In welche Richtung wird positive Arbeit unter einer Gravitationskraft verrichtet und was rechtfertigt den Zusammenhang zwischen Arbeit, potentieller und kinetischer Energie?

Wenn ein Objekt frei unter der Schwerkraft fällt, dann sind die Schwerkraft und die Verschiebung des Objekts in der gleichen Richtung. Der Wert des Integrals der Kraft in Bezug auf die Verschiebung (was Sie das "Arbeitsintegral" nennen) ist daher positiv. Die Schwerkraft leistet positive Arbeit$W_g$auf das Objekt und das Ergebnis ist eine Erhöhung der kinetischen Energie$T$des Objekts (das wir direkt messen können). In Abwesenheit von Widerstand oder anderen dissipativen Kräften haben wir

$W_g= \Delta T$

Es ist üblich, den Überblick über die Arbeit zu behalten$W_g$erfolgt durch die Schwerkraft durch Zuweisung einer potentiellen Energie$U$zum Objekt, das von seinem Standort abhängt. Denn der Ort, an dem$U$Null ist, ist willkürlich, wir können ihm keinen absoluten Wert zuweisen$U$, sondern wir setzen die von der Schwerkraft geleistete Arbeit mit der negativen Differenz in gleich$U$dh

$W_g = - \Delta U$

Für ein Objekt, das frei unter der Schwerkraft fällt (unter der Annahme, dass kein Widerstand usw. besteht), haben wir also

$\Delta T + \Delta U = \Delta T - W_g = 0$

Führen wir nun eine äußere Kraft ein$F$das funktioniert$W_F$auf dem Objekt (z. B. durch Anheben vom Boden auf die Spitze eines Berges), dann ist die gesamte Arbeit, die an dem Objekt verrichtet wird$W_F + W_g$und so haben wir

$W_F + W_g = \Delta T \\ \Rightarrow W_F = \Delta T - W_g = \Delta T + \Delta U$

Wenn die Schwerkraft ein konstanter Wert ist$mg$und die Höhe des Objekts ändert sich um einen Betrag$\Delta h$(und das anmerken$\Delta h$ist in die entgegengesetzte Richtung zu$mg$) dann haben wir

$W_g = -mg \Delta h \\ \Rightarrow \Delta U = mg \Delta h \\ \Rightarrow W_F = \Delta T + mg \Delta h$

Es ist wichtig zu verstehen, wer die Arbeit macht. Im Allgemeinen ist die von einer Kraft geleistete Arbeit positiv, wenn die Verschiebung des Objekts, auf das die Kraft wirkt, positiv in Bezug auf diese Kraft ist.

Nehmen Sie Ihr Beispiel eines fallenden Masseteilchens$m$Fallen auf ein größeres Massenobjekt$M$. Lassen$\textbf{r}$sei der radiale Vektor, der ihre Massenschwerpunkte verbindet, wobei der Ursprung am COM der größeren Masse liegt. Die Masse$m$erfährt eine Kraft

$$\textbf{F}_G = -G \frac{mM}{|\textbf{r}|^3} \textbf{r}$$ aufgrund des Gravitationsfeldes der Masse$M$. Die Arbeit, die dieses Feld in der Einnahme verrichtet$m$aus$\textbf{r}_1$Zu$\textbf{r}_2$ergibt sich durch Integration dieser Kraft über dieses Intervall:

$$\text{W}_G = -G m M\, \int_{\textbf{r}_1}^{\textbf{r}_2}\frac{\textbf{r} \cdot d\textbf{r}}{|\textbf{r}|^3} = -G m M\, \int_{r_1}^{r_2}\frac{1}{r^2}\, dr = Gm M\left(\frac{1}{r_2} - \frac{1}{r_1}\right).$$ Beachten Sie, dass das Objekt in Richtung fällt$M$,$r_2 < r_1,$Diese geleistete Arbeit ist also positiv . Das macht Sinn, da$m$bewegt sich in die gleiche Richtung wie das Feld von$M$.

