Warum steigt die kinetische Energie quadratisch und nicht linear mit der Geschwindigkeit?

Die vorherigen Antworten wiederholen alle das Problem als "Arbeit ist Kraftpunkt/mal Entfernung". Aber das ist nicht wirklich befriedigend, weil Sie dann fragen könnten "Warum ist die Arbeitskraft Punktabstand?" und das Geheimnis ist dasselbe.

Der einzige Weg, Fragen wie diese zu beantworten, besteht darin, sich auf Symmetrieprinzipien zu verlassen, da diese grundlegender sind als die Bewegungsgesetze. Unter Verwendung der Galilei-Invarianz, der Symmetrie, die besagt, dass die Gesetze der Physik in einem fahrenden Zug für Sie gleich aussehen, können Sie erklären, warum die Energie proportional zur Masse mal der Geschwindigkeit im Quadrat sein muss.

Zuerst müssen Sie die kinetische Energie definieren. Ich werde es wie folgt definieren: die kinetische Energie$E(m,v)$einer Tonkugel aus Masse$m$mit Geschwindigkeit bewegen$v$ist die Menge an Wärmekalorien, die es erzeugt, wenn es gegen eine Wand schlägt. Diese Definition bezieht sich nicht auf eine mechanische Größe und kann mit Thermometern bestimmt werden. Ich werde zeigen, dass unter der Annahme der Galileischen Invarianz$E(v)$muss das Quadrat der Geschwindigkeit sein.

$E(m,v)$, wenn es invariant ist, muss proportional zur Masse sein, denn man kann zwei Tonkugeln nebeneinander schlagen und erhält so die doppelte Erwärmung

Außerdem, wenn Sie zwei identische Tonkugeln aus Masse schlagen$m$mit Geschwindigkeit bewegen$v$frontal ineinander, beide Kugeln stoppen, durch Symmetrie. Das Ergebnis ist, dass jeder als Wand für den anderen fungiert und Sie eine gleich große Heizmenge erhalten müssen$2m E(v)$.

Aber schauen Sie sich das jetzt in einem Zug an, der vor dem Zusammenstoß mit einer der Kugeln mitfährt. In diesem Bezugssystem startet der erste Ball gestoppt, der zweite Ball trifft ihn$2v$, und das System mit zwei Kugeln, das feststeckt, bewegt sich schließlich mit Geschwindigkeit$v$.

Die kinetische Energie der zweiten Kugel ist$mE(2v)$am Start und nach der Kollision haben Sie$2mE(v)$kinetische Energie, die in der kombinierten Kugel gespeichert ist. Aber die durch die Kollision erzeugte Erwärmung ist die gleiche wie im früheren Fall. Also sind es jetzt zwei$2mE(v)$zu berücksichtigende Begriffe: einer, der die durch die Kollision erzeugte Hitze darstellt, die wir zuvor gesehen haben, war$2mE(v)$, und die andere stellt die Energie dar, die in der sich bewegenden Kugel mit zwei Massen gespeichert ist, die ebenfalls ist$2mE(v)$. Aufgrund der Energieerhaltung müssen sich diese beiden Terme zur kinetischen Energie der zweiten Kugel vor dem Stoß addieren:

was das impliziert$E$ist quadratisch.

Nicht kreisförmige Kraft-mal-Weg

Hier ist die nicht kreisförmige Version des Kraft-mal-Weg-Arguments, das jeder so sehr zu lieben scheint, aber nie richtig gemacht wird. Um zu argumentieren, dass Energie eine quadratische Geschwindigkeit hat, genügt es, zwei Dinge festzustellen:

• Potentielle Energie auf der Erdoberfläche ist linear in der Höhe
• Objekte, die auf die Erdoberfläche fallen, haben eine konstante Beschleunigung

Das Ergebnis folgt dann.

Dass die Energie in einem konstanten Gravitationsfeld proportional zur Höhe ist, belegt die Statik. Wenn Sie dem Gesetz des Hebels glauben, befindet sich ein Objekt mit einem anderen Objekt auf einem Hebel im Gleichgewicht, wenn die Abstände umgekehrt proportional zu den Massen sind (es gibt einfache geometrische Demonstrationen dafür, die nichts weiter erfordern als die Tatsache, dass Objekte gleicher Masse sich ausgleichen bei gleichen Schwerpunktabständen). Wenn Sie dann den Hebel ein wenig kippen, ist die Masse-mal-Höhe, die von 1 gewonnen wird, gleich der Masse-mal-Höhe, die von der anderen gewonnen wird. Auf diese Weise können Sie Objekte mit sehr geringem Aufwand anheben und absenken, solange die Masse-mal-Höhe, die über alle Objekte addiert wird, vorher und nachher konstant ist. Dies ist das Prinzip von Archimedes.

Eine andere Art, dasselbe auszudrücken, verwendet einen Aufzug, der aus zwei Plattformen besteht, die durch eine Kette durch eine Rolle verbunden sind, so dass, wenn eine nach oben fährt, die andere nach unten fährt. Sie können ein Objekt anheben, wenn Sie die gleiche Menge an Masse um die gleiche Menge nach unten senken. Sie können zwei Objekte in zwei Schritten um eine bestimmte Entfernung heben, wenn Sie ein Objekt doppelt so weit fallen lassen.

