Woher kommt die zusätzliche kinetische Energie der Rakete?

Sie haben festgestellt, dass bei hohen Geschwindigkeiten eine winzige Änderung der Geschwindigkeit eine große Änderung der kinetischen Energie bewirken kann. Und das bedeutet, dass der Schub durch das Verbrennen von Treibstoff eine beliebig hohe Energiemenge beitragen zu können scheint, die möglicherweise die chemische Energie des Treibstoffs selbst übersteigt.

Die Auflösung ist, dass all diese Logik auch für den Kraftstoff gilt! Wenn der Kraftstoff erschöpft ist, verliert er viel von seiner Geschwindigkeit, sodass die kinetische Energie des Kraftstoffs stark abnimmt. Die zusätzliche kinetische Energie der Rakete kommt von diesem zusätzlichen Beitrag, der beliebig groß sein kann.

Natürlich kam die kinetische Energie des Treibstoffs nicht aus dem Nichts. Wenn Sie keine Gravitationsbrunnen verwenden, stammt diese Energie aus dem zuvor verbrannten Treibstoff, der verwendet wurde, um sowohl die Rakete als auch den gesamten darin enthaltenen Treibstoff zu beschleunigen. Also alles klappt – man bekommt nichts geschenkt.

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Für diejenigen, die mehr Details wünschen, wird dies als Oberth-Effekt bezeichnet , und wir können eine schnelle Berechnung durchführen, um dies zu bestätigen. Angenommen, der Treibstoff wird mit relativer Geschwindigkeit aus der Rakete geschleudert$u$, eine Masse$m$Treibstoff wird ausgestoßen, und der Rest der Rakete hat Masse$M$. Durch Impulserhaltung erhöht sich die Geschwindigkeit der Rakete um$(m/M) u$.

Nehmen wir nun an, die Rakete hat anfänglich Geschwindigkeit$v$. Die Änderung der kinetischen Energie des Kraftstoffs ist

$$\Delta K_{\text{fuel}} = \frac12 m (v-u)^2 - \frac12 mv^2 = \frac12 mu^2 - muv.$$ Die Änderung der kinetischen Energie der Rakete ist $$\Delta K_{\text{rocket}} = \frac12 M \left(v + \frac{m}{M} u \right)^2 - \frac12 M v^2 = \frac12 \frac{m^2}{M} u^2 + muv.$$ Die Summe dieser beiden muss die gesamte freigesetzte chemische Energie sein, die nicht davon abhängen sollte$v$. Und tatsächlich, das Extra$muv$Begriff ein$\Delta K_{\text{rocket}}$wird genau durch die abgebrochen$-muv$Begriff ein$\Delta K_{\text{fuel}}$.

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Manchmal stellt sich dieses Problem mit einem Auto anstelle einer Rakete. Um diesen Fall zu verstehen, beachten Sie, dass sich Autos nur aufgrund von Reibungskräften mit dem Boden vorwärts bewegen; Alles, was ein Automotor tut, ist, die Räder zu drehen, um diese Reibungskraft zu erzeugen. Mit anderen Worten, während Raketen vorwärts fahren, indem sie Raketentreibstoff nach hinten drücken, fahren Autos vorwärts, indem sie die Erde nach hinten drücken.

In einem Rahmen, in dem die Erde anfänglich stationär ist, ist die Energie, die damit verbunden ist, der Erde eine winzige Geschwindigkeit zu verleihen, vernachlässigbar, da die Erde schwer ist und die Energie eine quadratische Geschwindigkeit hat. Sobald Sie zu einem Frame wechseln, in dem sich die Erde bewegt, erntet das Verlangsamen der Erde um den gleichen Betrag eine riesige Menge an Energie, wiederum weil die Energie quadratisch in der Geschwindigkeit ist. Von dort kommt die zusätzliche Energie des Autos. Genauer gesagt wird die gleiche Berechnung wie oben durchgeführt, aber wir müssen das Wort "Brennstoff" durch "Erde" ersetzen.

Die Erkenntnis ist, dass sich die kinetische Energie zwischen den Frames unterscheidet, Änderungen der kinetischen Energie zwischen den Frames unterschiedlich sind und sogar die Richtung der Energieübertragung zwischen den Frames unterschiedlich ist. Es funktioniert alles noch, aber Sie müssen darauf achten, alle Beiträge zur Energie einzubeziehen.

Eine weitere viel klarere Möglichkeit, die Wirkung des Oberth-Effekts zu sehen, besteht darin, die potentielle Energie zur Gleichung hinzuzufügen.

Wenn Sie einen Raketenabschuss innerhalb des Gravitationsschachts eines massiven Körpers durchführen, landet das Treibmittel in einer niedrigeren Umlaufbahn, als wenn Sie den Raketenabschuss außerhalb des Gravitationsschachts durchführen.

Der Unterschied in der potentiellen Energie des Treibmittels entspricht dem Unterschied in der kinetischen Energie Ihrer Raumsonde.

