Unterschiedliche Ansätze führen zu unterschiedlichen Ergebnissen: Planetengetriebeproblem?

Ich habe eine Hausaufgabe:Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

"Ein Planetengetriebe mit festem Zahnrad 1 (Radius r1); Zahnrad 2 (Radius r2) ist beweglich". Zu Beginn ist das System stationär. Wenden Sie ein konstantes Drehmoment M auf die OA-Stange an. Der OA-Stab dreht sich um O und bewirkt, dass sich das Zahnrad 2 bewegt. OA hat das Gewicht Q, Zahnrad 2 hat das Gewicht P. Berechnen Sie die Winkelbeschleunigung des OA-Stabs.

Ich mache diese Hausaufgaben mit zwei Ansätzen und sie geben unterschiedliche Antworten:

Ansatz 1: Energiemethode

Die Winkelgeschwindigkeit von OA bar sei ω

Kinetische Energie von OA bar = 1 2 Q G ( R 1 + R 2 ) 2 3 ω 2

Kinetische Energie von Zahnrad 2 = 1 2 ( 1 2 P G R 2 2 ) ω 2 2 + 1 2 P G v A 2

ω 2 = R 1 + R 2 R 2 ω

v A = ( R 1 + R 2 ) ω

Daher ist die gesamte kinetische Energie = 1 2 2 Q + 9 P 6 G ( R 1 + R 2 ) 2 ω 2 = Gesamtarbeit = M ϕ

Zwei Seiten differenzieren, Winkelbeschleunigung angeben γ = 6 M G ( 2 Q + 9 P ) ( R 1 + R 2 ) 2

Ansatz 2: Drehimpulsverfahren

Drehimpuls von OA bezüglich Punkt O = 1 3 Q G ( R 1 + R 2 ) 2 ω

Drehimpuls von Zahnrad 2 bezüglich Punkt A = 1 2 P G R 2 2 ω 2

Drehimpuls von Zahnrad 2 bezüglich Punkt O = Drehimpuls von Zahnrad 2 bezüglich Punkt A + P G Ö A v A = 1 2 P G R 2 2 ω 2 + P G ω ( R 1 + R 2 ) 2

Daher ist der Gesamtdrehimpuls des Systems in Bezug auf den Punkt O = 1 3 Q G ( R 1 + R 2 ) 2 ω + 1 2 P G R 2 2 ω ( R 1 + R 2 ) / R 2 + P G ω ( R 1 + R 2 ) 2

Obigen Begriff differenzieren gibt uns: γ ( 1 3 Q G ( R 1 + R 2 ) 2 + 1 2 P G R 2 2 ( R 1 + R 2 ) / R 2 + P G ( R 1 + R 2 ) 2 ) = M

Somit γ = 6 M G ( 2 Q + 9 P ) ( R 1 + R 2 ) 2 − 3 P R 1 ( R 1 + R 2 )

Die beiden Ergebnisse sind unterschiedlich, was übersehe ich?

Antworten (1)

Ansatz 1 ist richtig.

Sie haben in Ansatz 2 nicht alle auf das System (Stange + Zahnrad 2) wirkenden Drehmomente berücksichtigt.

Die dem fehlenden Drehmoment entsprechende Kraft ist dafür verantwortlich, dass die reine Rollbewegung von Zahnrad 2 (Bedingung: Momentan ruhender Kontaktpunkt) auf der Oberfläche von Zahnrad 1 jederzeit aufrechterhalten wird. Das fehlende Drehmoment wirkt sich nicht auf das System aus, weshalb Ansatz 1 die richtige Antwort gab, obwohl Sie das Vorhandensein dieses Drehmoments nicht erkannt haben. Ich überlasse es Ihnen, dieses fehlende Drehmoment herauszufinden.

Ist das fehlende Drehmoment das Drehmoment, um Zahnrad 1 stationär zu halten? Ohne würde sich Gang 1 bewegen?
Nein. Das fehlende Drehmoment ergibt sich aus der Wechselwirkungskraft zwischen Zahnrad 1 und 2: Die Kraft ist der Reibungskraft sehr ähnlich, die für die Durchsetzung der „Nicht-Schlupf“-Beschränkung zwischen den beiden Scheiben verantwortlich ist. Diesem fehlenden Drehmoment, das auf Zahnrad 1 wirkt, kann durch das vom Boden/Drehpunkt aufgebrachte Drehmoment entgegengewirkt werden, um ein Nettodrehmoment von Null zu ergeben: Deshalb bleibt Zahnrad 1 stationär. Und dieses fehlende, auf Zahnrad 2 wirkende Drehmoment ist verantwortlich für die Winkelbeschleunigung von Zahnrad 2 ( ω ˙ 2 ). Um dies zu sehen, schreiben Sie auf D L C M D T = τ C M wenn man bedenkt, dass das System nur Gang 2 ist.
(Forts.) CM ist der Schwerpunkt von Zahnrad 2: Punkt A in der Abbildung. Ihr erster Schritt sollte darin bestehen, die Wechselwirkungskraft zwischen Zahnrad 1 und Zahnrad 2 zu finden, die tangential zu den beiden Scheiben ist. Lassen Sie mich wissen, wenn Sie nicht verstehen/fortfahren können.
Ich kann die Wechselwirkungskraft zwischen Zahnrad 1 und Zahnrad 2 nur in einer Funktion von ausdrücken γ . Addieren Sie dann das Moment dieser Kraft in Bezug auf O in Ansatz 2 und lösen Sie dann die Gleichung für γ
Ja, es ist eine Funktion von γ seit ω ˙ 2 ist eine Funktion von γ . Stimmt das Ergebnis von Ansatz 2 nun mit dem Ergebnis von Ansatz 1 überein?
ω ˙ 2 = D ω 2 D T . Nur für den Fall, dass Ihnen meine Notation nicht vertraut ist.
Danke, ich habe es! das Ergebnis von Ansatz 2 stimmt nun mit dem Ergebnis von Ansatz 1 überein.
Unterschiedliche Ansätze führen zu unterschiedlichen Ergebnissen: Planetengetriebeproblem?
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