jetzt setzen wir dies gleich Null und lösen nach auf $\alpha$. Am Anfang dachte ich ehrlich gesagt nicht, dass das Problem eine Lösung in geschlossener Form haben würde, aber Mathematica hatte keine Probleme, diese Gleichung umzukehren. Das Endergebnis (Auswahl des physischen Ergebnisses) ist $$\alpha=\arccos\left(\frac{\sqrt{\delta+1}}{\sqrt{\delta+2}}\right)$$ Wir können diese Lösung an den üblichen Grenzen überprüfen; bei $\delta=0$wir bekommen $\alpha=\tfrac{\pi}{4}$und bei $\delta=\infty$(die Plattform ist sehr hoch) bekommen wir $\alpha=0$beides hört sich gut an. Beachten Sie das für $\delta<-1$die Lösung liefert imaginäre Ergebnisse, die unphysikalisch sind. Dies liegt daran, wann $\delta<-1$Die Startplattform ist so weit unter der Erde, dass die Anfangsgeschwindigkeit $v_0$reicht nicht einmal, um es an die Oberfläche zu bringen. Vor diesem Hintergrund können wir eine letzte Grenze des Problems überprüfen; Wenn $\delta=-1$, dann reicht die Anfangsgeschwindigkeit gerade aus, um das Projektil dorthin zu bringen $y=0$und der Startwinkel, den wir finden, ist $\alpha=\tfrac{\pi}{2}$die die Waffe gerade nach oben richtet.