Angenommen, die Rakete ohne Treibstoff hat Gewicht$M$, der Kraftstoff hat Gewicht$m$, und der Raketenmotor funktioniert, indem er den Treibstoff sofort mit Geschwindigkeit nach hinten schickt$v_e$relativ zur Anfangsgeschwindigkeit der Rakete. Somit ist durch Impulserhaltung der Geschwindigkeitsgewinn der Rakete gegeben

$$\Delta v_\text{rocket} = \frac{m}{M} v_e.$$

Der kinetische Energiegewinn im System im COM-Bezugssystem ist

$$\Delta T = \frac{1}{2} M (\Delta v_\text{rocket})^2 + \frac{1}{2} m v_e^2.$$ Das ist die chemische Energie $E_\text{chemical}$freigesetzt werden, indem der Kraftstoff verbrannt wird (unter der Annahme eines perfekten Wirkungsgrads).

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Was passiert nun , wenn wir prograd brennen , dh in Richtung unserer Geschwindigkeit beschleunigen?

Nehmen wir an, dass sich zunächst der Treibstoff in der Rakete befindet und sie sich in einer Umlaufbahn mit Orbitalenergie befinden$E_0$, die die Summe der kinetischen Energie und der potentiellen Energie ist,

$$E_0 = T_0 + V_0 = \frac{1}{2} (M+m) v_0^2 - \frac{\gamma(M+m)}{r_0},$$ wo $v_0$ist die Geschwindigkeit der Rakete vor dem Abbrand, $r_0$ist der Abstand der Rakete zum Zentrum des Zentralkörpers vor der Verbrennung und $\gamma$ist der Gravitationsparameter des Zentralkörpers. Jetzt $r_0$ist der Parameter, den wir wählen können, indem wir wählen, wann gebrannt werden soll, $E_0$ist eine Konstante, die durch unsere anfängliche Umlaufbahn bestimmt wird, und $v_0$ist dann eine Funktion von $E_0$und unsere Auswahl an $r_0$.

Nach dem Abbrennen ist die Geschwindigkeit der Rakete$v_0 + \Delta v_\text{rocket}$und die Umlaufenergie der Rakete ist

$$E_\text{rocket} = T_\text{rocket} + V_\text{rocket} = \frac{1}{2} M (v_0+\Delta v_\text{rocket})^2 - \frac{\gamma M}{r_0} = \frac{1}{2} M \left( v_0+\frac{m}{M} v_e \right)^2 - \frac{\gamma M}{r_0},$$ und die Geschwindigkeit des Kraftstoffs ist $v_0 - v_e$und die Umlaufenergie des Brennstoffs ist $$E_\text{fuel} = T_\text{fuel} + V_\text{fuel} = \frac{1}{2} m (v_0- v_e)^2 - \frac{\gamma m}{r_0}.$$

Wie Sie gesehen haben, besteht der Oberth-Effekt darin, dass die Rakete mit mehr kinetischer Energie endet, wenn die Verbrennung mit höherer Geschwindigkeit durchgeführt wird$v_0$und kleiner$r_0$(bei Aufbewahrung der$E_0$Konstante).

Die potentielle Gesamtenergie bleibt gleich, aber die kinetische Gesamtenergie ändert sich, was zu einer Änderung der Gesamtenergie der Rakete und des Treibstoffs führt.

$$(E_\text{rocket} + E_\text{fuel}) - E_0 = (T_\text{rocket} + T_\text{fuel}) - T_0 = \frac{1}{2} \frac{m^2}{M} v_e^2 + \frac{1}{2} m v_e^2 = \frac{1}{2} M (\Delta v_\text{rocket})^2 + \frac{1}{2} m v_e^2.$$ Dies gilt unabhängig davon, wo die Verbrennung durchgeführt wird! Es ist auch dasselbe wie im anfänglichen Bezugssystem des Systems Rakete + Treibstoff, also ist es die chemische Energie $E_\text{chemical}$bei der Verbrennung verwendet.

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Nun stellt sich die Frage, wie hängt der Energiegewinn der Rakete von der Wahl des Brennzeitpunkts ab (d. h$r_0$, vorausgesetzt$E_0$ist konstant)?

Die Anfangsgeschwindigkeit des Raketen- und Treibstoffsystems,$v_0$erhält man in Bezug auf$r_0$wie

$$v_0 = \sqrt{2 \frac{E_0}{M+m} + \frac{2\gamma}{r_0}}.$$

Der kinetische Energiegewinn der Rakete (ohne Treibstoff) beim Abfahren$v_0$zu$v + \Delta v_\text{rocket}$ist

$$\begin{align*} \Delta T_\text{rocket} &= \frac{1}{2} M ( v_0 + \Delta v_\text{rocket})^2 - \frac{1}{2} M v_0^2 = M v_0 \Delta v_\text{rocket} + \frac{1}{2} M (\Delta v_\text{rocket})^2 \\ &= M \Delta v_\text{rocket} \sqrt{2 \frac{E_0}{M+m} + \frac{2\gamma}{r_0}} + \frac{1}{2} M (\Delta v_\text{rocket})^2. \end{align*}$$ Diese Formel ist etwas kompliziert, aber wie Sie gesehen haben, ist der Gewinn am größten, wenn $r_0$am kleinsten ist, das heißt, wenn die potenzielle Energie der Gravitation am kleinsten ist. Denn die Erhöhung der Summe der kinetischen Energien der Rakete und des Treibstoffs hängt nicht davon ab $r_0$, ist die mathematische Erklärung, dass der Energiegewinn dadurch entsteht, dass die kinetische Energie des Kraftstoffs stärker abnimmt : $$\Delta T_\text{fuel} = E_\text{chemical} - \Delta T_\text{rocket} = \frac{1}{2} m v_e^2 - M \Delta v_\text{rocket} \sqrt{2 \frac{E_0}{M+m} + \frac{2\gamma}{r_0}}.$$