Betrachten Sie nun eine äußere Kraft$\textbf{F}_{\text{ext}}$Einwirken auf$m$so dass es immer gleich und entgegengesetzt zu ist$\textbf{F}_G$:

$$\textbf{F}_{\text{ext}} = -\textbf{F}_G$$ In diesem Fall,$m$wird sich bewegen$M$ohne Beschleunigung. Berechnet man die von dieser äußeren Kraft verrichtete Arbeit weiter$m$, würden Sie bekommen$\text{W}_{\text{ext}} = - \text{W}_G$; dh die geleistete Arbeit ist negativ. Das macht auch Sinn, da$m$bewegt sich entgegengesetzt zur äußeren Kraft.

So wird übrigens auch das Potential eines Feldes definiert : Es ist die Arbeit einer externen Instanz , eine Einheitsmasse aus dem Unendlichen in einen Punkt zu bewegen. Für ein Gravitationsfeld ist dieses Potential also negativ, wie unser Beispiel gezeigt hat. Der$net$Die am Objekt, also von beiden Kräften, verrichtete Arbeit ist in diesem Beispiel Null, da sowohl das Feld als auch die äußere Kraft einander gleich viel Arbeit verrichtet haben.

Was die von Ihnen erwähnte Beziehung zwischen Arbeit und Energie anbelangt, folgt dies leicht, wenn Sie die Definition von Energie als die Fähigkeit akzeptieren, Arbeit zu verrichten, d. h. die an einem Objekt verrichtete Arbeit wird in Energie umgewandelt:

$$\Delta W = \Delta T + \Delta U.$$ Diese Beziehung gilt für alle Agenten, die pfadunabhängig an dem Objekt arbeiten, sobald Sie sicherstellen, dass Sie die verwenden$\Delta U$entsprechend der betrachteten Kraft. Ich lade Sie ein, diese Beziehung für die obigen Beispiele zu überprüfen.

In der Newtonschen Mechanik entsteht Energie aus dem Linienintegral des zweiten Hauptsatzes entlang der Bahn des Objekts:

$\Sigma_i\overrightarrow F_i = m\overrightarrow a = m\frac{d\overrightarrow v}{dt}\\ \int (\Sigma_i\overrightarrow F_i) \cdot d\overrightarrow r = \int m \frac{d\overrightarrow v}{dt} \cdot d\overrightarrow r\\ \Sigma_i \int \overrightarrow F_i \cdot d\overrightarrow r = m\int d\overrightarrow v \cdot \frac{d\overrightarrow r}{dt}$

Der letzte Schritt auf der rechten Seite ist ein Schlüsselkonzept: Wir können die verschieben$dt$aus$d\overrightarrow v$Zu$d\overrightarrow r$, weil die Änderung der Geschwindigkeit und die Änderung der Position im gleichen Zeitintervall stattfinden – alle drei Differenzen entsprechen dem gleichen kleinen Stück des Weges. Außerdem definieren wir auf der linken Seite einfach die von einer Kraft verrichtete Arbeit als$\int\overrightarrow F\cdot d\overrightarrow r$, also haben wir:

$\Sigma_i W_i = m\int d\overrightarrow v\cdot \overrightarrow v$

Nun der andere wichtige Punkt:$d\overrightarrow v \cdot \overrightarrow v$ist das Differential von$\frac12 \overrightarrow v \cdot \overrightarrow v = \frac12 v^2$. So

$\Sigma_i W_i = m\Delta(\frac12 v^2)$

Ebenso definieren wir kinetische Energie als$K = \frac12 mv^2$. Das macht intuitiv Sinn: Je massiver ein Objekt ist und je schneller es sich bewegt, desto mehr Bewegungsenergie hat es.

$\Sigma_i W_i = \Delta K$

Das ist das Arbeits-Energie-Theorem: Die Summe der von allen Kräften verrichteten Arbeiten ergibt die Änderung der kinetischen Energie.

Für eine gegebene Kraft hängt dieses Linienintegral im Allgemeinen von dem Weg ab, den das Objekt nimmt. Aber seltsamerweise stellt sich heraus, dass die fundamentalen Kräfte der Natur, wie die Schwerkraft und die elektrische Kraft, für jeden Weg zwischen zwei gegebenen Punkten die gleiche Menge an Arbeit verrichten . Wir müssen das Integral also nicht jedes Mal machen. Wir brauchen nur eine Formel für die Arbeit, die sie in Bezug auf die beiden Endpunkte leisten werden.

