Marvin der Marsmensch gegen den Todesstern: Wie viel Energie werden sie tatsächlich brauchen, um die Erde zu zerstören?

Laut einer detaillierten Analyse von Dave Typinski wird Marvin the Martian den Illudium Q-36 Explosive Space Modulator benötigen$1.711 \cdot 10^{32}~\text{J}$um die Erde in eine gravitativ ungebundene Urstaubwolke zu zerschmettern. Diese Energie ist jedoch um über 30 % niedriger als die Gravitationsbindungsenergie, die aus dem geschätzten Durchschnittsdichtemodell abgeleitet wird$2.24 \cdot 10^{32}~\text{J}$. Was irrational erscheint: Wenn sich die Erde bei einer gleichmäßigen Dichteverteilung in einem niedrigeren Energiezustand befände, wie hat sich ihr Dichtegradient überhaupt entwickelt – würde sie sich in diesem Fall nicht zu einer homogenen Dichteverteilung entwickeln?

Curtis Sexton und Wikipedia scheinen meiner Argumentation in diesem Punkt zuzustimmen: Nach den Berechnungen von Curtis Saxton müsste die Strahlwaffenleistung des Todessterns überschritten werden$2.4 \cdot 10^{32}~\text{J}$um der ganzen Materie, die einen erdähnlichen Planeten ausmacht, Fluchtgeschwindigkeit zu verleihen.

Sie können nicht beide Recht haben, also wer gewinnt? Ich setze auf den Todesstern, aber ich habe den Fehler in Daves Berechnungen für Marvin noch nicht gefunden. Hat hier jemand die analytischen Fähigkeiten, um zu sehen, wo er falsch gelaufen ist, oder alternativ, wo ich mich entfernt habe?

Hier ist Daves mathematische Schätzung für Marvin:

Zunächst bietet er eine Gleichung an, um die Schichten verschiedener Dichten aus den PREM-Daten zu einer Summe zusammenzufassen

Wo$r$ist der radiale Abstand vom Erdmittelpunkt und

Die verschiedenen Konstanten sind unten aufgeführt:

$i$. Schicht; Höhe$h_i$(M);$a_i$($kg \cdot m^{-5}$);$b_i$($kg \cdot m^{-4}$);$c_i$($kg \cdot m^{-3}$)

1 Innerer Kern; 1,2215 × 10$^{6}$; -2,1773 × 10$^{-10}$1,9110 × 10$^{-8}$1,3088 × 10$^{4}$

2 Äußerer Kern; 3,4800 × 10$^{6}$; -2,4123 × 10$^{-10}$; 1,3976 × 10$^{-4}$; 1,2346 × 10$^{4}$

3 D''-Schicht; 3,6300 × 10$^{6}$; 0,00; -5,0007 × 10$^{-4}$; 7,3067 × 10$^{3}$

4 Unterer Mantel; 5,7010 × 10$^{6}$; -3,0922 × 10$^{-11}$; -2,4441 × 10$^{-4}$; 6,7823 × 10$^{3}$

5 Innere Übergangszone 1; 5,7710 × 10$^{6}$; 0,00; -2,3286 × 10$^{-4}$; 5,3197 × 10$^{3}$

6 Innere Übergangszone 2; 5,9710 × 10$^{6}$; 0,00; -1,2603 × 10$^{-3}$; 1,1249 × 10$^{4}$

7 äußere Übergangszone; 6,1510 × 10$^{6}$; 0,00; -5,9706 × 10$^{-4}$; 7,1083 × 10$^{3}$

8 Low-Velocity-Zone & Deckel; 6,3466 × 10$^{6}$; 0,00; 1,0869 × 10$^{-4}$; 2,6910 × 10$^{3}$

9 Innere Kruste; 6,3560 × 10$^{6}$; 0,00; 0,00; 2,9000 × 10$^{3}$

10 Äußere Kruste; 6,3680 × 10$^{6}$; 0,00; 0,00; 2.6000×10$^{3}$

11 Ozean; 6,3710 × 10$^{6}$; 0,00; 0,00; 1.0200×10$^{3}$

Verwendung der realen Dichteverteilungen für jede Schalenschicht:

Und Berechnung für jeden Punkt$h$bei jedem gegebenen radialen Abstand von außen nach innen, mit den inneren und oberen Grenzen$h_1$Und$h_2$ergibt jeweils:

Also für jeden$i^{th}$Schicht:

Und für jeden Punkt in einem radialen Abstand von$r$wir haben:

Wo$ΔU_0$= 0 und die indizierten Konstanten für jeden Teil der Funktion sind in der obigen Tabelle beschrieben.

Dies ergibt:

-1,711 × 10$^{32}~\text{J}$

Vielen Dank an alle, die erklären können, wie dies falsch zustande kam!