Dies legt fest, dass für alle umkehrbaren Bewegungen des Aufzugs, diejenigen, die keine Arbeit erfordern (sowohl im umgangssprachlichen als auch im physikalischen Sinne – die beiden Begriffe fallen hier zusammen), die Masse-mal-Höhe summiert wird alle Objekte bleiben erhalten. Die "Energie" kann nun als die Bewegungsgröße definiert werden, die erhalten bleibt, wenn man diese Objekte mit einer nicht unendlich kleinen Geschwindigkeit bewegen lässt. Dies ist Feynmans Version von Archimedes.

Die Masse-mal-Höhe ist also ein Maß für die Anstrengung, die erforderlich ist, um etwas zu heben, und es ist eine Erhaltungsgröße in der Statik. Diese Größe sollte auch bei Dynamik in Zwischenstufen erhalten bleiben. Damit meine ich, dass Sie keine Arbeit geleistet haben, wenn Sie zwei Gewichte fallen lassen, während sie an einer Schnur hängen, sie einen elastischen Stoß ausführen lassen und die beiden Objekte auffangen, wenn sie sich wieder nicht mehr bewegen. Die Objekte sollten dann auf die gleiche Gesamtmasse-mal-Höhe aufsteigen.

Dies ist die ursprüngliche Demonstration der Gesetze des elastischen Stoßes von Christian Huygens, der argumentierte, dass, wenn Sie zwei Massen auf Pendel fallen lassen und sie kollidieren lassen, ihr Massenschwerpunkt auf die gleiche Höhe gehen muss, wenn Sie die Kugeln auffangen ihr maximaler Punkt. Daraus verallgemeinerte Huygens das in Archimedes implizite Erhaltungsgesetz der potentiellen Energie, um das Erhaltungsgesetz der quadratischen Geschwindigkeit bei elastischen Stößen abzuleiten. Sein Grundsatz, dass der Schwerpunkt nicht durch dynamische Stöße angehoben werden kann, ist die erste Aussage zur Energieerhaltung.

Der Vollständigkeit halber ist die Tatsache, dass ein Objekt in einem konstanten Gravitationsfeld mit gleichförmiger Beschleunigung beschleunigt, eine Folge der Galileischen Invarianz und der Annahme, dass ein Gravitationsfeld rahmeninvariant gegenüber gleichförmigen Bewegungen nach oben und unten mit einer konstanten Geschwindigkeit ist. Sobald Sie wissen, dass Bewegung in konstanter Schwerkraft konstante Beschleunigung ist, wissen Sie das

so dass die dynamische Größe von Huygens, die zusammen mit der Masse mal der Höhe von Archimedes additiv erhalten bleibt, das Quadrat der Geschwindigkeit ist.

Aus didaktischer Sicht ist die Frage besonders relevant, weil man lernen muss, zwischen Energie (Arbeit) und Impuls (Bewegungsmenge) zu unterscheiden.

Die kinematische Eigenschaft, die proportional zu ist$v$wird heutzutage Impuls genannt, es ist die "Bewegungsmenge", die einem sich bewegenden Objekt innewohnt, ist seine Definition$p:= mv$.

Die Impulsänderung ist proportional zum Impuls: Impuls ist das Produkt einer Kraft$F$und die Zeitspanne$\Delta t$es wird angewendet. Diese Beziehung ist auch als zweites Newtonsches Gesetz bekannt:$F \Delta t = \Delta p$oder$F dt = dp$. Wenn man ersetzt$mv$zum$p$man bekommt seine häufigere Form:$F= m \frac{\Delta v}{\Delta t} = ma$.

Nun zur intuitiven Erklärung, dass ein Objekt mit doppelter Geschwindigkeit viermal so viel kinetische Energie hat.
Angenommen, A hat Geschwindigkeit$v$und B ist ein identisches Objekt mit Geschwindigkeit$2v$.
B hat eine doppelte Bewegungsmenge (Impuls) - da stimmt Ihre Intuition!
Jetzt wenden wir eine konstante Kraft an$F$um beide Objekte bis zum Stillstand abzubremsen. Aus$F \Delta t = \Delta p$daraus folgt die zeit$\Delta t$benötigt wird, damit B langsamer wird, ist doppelt so viel (wir wenden die gleiche Kraft auf A und B an). Daher ist der Bremsweg von B um den Faktor 4 größer als der Bremsweg von A (seine Startgeschwindigkeit und damit auch seine mittlere Geschwindigkeit ist doppelt so groß und seine Zeit$\Delta t$doppelt so viel, also die Entfernung,$s = \bar{v}\Delta t$, erhöht sich 2 x 2 = 4 Mal).
Die Arbeit$W$zum Abbremsen von A und B benötigt wird, errechnet sich aus dem Produkt aus Kraft und Bremsweg$W=Fs$, also auch viermal so viel. Die kinetische Energie ist definiert als diese Menge an Arbeit, also sind wir da.

Lassen Sie mich nur eine intuitive Erklärung einwerfen. Du könntest deine Frage so umformulieren:

Warum nimmt die Geschwindigkeit nur mit der Quadratwurzel der kinetischen Energie zu, nicht linear?

Nun, lassen Sie einen Ball aus einer Höhe von 1 Meter fallen, und er hat die Geschwindigkeit v , wenn er auf den Boden trifft.

