Was ist falsch an diesem Argument, dass kinetische Energie eher vvv als v2v2v^2 ist? [Duplikat]

Im Allgemeinen sind weder Energien noch Energieunterschiede zwischen Frames unveränderlich. Aber die Energieerhaltung gilt in allen Frames, und wir können das verwenden, um herauszufinden, wo das Problem liegt.

Um es noch einmal zusammenzufassen: Die Person im sich bewegenden Rahmen verbraucht Energie$E_v$von ihren Muskeln, um die kinetische Energie des Objekts durch zu erhöhen$E_v$, was gut so ist. Die Person im Originalbild stimmt zu, dass die Person im bewegten Bild Energie verbraucht$E_v$aus chemischer Energie in ihren Muskeln (jeder ist sich einig, wie stark jemand ins Schwitzen kommt) und erhöht die kinetische Energie des Objekts um$3 E_v$.

Das Extra$2 E_v$Energie kommt von der Tatsache, dass die sich bewegende Person mit einem Vorrat an kinetischer Energie begann: der ihres eigenen Körpers, der sich mit Geschwindigkeit bewegt$v$. Diese Energie wird reduziert, weil die Person aufgrund des dritten Newtonschen Gesetzes langsamer wird; es wird "geerntet", um in das Objekt eingesetzt zu werden.

Es gibt keine Möglichkeit, diese zusätzliche Energie zu vermeiden. Wenn Sie versuchen, die Geschwindigkeitsänderung zu reduzieren, indem Sie sie in ein großes Auto stecken, stammt die Energie aus der kinetischen Energie des Autos; das Argument ist genau das gleiche. Wenn auch die Geschwindigkeit des Autos feststeht, stammt die Energie aus der chemischen Energie des Benzins. Die gleiche Erklärung gilt für eine Rakete, wo dies als Oberth-Effekt bezeichnet wird. In allen Fällen besteht kein Widerspruch darin, Energie als quadratisch in der Geschwindigkeit anzunehmen.

Falls Sie nicht überzeugt sind, hier ist eine explizite Berechnung. Wir machen die Masse der Person der Einfachheit halber unendlich. Der Verlust an kinetischer Energie der Person ist

Diese Frage wurde in der Tat experimentell geklärt$18^{\mathrm{th}}$Jahrhunderts in Auseinandersetzungen darüber, welche Menge den Titel „ vis viva “ verdient (siehe auch diese Diskussion auf StackExchange ). Um es kurz zu machen, der Streit wurde durch Experimente beigelegt, die von Willem's Gravesande durchgeführt und von Émilie du Châtelet aufgeklärt wurden . Diese Experimente zeigten im Grunde, dass der Betrag, um den man Ton verformen kann, indem man eine schwere Kugel hineinwirft, von dem abhängt, was wir heute als kinetische Energie bezeichnen.$\frac{1}{2}mv^2$, nicht Schwung.

Das Schwierige daran ist natürlich, dass der kinetische Energiegehalt eines Objekts beobachterabhängig ist, und wenn Sie das nicht berücksichtigen, liegen Sie mit Aussagen wie "Die insgesamt verwendete Energie ist also falsch$2E_v$"; Sie addieren kinetische Energien, die von verschiedenen Personen beobachtet wurden, die sich in unterschiedlichen Referenzrahmen befinden, und das können Sie nicht tun. Die Mythbusters sind in einer Episode über Frontalzusammenstöße tatsächlich auf etwas andere Weise kopfüber in diese Falle gelaufen als einer von ihnen sagte, dass ein Frontalzusammenstoß viermal gefährlicher sei als ein Aufprall auf eine Mauer, weil viermal so viel Energie erforderlich sei, dachten sie an einen der Fahrer, der die doppelte Annäherungsgeschwindigkeit sieht, und deshalb 4-fache Energie Als sie zurückgingen und diese Aussage mit kollidierenden Pendeln mit Ton darauf testeten, stellten sie fest, dass bei der Kollision nur die doppelte Energie vorhanden war und dass die Verformung bei der gleichen Frontalkollision dieselbe ist wie die "gegen eine Wand laufen" eins.

Der Grund? Es liegt daran, die zu ernten$4\times$Energie, die die Lkw-Beobachter vermuten, müsste die Kollision damit enden, dass sich beide Lkw mit der Anfangsgeschwindigkeit des nach rechts (links) fahrenden Lkw nach rechts (oder links) bewegen. Da beide den Prozess im Erdrahmen beenden, ist der Erdrahmen derjenige, der die verfügbare kinetische Energie richtig bewertet hat. Aus diesem Grund konzentrieren wir uns in der speziellen Relativitätstheorie so sehr auf die "invariante Masse" bei Kollisionen - das ist der Teil der Energie, der während der Kollision tatsächlich verfügbar ist, um Dinge zu tun, und alle Beobachter sind sich darin einig.

Insbesondere, wenn Sie Objekte beschriftet haben$1$und$2$auf Kollisionskurs, dann steht die Energie zur Verfügung, um die Objekte zu verformen/erhitzen (oder neue Partikel in einem Partikelkollider zu erzeugen).

Natürlich schließt dieser Ausdruck die Massenenergie ein. Um es für Situationen nützlich zu machen, in denen sich das nicht ändert, müssen Sie abziehen$m_1c^2$und$m_2c^2$um die "kinetische" Energie zu erhalten. Das produziert

Beginnen Sie mit einer anständigen Definition von kinetischer Energie. Ich würde sagen: "Der KE eines Körpers ist die Menge an Arbeit, die er leisten kann, um zur Ruhe zu kommen". Betrachten Sie dann so etwas wie einen beladenen Massenschlitten$m$mit Geschwindigkeit bewegen$u$auf ebenem Boden. Stellen Sie sich vor, es wird von jemandem, der an einem daran befestigten Seil zieht, zur Ruhe gebracht. Wenn Sie davon ausgehen, dass die Verzögerung des Schlittens gleichmäßig ist (um das Leben zu erleichtern), verwenden Sie$W=Fs$,$F=ma$und$v^2=u^2+2as$, sollten Sie in der Lage sein zu zeigen, dass der Schlitten viel Arbeit leistet$\frac{1}{2}m u^2$.

