Dynamik paarweiser Abstände im nnn-Körper-Problem

Question

Dynamik paarweiser Abstände im nnn-Körper-Problem

ichhaufen

Bedenke die $n$ -Körper-Problem, bei dem wir daran interessiert sind, die zeitliche Entwicklung von zu beschreiben $n$ Massen, die durch ein Potential interagieren $U$ . Lassen $D$ sei die Matrix, die alle paarweisen Abstände zwischen unseren Massen enthält; dh

D_{ich J} = \sqrt{(X_{ich} - X_{J})^{2} + (j_{ich} - j_{J})^{2} + (z_{ich} - z_{J})^{2}}

$D_{ij} = \sqrt{(x_i - x_j)^2 + (y_i - y_j)^2 + (z_i - z_j)^2}$ Wo

x_{i}, y_{i}, z_{i}

$x_i, y_i, z_i$ sind die kartesischen Koordinaten der

i

$i$ te Messe. Annehmen, dass

U

$U$ hängt nur davon ab

D

$D$ , und nicht einzelne Positionen. [1]

Ich bin daran interessiert, eine Differentialgleichung zu finden, die die zeitliche Entwicklung von beschreibt $D$ , ohne dass einzelne Positionen darin auftauchen. Können wir eine solche Gleichung in der klassischen Mechanik formulieren?

[1] Dies gilt zwar für das Newtonsche Gravitationsgesetz, muss aber nicht für ein generisches Potential gelten.

Zitrone

Sicher, die Euler-Lagrange-Gleichung mit

D_{i j}

$D_{ij}$ als Ihre verallgemeinerten Koordinaten.

ichhaufen

@lemon: Ich habe eigentlich schon vorher darüber nachgedacht, aber ich war mir nicht sicher, wie es funktionieren würde. Es gibt zwei Probleme, die ich nicht umgehen kann: (1) Verallgemeinerte Koordinaten müssen einzelne Positionen eindeutig bestimmen, nicht wahr? Unser

D_{i j}

$D_{ij}$ haben diese Eigenschaft nicht. (2) Unabhängig von der ersten Frage, wie man kinetische Energie in Ausdrücken wie ausdrückt

\partial D_{i j} / \partial t

$\partial D_{ij} / \partial t$ ist für mich nicht ersichtlich. Ich habe versucht, dies zu tun, aber ich bin schnell auf Begriffe wie gestoßen

\partial r_{k} / \partial D_{i j}

$\partial \mathbf{r}_k / \partial D_{ij}$ , was mich Positionen nicht ganz loswerden ließ.

Antworten (1)

Dynamik paarweiser Abstände im nnn-Körper-Problem

Sicher, die Euler-Lagrange-Gleichung mit $D_{ij}$ als Ihre verallgemeinerten Koordinaten.
@lemon: Ich habe eigentlich schon vorher darüber nachgedacht, aber ich war mir nicht sicher, wie es funktionieren würde. Es gibt zwei Probleme, die ich nicht umgehen kann: (1) Verallgemeinerte Koordinaten müssen einzelne Positionen eindeutig bestimmen, nicht wahr? Unser $D_{ij}$ haben diese Eigenschaft nicht. (2) Unabhängig von der ersten Frage, wie man kinetische Energie in Ausdrücken wie ausdrückt $\partial D_{ij} / \partial t$ ist für mich nicht ersichtlich. Ich habe versucht, dies zu tun, aber ich bin schnell auf Begriffe wie gestoßen $\partial \mathbf{r}_k / \partial D_{ij}$ , was mich Positionen nicht ganz loswerden ließ.

Arnold Neumaier · Answer 1

Aus den Gleichungen $\dot q = p/m$ Und $\dot p=V'(q)$ und die Definition $Q=D(q)$ Sie können durch Differentiation ableiten $m\dot Q=D'(q)p$ Und $\ddot m^2Q=D''(q)pp-mD'(q)V'(q)$ , Wo $m$ ist eine Diagonalmatrix von Massen. Die zweite Gleichung erzeugt eine ODE für $Q$ wenn du es ausdrücken kannst $p$ bezüglich $\dot Q$ bis zu Termen im Nullraum von $D''(q)$ (dh Translations- und Rotationsfreiheitsgrade). Dies sollte aus der ersten Gleichung möglich sein, die drastisch unterbestimmt ist und daher viele Lösungen haben sollte.

Um es tatsächlich zu tun, würde ich das zuerst versuchen (bin aber zu faul dazu). $k$ -Partikelkasten für $k=2,3,4$ um zu sehen, ob es eine nette Formel gibt. Der Fall $k=4$ sollte schon allgemein genug sein, um die Formel für allgemein zu erraten $k$ .

Hallo Prof. Neumaier. Ich würde gerne den von Ihnen vorgeschlagenen Ansatz untersuchen und sehen, wohin er führt. Ich könnte bald um Klärung bitten. Danke für die Antwort.
@iheap: Mir ist aufgefallen, dass ich einige Faktoren übersehen hatte $m$ ; jetzt korrigiert.
Hallo Prof. Neumaier! Es ist fast ein Jahr her, seit Sie einen möglichen Weg zur Lösung dieser Frage vorgeschlagen haben. Ich habe versucht, Ihren Rat für die zu befolgen $k = 3$ Fall, jedoch ohne Erfolg. Wären Sie offen für eine Zusammenarbeit mit mir bei diesem Problem? Danke!
@iheap: es ist wahrscheinlich einfacher, Differentialgleichungen für die abzuleiten $c_{ij}=D_{ij}^2$ . Dadurch werden alle Quadratwurzeln beseitigt und alle Berechnungen vereinfacht. Am Ende kann man die Differenzialgleichungen in eine für die Abstände selbst umwandeln. Wenn Sie mit dieser quadratischen Version immer noch nicht umgehen können, stellen Sie das (quadratische) Problem mit Ihren Teilergebnissen auf physicaloverflow.org , wo (anders als hier) eine uneingeschränkte Diskussion möglich ist, und ich werde Sie dorthin führen.

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