Lassen Sie es jetzt aus einer Höhe von 2 Metern fallen. Wird es eine Geschwindigkeit von 2v haben , wenn es auf den Boden trifft?

Nein, weil es den zweiten Meter in viel kürzerer Zeit zurücklegt (weil es sich bereits bewegt), so dass es weniger Zeit hat, an Geschwindigkeit zu gewinnen.

Der einzige wirkliche physikalische Grund (was keine wirklich befriedigende Antwort ist) ist das$E \sim v^2$sagen uns Experimente. Beispielsweise ist die potenzielle Energie der Gravitation auf der Erdoberfläche proportional zur Höhe, und wenn Sie ein Objekt fallen lassen, können Sie messen, dass die Fallhöhe proportional zum Quadrat seiner Geschwindigkeit ist. Wenn also Energie erhalten werden soll, muss die kinetische Energie proportional zu sein$v^2$.

Natürlich könnte man fragen, warum potentielle Gravitationsenergie proportional zur Höhe ist, und sobald das geklärt ist, fragen, warum eine andere Art von Energie proportional zu etwas anderem ist, und so weiter. Irgendwann wird es zu einer philosophischen Frage. Die Quintessenz ist, dass sich die Definition der kinetischen Energie als proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit als nützliche Theorie herausgestellt hat. Deshalb machen wir es.

Andererseits könnte man immer sagen, wenn es linear in der Geschwindigkeit wäre, würde man es Impuls nennen ;-)

PS Es kann erwähnenswert sein, dass die kinetische Energie nicht genau proportional ist$v^2$. Die spezielle Relativitätstheorie gibt uns die folgende Formel:

$K = mc^2\left(1/\sqrt{1 - v^2/c^2} - 1\right)$

Für niedrige Geschwindigkeiten ist dies im Wesentlichen gleich$mv^2/2$.

Um nur eine andere, mathematischere Version davon zu posten, die nicht von der Thermodynamik abhängt, sondern nur von der Vektorrechnung und den Newtonschen Gesetzen, betrachten wir das zweite Newtonsche Gesetz:

Wenden Sie nun die Definition von Arbeit an,$W = \int d{\vec s} \cdot{\vec F}$

Das haben wir, vorausgesetzt$s$ist der tatsächliche Pfad, den das Teilchen zurückgelegt hat, und unter Verwendung einiger cleverer Änderungen von Variablen:

Wir sehen also, dass die Definition von Arbeit gleichbedeutend mit quadratischer Abhängigkeit von der Geschwindigkeit ist. Wen interessiert das? Nun, jetzt legen wir einige Anforderungen an die Truppe fest. Wir gehen nämlich davon aus, dass unsere Kräfte konservativ sind. Was bedeutet das? Nun, es bedeutet, dass unsere Kraft frei von Locken ist$\rightarrow {\vec \nabla} \times {\vec F}=0$. Dies ist mathematisch mit vielen Dingen äquivalent, aber die beiden wichtigsten sind die$\int d{\vec s}\cdot {\vec F}$hängt nicht von dem Pfad ab, über den Sie integrieren, sondern nur von den Endpunkten der Kurve, und zweitens davon${\vec F} = -{\vec \nabla}\phi$für irgendeine Funktion$\phi(x,y,z,t)$. Wenn man das weiß, ist es relativ einfach, das zu zeigen$\int {\vec ds}\cdot {\vec F} = \phi_{0} - \phi_{f}$

Dann haben Sie:

wobei die Summe über den Potentialen für die verschiedenen Kräfte liegt (und ich hinterhältigerweise PE durch ersetzt habe$\phi$, da wir jetzt offensichtlich von potentieller Energie sprechen.) Wir haben nun bewiesen, dass sich die Gesamtenergie nicht ändert. Daher gibt uns die Standarddefinition von Arbeit eine konservierte Größe, die wir Energie nennen können (solange wir das Fehlen nichtkonservativer Kräfte annehmen, aber in Gegenwart dieser Kräfte wird Energie nicht konserviert, und wir müssen uns Sorgen machen Verluste durch Wärme und Strahlung).

Wie Piotr vorgeschlagen hat, die Definition von Arbeit zu akzeptieren$W=\mathbf{F}\cdot d\mathbf{x}$, folgt daraus , dass die kinetische Energie quadratisch zunimmt. Wieso den? Denn die Kraft und das infinitesimale Intervall hängen linear von der Geschwindigkeit ab. Daher ist es natürlich zu denken, dass Sie, wenn Sie beide Größen multiplizieren, am Ende so etwas wie haben müssen$K v^{2}$, wo$K$ist eine "willkürliche" Konstante.

Eine viel interessantere Frage ist, warum die Lagrange-Funktion vom Quadrat der Geschwindigkeit abhängt. Angesichts der Homogenität des Raums kann es nicht explizit enthalten$\mathbf{r}$und angesichts der Homogenität der Zeit kann es nicht von der Zeit abhängen. Da der Raum isotrop ist, kann die Lagrange-Funktion die Geschwindigkeit nicht enthalten$\mathbf{v}$. Daher sollte die nächsteinfachste Wahl sein, dass die Lagrange-Funktion das Quadrat der Geschwindigkeit enthalten muss. Ich denke, dass die Lagrange-Funktion von grundlegenderer Natur ist als die anderen Größen, aber ihre Ableitung beinhaltet die Definition von Arbeit oder äquivalent Energie. Sie werden also wahrscheinlich nicht glauben, dass diese letzte Erklärung die wahre Ursache dafür ist, dass die kinetische Energie quadratisch ansteigt, obwohl ich denke, dass sie viel zufriedenstellender ist als die erste Erklärung.

