Warum ist die kinetische Energie ein Fixpunkt der Legendre-Transformation?

Lassen Sie den Lagrangian die traditionelle Form haben

$$\mathcal{L}(q,\dot{q};t) = \frac{\dot{q}^2}{2} - V(q) \, ,$$

Wo$V(q)$repräsentiert die potentielle Energie. Wir sehen, dass die Bedingung

$$\frac{\partial \mathcal{L}(q,\dot{q};t)}{\partial q} = - \frac{\partial V(q)}{\partial q} = 0$$

beschreibt Extrema des Hamiltonoperators

$$H(p,q) = p \dot{q} - \mathcal{L}(q,\dot{q};t) = \frac{p^2}{2} + V(q) \, , \quad \text{where} \qquad p = \frac{\partial \mathcal{L}(q,\dot{q};t)}{\partial \dot{q}} \, .$$

Da die Legendre-Transformation als sup definiert ist, dh für jeden Bewertungspunkt$p$wir haben

$$f^*(p) = \sup_{\dot{q}} \left( p \dot{q} - \mathcal{L}(q,\dot{q};t)\right) \, ,$$

Die Tatsache, dass die Legendre-Transformation die kinetische Energie auf sich selbst abbildet, entspricht der Aussage, dass der Punkt, an dem die potenzielle Energie verschwindet, was ein Extremum des Lagrange-Operators ist, auch ein Extremum des Hamilton-Operators sein wird. Dies ist von grundlegender Bedeutung, da Fixpunkte sowohl in Lagrange- als auch in Hamilton-Formulierungen die gleichen Stabilitätseigenschaften haben müssen: Ein instabiles Gleichgewicht in der Lagrange-Beschreibung muss einem instabilen Gleichgewicht in der Hamilton-Beschreibung zugeordnet werden usw. Die Definition der Legendre-Transformation als Supremum garantiert, dass der Graph von$f^*(p)$ist konvex und wird oben/unten durch die Punkte begrenzt, wo$V(q)=0$, dh durch die kinetische Energie.

Alle oben genannten Punkte können mit konvexen Dualen auf nicht-konvexe Funktionen verallgemeinert werden, aber ich weiß nicht genug, um das näher auszuführen.

In Bezug auf Ihr Interesse an Legendre-Transformationen außerhalb koordinatenfreier Formulierungen der Mechanik (ohne hier von Thermodynamik zu sprechen) würde ich sagen, dass sie einfach nicht nützlich sind. Legendre-Transformationen haben in der Newtonschen Mechanik keine Bedeutung, abgesehen von ihrer abstrakten Abbildung von Punkten in Linien, die ziemlich nutzlos ist, es sei denn, Ihre Formulierung erfolgt auf einem Kotangensbündel.