$W = W(\overrightarrow r_i, \overrightarrow r_f)$für eine wegunabhängige Kraft

Aber wir können uns diese Arbeit auch als die kinetische Energie vorstellen, die das Objekt durch seine Bewegung gewinnen kann$\overrightarrow r_i$Zu$\overrightarrow r_f$. Wir nennen das also die potentielle Energie von$\overrightarrow r_i$relativ zu$\overrightarrow r_f$:

$U(\overrightarrow r_i) - U(\overrightarrow r_f) = W(\overrightarrow r_i, \overrightarrow r_f)\\ U(\overrightarrow r_f) - U(\overrightarrow r_i) = -W(\overrightarrow r_i, \overrightarrow r_f)\\ \Delta U = -W$

Die potentielle Energiedifferenz hat also das Gegenteil der kinetischen Energiedifferenz: Bei einer wegunabhängigen Kraft verliert das Objekt aufgrund unserer Definition die gleiche Menge an Potential, wie es an kinetischer Energie gewinnt. Das heißt, wenn Sie das Potenzial und die Kinetik nur aufgrund dieser Kraft hinzufügen, bleiben sie gleich.

Daher kann man das obige Arbeits-Energie-Theorem nehmen und die Arbeitsterme in der Summe durch potentielle Energieänderungen ersetzen - aber nur für diejenigen Kräfte, die potentielle Energie haben , dh. Wegunabhängige Kräfte:

$\Sigma_i W_i = \Delta K\\ \Sigma_{path-independent}(-\Delta U_i) + \Sigma_{path-dependent}W_i = \Delta K$

Wenn nun alle Kräfte wegunabhängig arbeiten, gilt:

$\Sigma_i(-\Delta U_i) = \Delta K\\ -\Delta U_{total} = \Delta K\\ \Delta U + \Delta K = 0\\ \Delta(U + K) = 0$

Das heißt, die gesamte mechanische Energie bleibt erhalten. Daher nennen wir diese pfadunabhängigen Kräfte konservative Kräfte.

Das ist also mechanische Energie auf den Punkt gebracht. Aber was Ihr Problem angeht, geht es tatsächlich auf diese Definition von Arbeit zurück, weil es das Integral des Skalarprodukts ist . An allen Punkten entlang Ihres Pfades zeigt die Schwerkraft auf die COM des zweiten Objekts, ebenso wie die Verschiebung des ersten Objekts. Da diese beiden Vektoren die gleiche Richtung haben, ist ihr Skalarprodukt positiv, nicht negativ. So wird Ihre Arbeit positiv herauskommen.

Die Intuition hinter der Arbeitsformel ist, dass Sie, wenn Sie ein Objekt schieben und es sich in die Richtung bewegt, in die Sie es schieben, zu der vollendeten Bewegung beitragen, also positive Arbeit leisten. Aber wenn jemand anderes härter drückt und es sich gegen Ihren Druck bewegt, behindern Sie den Prozess und leisten daher negative Arbeit. Je härter Sie drückten und je weiter es sich bewegte, desto mehr Arbeit haben Sie geleistet.

Wie Sie sagten, ist Energie also mathematisch gesehen nur eine Reihe von Definitionen auf dem zweiten Hauptsatz – aber diese Definitionen stimmen mit dem intuitiven Verständnis der Begriffe überein, und die Mathematik gibt uns Abkürzungen zur Lösung von Problemen.

EDIT: Beachten Sie, dass ich sagte, es sei "seltsam", dass die grundlegenden Kräfte der Natur pfadunabhängig sind, dh. konservativ. Aber rückblickend deutet diese Tatsache darauf hin, dass Energie eigentlich ein sehr natürliches Konzept in der Physik ist, vielleicht mehr als Kraft. Die Ableitung von Kraft ist etwas umständlich, aber Energieerhaltung ist ein viel universelleres Prinzip (auch wenn es in der modernen Physik nicht ganz so streng ist).