Es kommt auf Definitionen an.

Momentum ist definiert als$p = mv$. Der Impuls wächst linear mit der Geschwindigkeit, was den Impuls zu einer intuitiv verständlichen Größe macht (je mehr Impuls, desto schwieriger ist es, ein Objekt zu stoppen). Kinetische Energie ist eine weniger intuitive Größe, die mit einem sich bewegenden Objekt verbunden ist. KE wird so zugewiesen, dass die sofortige Änderung des KE den Impuls dieses Objekts zu einem bestimmten Zeitpunkt ergibt:

$\frac{dKE}{dv} = p$

Eine andere Frage, die man sich stellen könnte, lautet: Warum interessiert uns diese Menge? Die Antwort ist, dass in einem System ohne Reibung die Summe der kinetischen und potentiellen Energien eines Objekts erhalten bleibt:

$\frac{d(KE + PE)}{dt} = 0$

Bei jeder relativ gleichen (prozentualen) Erhöhung der Geschwindigkeit muss die aufgebrachte Kraft über einen zunehmend (quadratisch) langen Verfahrweg vorhanden sein. F=m*a. Gleichzeitig Kraft*Weg=Arbeit, wobei Arbeit=Energie.

Die allgemeine Form der kinetischen Energie beinhaltet Korrekturen höherer Ordnung aufgrund der Relativitätstheorie. Der quadratische Term ist nur eine Newtonsche Näherung, die gültig ist, wenn Geschwindigkeiten klein im Vergleich zur Lichtgeschwindigkeit c sind.

Es gibt noch einen weiteren grundlegenden Grund, warum die kinetische Energie nicht linear von der Geschwindigkeit abhängen kann. Kinetische Energie ist ein Skalar, Geschwindigkeit ist ein Vektor. Darüber hinaus würde eine lineare Abhängigkeit bedeuten, dass die kinetische Energie durch Substitution variieren würde$\mathbf{v}$durch$-\mathbf{v}$. Dh die kinetische Energie würde von der Orientierung abhängen, was wiederum keinen Sinn macht. Die Newtonsche quadratische Abhängigkeit und die relativistischen Korrekturen$v^4$,$v^6$... erfüllen beide Anforderungen: kinetische Energie ist ein Skalar und invariant gegen Substitution$\mathbf{v}$durch$-\mathbf{v}$.

Ich denke, es folgt aus dem ersten Hauptsatz der Thermodynamik. Es verwandelt Ihre Definition von Arbeit in eine konservierte Eigenschaft namens Energie. Wenn Sie Arbeit in der definieren$Fdx$Stil (wie es James Joule getan hat), folgt der quadratische Ausdruck für kinetische Energie mit den Symmetrie-Argumenten.

In seiner ausgezeichneten Antwort schlägt Ron Maimon geschickt vor, Wärme zu verwenden, um einen Bezug zur Arbeit zu vermeiden. Um die Anzahl der Kalorien zu bestimmen, verwendet er ein Thermometer. Ein perfektes Thermometer misst$\partial{E}/\partial{S}$Wenn er also mit der Definition der Entropie fertig ist, braucht er immer noch eine nicht-mechanische Definition von Arbeit. (Tatsächlich glaube ich, dass es Joules Beitrag ist, zu zeigen, dass die Kalorie ein überflüssiges Maß für Energie ist.) Die Schwäche in Rons Antwort ist, dass er auch den zweiten Hauptsatz der Thermodynamik benötigt, um die Frage zu beantworten.

Um dies explizit zu sehen, schreiben Sie das erste Gesetz in Bezug auf die Gibbs-Gleichung:

Jetzt zum Integrieren. Huygens vermutet$p$ist nur eine Funktion von$v$. Für kleine Änderungen in$v$Wir machen die lineare Annäherung$p = mv$, wo$m \equiv dp/dv$. Stecken Sie das ein, integrieren Sie, und Sie erhalten die quadratische Abhängigkeit. Tatsächlich ist es nicht allzu schwer zu sehen, wenn Sie die Schwerkraft für die Kraft dafür verwenden$F = mg$was dazu führt

Beachten Sie nun, dass wir die Änderungen in benötigt haben$v$klein sein. Tatsächlich ist kinetische Energie nicht immer proportional zu$v^2$. Wenn Sie sich der Lichtgeschwindigkeit nähern, bricht das Ganze zusammen und für Licht selbst gibt es keine Masse, aber Photonen haben eine kinetische Energie, die gleich ist$c p$wo$c$ist die Lichtgeschwindigkeit. Daher ist es besser, sich kinetische Energie als vorzustellen

Zusammenfassend schlage ich vor, dass das „Warum“ der Frage dasselbe ist wie das „Warum“ des ersten Gesetzes.

Im Grunde bezieht sich Impuls auf Kraft mal Zeit und KE auf Kraft mal Weg. Es ist alles ein Bezugsrahmen, entweder Zeit oder Entfernung. Der Zusammenhang zwischen Zeit und Weg für eine Startgeschwindigkeit von Null ist$d = \frac{at^2}{2}= \frac{tV}{2}$. Setzen Sie dies in die Gleichungen ein, Sie erhalten das KE$= \frac{pV}{2} = \frac{p^2}{2m}$

Woolah - magisch!