Was würden Sie einem Mann sagen, der Treppensteigen zu anstrengend findet und deshalb eine Stunde lang durch das Einkaufszentrum läuft und nach einem Aufzug sucht?

Es gibt ein bisschen Intuition (Höhenangst usw.), die von Geburt an in unsere Psyche eingebrannt zu sein scheint, aber die überwältigende Mehrheit der Intuition, die wir haben, ist Intuition, die wir aufbauen . Wir bekommen ein grobes Gefühl für Geschwindigkeit, weil wir gehen, joggen und sprinten. Wir bekommen eine Vorstellung von Kraft, weil wir auf Steine ​​und einander stoßen.

Nichts, was der Durchschnittsmensch tut, gibt ihm ein Gefühl für Arbeit und Energie. In der Tat geht die Intuition oft genau in die andere Richtung. Sagen Sie jemandem, der ein schweres Möbelstück vom Boden hochhält, dass er nicht daran arbeitet, und er könnte es absichtlich auf Ihren Fuß fallen lassen.

In Ihren Erklärungen zur kinetischen Energie berufen Sie sich (implizit) auf Arbeit, Kraft, Impuls und Änderungen des Bezugssystems . Jedes dieser Konzepte (und insbesondere das letzte) ist komplizierter als der Begriff der kinetischen Energie. Haben Sie jemals das Video gesehen, in dem Feynman mit einem Reporter über seine Erklärung der magnetischen Abstoßung diskutiert? Das ist fast genau das, was er meinte.

Es ist möglich, handgewellte Argumente dafür zu liefern, warum kinetische Energie eine quadratische Geschwindigkeit hat. Man könnte argumentieren, dass es viermal so viel Kraft kostet, ein Objekt auf eine Höhe zu heben$4h$als dasselbe Objekt auf eine Höhe zu heben$h$, also hat das Objekt im ersteren Fall viermal so viel Energie - würde aber mit nur doppelt so viel Geschwindigkeit auf den Boden aufschlagen (warum? Dies könnte eine andere handgewellte Erklärung erfordern).

Aber um ehrlich zu sein, denke ich, dass der beste Ansatz so wäre:

Es gibt eine Größe namens "kinetische Energie", die widerspiegelt, wie schwierig es ist, ein Massenobjekt herzustellen$m$mit einer Geschwindigkeit zu bewegen$v$- oder umgekehrt, wie schwierig es ist, es zu stoppen, wenn es bereits in Bewegung ist. Mathematisch ist es gleich$\frac{1}{2} m v^2$, was einfach bedeutet, dass die Verdoppelung der Masse des Objekts die Energie verdoppelt, aber die Verdoppelung der Geschwindigkeit des Objekts die Energie vervierfacht .

Wenn Sie mehr darüber wissen möchten (warum der Faktor von$\frac{1}{2}$? Warum$v^2$und nicht$v$?), dann bereite ich gerne ein paar Gespräche vor, um es Ihnen zu erklären. Seien Sie nur gewarnt - es wird eine Weile dauern, und wir müssen die alten Algebra-Kenntnisse für einiges davon abstauben.

In der klassischen Mechanik ändern sich die Bewegungsgesetze nicht mit der Zeit. (Zum Beispiel gilt das erste Newtonsche Gesetz um 8 Uhr morgens genauso wie um 8 Uhr abends). Das bedeutet, dass Sie mathematisch eine Menge (für jede Menge von Objekten) finden können, die unabhängig von der Zeit gleich bleibt. Die Menge wird als Energie definiert und ist nur nützlich, weil sie konserviert werden muss.

Ignorieren Sie für diese Frage die Idee der potentiellen Energie usw. und konzentrieren wir uns auf die kinetische Energie, die unabhängig von der Zeit erhalten bleiben soll. In der klassischen Mechanik kann die Bewegung einer Menge von Objekten vollständig durch die Position (x,y,z), die Geschwindigkeit v und die Zeit t definiert werden. Die kinetische Energie muss eine Funktion dieser Variablen sein. Es kann nicht von der Zeit abhängen (offensichtlich oder es wird nicht erhalten), es kann nicht von seiner Position abhängen (der Raum ist von Ort zu Ort gleich), es kann nicht von der Geschwindigkeit abhängen (weil die Geschwindigkeit eine Richtung hat und die kinetische Energie sollte unabhängig von der Zeit gleich bleiben und kann daher nicht von der Richtung abhängen, in die sich ein Objekt bewegt). Kinetische Energieabhängigkeit von$v^2$wird funktionieren, weil$v^2$ist ein Skalar.

In Ihrem Beispiel haben Sie eine geschwindigkeitsabhängige Größe definiert - es ist nicht die kinetische Energie, weil sie nicht über die Zeit erhalten bleibt. Die von Ihnen definierte Größe hat kein nützliches zugehöriges Erhaltungsgesetz und ist daher nicht nützlich, wenn Sie Mathematik auf Probleme der klassischen Mechanik anwenden. (Übrigens ist die Größe, die Sie in Ihrer Frage definiert und als "kinetische Energie" bezeichnet haben, ein Vektor, kein Skalar).