Kinetische Energie ist definiert als$\frac{1}{2}mv^2$(zumindest in der klassischen Mechanik).

Wenn die Bewegung eines Objekts einem zeitlich konstanten physikalischen Gesetz unterliegt (z$\ddot{r}=-\frac{GM}{r^2}$wobei GM eine Konstante ist), dann wenn man beide Seiten nach Abstand integriert und mit der Masse multipliziert$m$des Objekts erhalten Sie:

Unter der Annahme, dass das Gesetz über die Zeit konstant ist, dann zwischen dem Anfangs- und dem Endzustand die Quantität des Objekts$\frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{r}$wird auch über die Zeit konserviert.

Wenn statt$-\frac{GM}{r^2}$das physikalische Gesetz ist eine andere Funktion$f(r)$konstant durch die Zeit, dann die Menge des Objekts$\frac{1}{2}mv^2 - F(r)$wobei F ein Primitiv von f ist, wird auch über die Zeit konserviert.

Diese Menge nennt man Energie. Dann geben wir den beiden Termen einen Namen: den Term, der von der Geschwindigkeit abhängt ($\frac{1}{2}mv^2$) wird als kinetische Energie bezeichnet, und der entfernungsabhängige Term ($-F(r)$) wird als potentielle Energie bezeichnet.

Es ist sinnvoll, diese Größen zu definieren, denn wenn wir davon ausgehen, dass die Beschleunigung eines Objekts eine zeitlich konstante Funktion der Entfernung ist (wie es beim Gravitationsgesetz, dem Coulomb-Gesetz, dem Hooke-Gesetz usw. der Fall ist), und wenn Wir kennen den Wert von$F(r)$und der Wert der Geschwindigkeit in einer gegebenen Entfernung$r_1$(die beide aus Messungen abgeleitet werden), dann können wir direkt die Geschwindigkeit des Objekts in jeder anderen Entfernung ableiten, ohne das Integral von berechnen zu müssen$f(r)$jedes Mal.

Da kinetische Energie eine definierte Größe ist, ist es sinnlos zu fragen, warum sie quadratisch mit der Geschwindigkeit zunimmt, sie tut es, weil sie so definiert ist. Das obige Argument gibt einen Grund dafür, warum es so definiert wird.

Warum braucht man so viel mehr Energie, um von 1 m/s auf 2 m/s zu kommen, als von 0 m/s auf 1 m/s?

Es ist nicht schwerer etwas von 1 m/s auf 2 m/s zu beschleunigen als von 0 m/s auf 1 m/s, bei einer konstanten Beschleunigung dauert es genauso lange, aber es braucht 3 mal mehr Weg (so es benötigt viermal mehr Weg, um von 0 m/s auf 2 m/s zu beschleunigen als von 0 m/s auf 1 m/s).

Angenommen, Sie beschleunigen Ihr Objekt mit einer konstanten Geschwindigkeit, sodass es eine gewisse Zeit dauert$\tau$von 0 m/s auf 1 m/s gehen. Dann dauert es genauso lange$\tau$von 1 m/s auf 2 m/s zu gehen.

Seine Geschwindigkeit als Funktion der Zeit wird sein$v(t) = \frac{1}{\tau}t$. Im Speziellen,$v(\tau) = 1$und$v(2\tau) = 2$. Seine zurückgelegte Strecke als Funktion der Zeit wird sein$d(t) = \frac{1}{2\tau}t^2$

Es braucht Distanz$d(\tau) = \frac{\tau}{2}$um es von 0 m/s auf 1 m/s zu beschleunigen, während es eine Strecke braucht$d(2\tau) = 2\tau$von 0 m/s auf 2 m/s zu beschleunigen.

Wie du sehen kannst,$d(2\tau) = 4d(\tau)$. Zu keinem Zeitpunkt müssen Sie kinetische Energie heranziehen, um diese Beobachtung zu erklären, es dauert viermal so weit, weil sich das Objekt zwischendurch schneller bewegt$\tau$und$2\tau$als zwischen$0$und$\tau$. In ähnlicher Weise dauert es bei einer konstanten Verzögerungsrate viermal länger, um mit Geschwindigkeit bis zum Stillstand zu bremsen$2v$als bei Geschwindigkeit$v$, nicht weil kinetische Energie es irgendwie schwieriger macht zu bremsen, wenn wir schneller fahren, sondern einfach weil es doppelt so lange dauert zu bremsen (die Zeit zum Anfahren von$2v$zu$v$ist die gleiche wie die Zeit zu gehen von$v$zu$0$) und weil wir uns schneller bewegen als$v$(und damit mehr Strecke zurücklegen) während der halben Bremszeit.

Ich habe eine quantitative Antwort, die ein Gedankenexperiment ist, das alle außer den einfachsten Gleichungen vermeidet.

Ein Objekt, das von der Geschwindigkeit v = 0 nach v = 1 geht, muss auf irgendeine Weise geschoben oder gezogen werden. In meiner Erklärung werde ich die gleiche Methode verwenden, um das Objekt von v = 0 nach v = 1, dann von v = 1 nach v = 2, dann von v = 2 nach v = 3 usw. zu schieben. Ich werde zeigen, wie die Energie der Bewegung das im Objekt verkörperte steigt von 0 auf 1 auf 4 auf 9 usw.

Beginnen Sie mit zwei identischen Bällen, m1 und m2. Zwischen den beiden Kugeln befindet sich eine Feder s1, die auf Druck gehalten wird. Nehmen Sie an, dass die Masse der Feder sehr klein ist. Die potentielle Energie in der Feder ist PE=2 und alle 3 Akteure haben die Geschwindigkeit v=0.

A. v=0. Alle Objekte haben 0 Geschwindigkeit, also kinetische Energie KE=0.

B. v=1. Lassen Sie die Feder los und m1 schießt mit der Geschwindigkeit v=1 nach links ab. m2 geht mit v=-1 in die entgegengesetzte Richtung. Die kinetische Energie beider Kugeln ist gleich und beträgt KE=1, da die gesamte potentielle Energie der Feder symmetrisch auf die Kugeln übertragen wurde.

C.v=2. Platzieren Sie nun eine weitere identische Kugel, m3, direkt rechts von m1 und bewegt sich ebenfalls mit v = 1 und mit einer komprimierten Feder, s2, dazwischen. An m1 hat sich nichts geändert, es fährt immer noch fröhlich mit v=1. Wie groß ist also die Gesamtenergie des m1-, s2- und m3-Systems? 1+2+1=4 ist KE von m1, PE von s2 und KE von m3.

Lassen Sie nun die Feder los und m1 schießt mit v=2 nach links ab und die Geschwindigkeit von m3 geht von v=1 nach v=0, wodurch sein KE=0 wird. Da wir gesagt haben, dass die Masse der Feder sehr klein ist, so dass ihr KE fast null ist, ist die gesamte Energie, die vor dem Lösen der Feder im System war, jetzt in m1. Das KE von m1 ist also KE=4. Puh, KE ist proportional zu v zum Quadrat!

D.v=3. Wiederholen Sie einfach den Vorgang, um m1 von v = 2 auf v = 3 zu bringen, indem Sie einen anderen identischen Ball, m4, abstoßen. Berechnen Sie zuerst die Gesamtenergie des Systems aus zwei Kugeln und Federn, bevor die Feder freigegeben wird. Es ist 4+2+4=10. Nachdem die Feder gelöst ist, hat m4 v = 1, was wir festgestellt haben, ist äquivalent zu KE = 1. Also hat m1 die Restenergie des Systems, die KE=9 ist.

E.v=4. Wiederholen Sie den Vorgang. Energie des Systems vor dem Auslösen der Feder, 9+2+9=20. KE von m1 nach Entlastung der Feder, KE=20-4=16.

Ich bin nicht glücklich damit, die Masse der Feder wegzunehmen, daher ist eine ordentlichere Erklärung eine Feder, die an jeder Kugel angebracht ist, und die Kugeln interagieren über ihre Federn, die in Kontakt sind.

Die quadratische Variation der kinetischen Energie mit der Geschwindigkeit kann durch die Symmetrieeigenschaften von Raum und Zeit erklärt werden. Die Lagrange-Funktion ist definiert als$\mathcal{L}=T-U$, wo$T$ist die kinetische Energie und$U$ist die potentielle Energie.

Wir wissen, dass der Raum homogen und isotrop und die Zeit homogen ist. Für ein freies Teilchen folgt daraus, dass die Lagrangian$\mathcal{L}$sollte folgende Eigenschaften haben:

1. $\mathcal{L}$sollte nicht von der Positionskoordinate abhängen.
2. $\mathcal{L}$sollte nicht vom Geschwindigkeitsvektor abhängen. Vielmehr sollte es von der Größe der Geschwindigkeit abhängen, dh von einer gewissen Potenz des Geschwindigkeitsvektors.
3. $\mathcal{L}$sollte nicht von der Zeitkoordinate abhängen.

Die allgemeine Form der Lagrangian für ein freies Teilchen ist also

Da wir ein freies Teilchen betrachten (das nur kinetische Energie hat), ist die Lagrangian (Auswahl$n=2$) ist

Der Zweck dieser Antwort besteht darin, eine Intuition dafür aufzubauen, was kinetische Energie ist. Die Zielgruppe dieser Erzählung sind Anfänger, die ihre erste Einführung in das Konzept der kinetischen Energie erhalten.

(Die Erzählung mag zu langsam rüberkommen. Die Idee ist: So würde ich einem neugierigen, intelligenten Jungen dieses Thema vorstellen.)

Als Grundlage werde ich zunächst unsere gesunden Menschenverstandsvorstellungen von Kraft und Bewegung diskutieren.

In unserem täglichen Leben haben wir es mit ungefähr drei Arten von Kräften zu tun, die ich als „Schwerkraft“, „elastische Kräfte“ und „Reibungskräfte“ bezeichnen werde.

Reibung
Bei geringer Geschwindigkeit neigt die Reibung dazu, proportional zur Geschwindigkeit zu sein. Da gibt es das Bild eines Barkeepers, der einem Gast ein Glas hinüberschiebt. Wie wir wissen: Das ist machbar; Sie spüren, wie viel Druck Sie geben müssen, damit das Glas in Reichweite des Kunden zum Stillstand kommt.

Elastizität
Wie wir wissen, neigt die elastische Kraft dazu, proportional zu der verursachten Verformung zu sein.

Schwerkraft
Die Schwerkraft ist immer vorhanden, die Schwerkraft ist nie nicht da. Unsere Erfahrung mit der Schwerkraft ist so verinnerlicht, dass wir uns oft nicht bewusst sind, wie einzigartig die Eigenschaften der Schwerkraft sind.

Im Gegensatz zur Reibung ist die Wirkung der Schwerkraft unabhängig von Ihrer aktuellen Geschwindigkeit . Was auch immer Ihre aktuelle Geschwindigkeit ist, Ihre Geschwindigkeitsänderung ist dieselbe.

Im Gegensatz zur Elastizität ist die Wirkung der Schwerkraft unabhängig von Ihrer aktuellen Position . (Das tägliche Leben spielt sich auf der Erdoberfläche ab, wo die Schwerkraft praktisch einheitlich ist.)

Um mich darauf zu konzentrieren, was kinetische Energie ist, verwende ich eine Kraft, die es F=ma ermöglicht, in der reinstmöglichen Form zu wirken: eine Kraft, die unabhängig von der aktuellen Geschwindigkeit und unabhängig von der Position ist: die Schwerkraft.

Ich lasse ein Objekt aus 16 Metern Höhe fallen.
(Ich wähle 16 Einheiten statt 4, weil 4 eine Mehrdeutigkeit hat. Die Summe von 2 und 2 und das Produkt von 2 und 2 sind beide 4. 16 vermeidet das.)

Um die Zahlen einfach zu machen, stelle ich die Kraft so ein, dass sie eine Beschleunigung von 2 verursacht$m/s^2$

Wie wir wissen: Die resultierende Flugbahn ergibt sich aus der Eigenschaft der Natur, die Kraft und Beschleunigung in Beziehung setzt:$F=ma$

Die Geschwindigkeit steigt linear mit der Zeit: Nach 2 Sekunden hat das Objekt eine Geschwindigkeit von 4 m/s, nach 4 Sekunden hat das Objekt eine Geschwindigkeit von 8 m/s

Der zurückgelegte Weg nimmt quadratisch mit der Zeit zu: Nach 2 Sekunden hat das Objekt 4 Meter zurückgelegt, nach 4 Sekunden hat das Objekt 16 Meter zurückgelegt.

Sachen nach oben werfen
Wie wir wissen, sind Beschleunigung und Verzögerung gewissermaßen Spiegelbilder voneinander, gespiegelt in Bezug auf die Richtung der Zeit.

Bei gleicher Geschwindigkeitsänderung: 2$m/s^2$

Wenn das Objekt mit einer Startgeschwindigkeit von 4 Metern pro Sekunde nach oben geschleudert wird, erreicht es eine Höhe von 4 Metern.
Wird das Objekt mit einer Startgeschwindigkeit von 8 Metern pro Sekunde nach oben geschleudert, erreicht es eine Höhe von 16 Metern.

Also: Beim Hochwerfen mit doppelter Geschwindigkeit nimmt die erreichte Höhe quadratisch zu .

In unserem täglichen Leben erleben wir ständig elastische Kräfte und Reibungskräfte, und folglich neigen wir dazu zu erwarten, dass, wenn Sie etwas mit doppelter Geschwindigkeit werfen, es doppelt so viel Wucht hat. Aber die Menge an "Schlagkraft", die das Objekt hat, steigt mit dem Quadrat der Geschwindigkeit.

F=ma
Die quadratische Beziehung entsteht dadurch, dass die Beschleunigung die zweite Ableitung der Position ist. Es besteht eine grundlegende Beziehung zwischen der Operation des Bildens einer zweiten Ableitung und der Operation des Quadrierens .

Wenn Ihre Startgeschwindigkeit 8 m/s beträgt und Sie mit 2 verlangsamen$m/s^2$:
Von t=0 bis t=2 legen Sie 3/4 des gesamten Anhalteweges zurück.
Von t=2 bis t=4 legen Sie das restliche 1/4 des gesamten Anhalteweges zurück.

Dieses Verhältnis von 3/4 zu 1/4 lässt sich auf jede gleichmäßige Beschleunigung/Verzögerung verallgemeinern.

Kollision von Autos

Bei einem Autounfall steigt die Schadenshöhe mit zunehmender Geschwindigkeit rapide an.

Der Grund dafür liegt in der Natur der Verzögerung.
Während der ersten Hälfte der Verzögerungsdauer beträgt der zurückgelegte Weg 3/4 des gesamten Anhaltewegs. Entscheidend ist, dass die Höhe des verursachten Schadens proportional zur zurückgelegten Entfernung ist, nicht proportional zur Dauer der Verzögerung.

Kinetische Energie

Die kinetische Energie drückt die Schadensmenge aus, die bei einer zerstörerischen Kollision zugefügt wird.

Arbeit-Energie-Theorem
Der Betrag der Änderung der kinetischen Energie als Folge einer über die Entfernung wirkenden Kraft wird durch das Arbeit-Energie-Theorem angegeben .

Meine Antwort hier ist das Ergebnis meines eigenen Denkens, aber sie ist im Wesentlichen das Gegenteil von Ron Maimons Antwort . Trotzdem denke ich, dass die etwas andere Perspektive hilfreich sein kann.

Aus Maimons Antwort,

Der einzige Weg, Fragen wie diese zu beantworten, besteht darin, sich auf Symmetrieprinzipien zu verlassen, da diese grundlegender sind als die Bewegungsgesetze. Unter Verwendung der Galilei-Invarianz, der Symmetrie, die besagt, dass die Gesetze der Physik in einem fahrenden Zug für Sie gleich aussehen, können Sie erklären, warum die Energie proportional zur Masse mal der Geschwindigkeit im Quadrat sein muss.

Zuerst müssen Sie die kinetische Energie definieren. Ich werde es wie folgt definieren: Die kinetische Energie E(m, v) einer Tonkugel der Masse m, die sich mit der Geschwindigkeit v bewegt, ist die Wärmemenge in Kalorien, die sie erzeugt, wenn sie gegen eine Wand prallt. Diese Definition bezieht sich nicht auf eine mechanische Größe und kann mit Thermometern bestimmt werden. Ich werde zeigen, dass unter der Annahme der Galileischen Invarianz E(v) das Quadrat der Geschwindigkeit sein muss.

Ich werde Energie nicht definieren, aber ich gehe davon aus, dass (1) kinetische Energie eine Funktion von Masse und Geschwindigkeit ist und (2) Geräte, die Objekte (wie Federn) starten, potenzielle Energie haben und diese potenzielle Energie in kinetische Energie umgewandelt wird wenn ein Objekt gestartet wird. Es gibt viele andere Annahmen, die in meine Argumentation einfließen, aber ich werde sie der Kürze halber nicht explizit machen.

Szenario

Angenommen, wir haben zwei Kästen mit jeweils Masse$m$, bewegt sich mit Geschwindigkeit$v$nach rechts mit einer komprimierten Feder dazwischen (oder irgendetwas anderem, das die beiden Boxen möglicherweise trennen könnte). Dieses System hat Gesamtenergie$E(2m, v) + U$wo$E(\cdot, \cdot)$ist die kinetische Energie und$U$ist die potentielle Energie der Feder.

Stellen Sie sich nun vor, wir lassen die Feder los (vielleicht schneiden wir das Seil durch, das die beiden Kästen zusammenhält), und nehmen an, die beiden Kästen werden genau so auseinandergeschoben, dass der linke Kasten zum Stillstand kommt. Durch Erhaltung des Impulses muss die rechte Box verstärkt werden, um sich mit Geschwindigkeit zu bewegen$2v$Nach rechts.

Daraus bekommen wir

Um die genaue Proportionalitätsbeziehung zwischen Energie und Geschwindigkeit zu erhalten, werde ich die galiläische Relativitätstheorie genau wie Ron Maimon betrachten. Stellen Sie sich angesichts des aktuellen Koordinatensystems ein Koordinatensystem vor, das sich mit Geschwindigkeit nach rechts bewegt$v$. Durch den Wechsel zum neuen Rahmen sind die beiden Kästen zunächst in Ruhe (also die kinetische Energie ist$E(2m, 0) = 0$) und die Feder wird mit potentieller Energie zusammengedrückt$U$. Nach dem Loslassen bewegen sich beide Boxen mit Geschwindigkeit in entgegengesetzte Richtungen$v$. In diesem Fall haben wir

Somit$E(\cdot, \cdot)$ist quadratisch bezüglich der Geschwindigkeit.

Dies zeigt nur eine Vervierfachung der kinetischen Energie in Bezug auf eine Verdoppelung der Geschwindigkeit, aber ich bin sicher, dass Variationen davon das Allgemeine enthüllen können$E\propto v^{2}$Anteil.

Wirf 3 Bälle mit gleichem Gewicht ohne Luftreibung hoch.

Der Ball hat eine Aufwärtsgeschwindigkeit

Und lassen Sie uns der Einfachheit halber haben wir

Lassen Sie uns der Einfachheit halber Ball 1 reisen

Und höre nach der Zeit auf

Wie weit fliegt Kugel 2?

Beachte das

Auch die Verzögerung ist konstant.

Ball 2 wird also benötigt

Allerdings wird sich auch die Durchschnittsgeschwindigkeit von Ball 2 verdoppeln. Ball 2 fliegt also 4 mal höher.

Aus dem gleichen Grund wird Ball 3 benötigt

Und die Durchschnittsgeschwindigkeit wird auch dreifach sein.

Ball 3 wird also 9 mal höher steigen.

Die Menge der kinetischen Energie der Kugeln ist also der quadratische Betrag der Geschwindigkeit.

Tatsächlich können wir es jetzt messen.

Die gesamte potenzielle Energie wird sein

Die durchschnittliche Aufwärtsgeschwindigkeit wird sein

Hier,

So

So,

Gesamte kinetische Energie des Balls, der sich mit Geschwindigkeit nach oben bewegt

ist einfach die potentielle Energie des Balls, wenn er anhält.

So ist es

Eine Möglichkeit, diese Frage von Ihnen zu betrachten, ist wie folgt:

Wenn wir also die Geschwindigkeit mit einer bestimmten Größe multiplizieren, dh wenn wir die Geschwindigkeit skalieren, erhalten wir Folgendes:

Das heißt, wenn Sie Ihre Geschwindigkeit um einen Faktor von skalieren$\lambda$, Ihre Energie wird um einen Faktor von skaliert$\lambda^2$– Dies sollte Ihre Frage beantworten (einfach die Zahlen einsetzen).