Der entscheidende Punkt dieser Frage ist, dass es intuitiv so aussieht, als würde die Energieerhaltung nicht richtig funktionieren. Eine Rakete wird durch eine chemische Reaktion angetrieben, die chemische Energie mit konstanter Geschwindigkeit freisetzt. Wie kann also eine konstante Geschwindigkeit der Energiefreisetzung zu einem stärkeren Anstieg von KE führen, wenn man schnell fährt?

Um dies zu verstehen, ist es hilfreich, sich eine „Spielzeugmodell“-Rakete vorzustellen, die nach denselben Prinzipien funktioniert, aber einfacher zu analysieren ist. Betrachten wir konkret eine 10-kg-Kugel (Rakete) und eine 1-kg-Kugel (Auspuff), die an einer masselosen Feder (Treibstoff) befestigt ist.

Angenommen, diese Feder hat genug Energie gespeichert, dass die Rakete, wenn sie anfänglich in Ruhe ist, sie auf 1 m/s antreiben kann, und durch Impulserhaltung wird der Auspuff auf -10 m/s getrieben. Umgekehrt, wenn die Rakete mit 5 m/s startet, wird die Rakete nach dem „Verbrennen“ des Treibstoffs mit 6 m/s angetrieben und der Auspuff bewegt sich mit -5 m/s.

Lassen Sie uns nun die Energie überprüfen. Im ersten Fall stieg der KE der Rakete von 0 J auf 5 J, im zweiten Fall von 125 J auf 180 J. Die Feder speichert in beiden Fällen gleich viel Energie, warum also steigt der KE um 5 J bei niedriger Drehzahl und um 55 J bei hoher Drehzahl?

Beachten Sie, dass wir vergessen haben, die Energie zu berechnen, die in den Auspuff geflossen ist. Dies ist der zentrale Fehler der meisten dieser Analysen. Im ersten Fall stieg der KE des Auspuffs von 0 J auf 50 J, während im zweiten Fall der KE vorher und nachher 12,5 J betrug. In beiden Fällen betrug die Gesamtänderung von KE (sowohl der Rakete als auch des Auspuffs) 55 J.

Bei niedrigen Geschwindigkeiten wird die meiste Energie des Kraftstoffs im KE des Auspuffs „verschwendet“. Bei höheren Geschwindigkeiten geht mehr in die Rakete und weniger in den Auspuff. Bei einer echten Rakete passiert das Gleiche ständig. Sowohl Energie als auch Schwung bleiben erhalten, und tatsächlich wird dem Fahrzeug mehr Leistung zugeführt, wenn die Geschwindigkeit unter konstantem Schub zunimmt.

Ich habe dieses Szenario mehr als einmal in Diskussionen gesehen (z. B. hier , hier und hier ), also habe ich beschlossen, dies als Beitrag zu veröffentlichen. Wenn dies zu viel zum Lesen ist, gehen Sie zum Abschnitt Einige Schlussfolgerungen am Ende.

Die Frage betrifft die Vereinbarkeit von kinetischer Energie und Galileischer Relativitätstheorie. Wie ist es möglich, dass der gleiche Boost$u\rightarrow u+\Delta v$entspricht unterschiedlichen Erhöhungen der kinetischen Energie für denselben Schub$\Delta v$bei unterschiedlichen Anfangsgeschwindigkeiten$u$?

Es gibt eine Reihe von Szenarien, die dem geposteten OP ähneln. Angenommen, eine Person befindet sich in einem Raumschiff (in gleichförmiger Bewegung) und wirft einen Ball in Vorwärtsrichtung des Raumschiffs. Wenn wir den Rahmen betrachten würden, in dem das Raumschiff anfänglich stationär ist, dann hätte sich der Ball beispielsweise bewegt$10\text{ m/s}$. Aber in dem Rahmen, in dem sich das Raumschiff vorwärts bewegt$u = 100\text{ m/s}$, dann bewegt sich der Ball bei$110\text{ m/s}$. Das$\Delta v = 10\text{ m/s}$entspricht einem unterschiedlichen Anstieg der kinetischen Energie in den beiden Szenarien.

Ebenso können wir uns ein Raumschiff vorstellen, das Abgas in diskreten Stücken abgibt (um das Problem zu vereinfachen), was zu diskreten Boosts führt. Der Schub$0\text{ m/s}\rightarrow 100\text{ m/s}$entspricht einem anderen Anstieg von KE als dem Boost$1000\text{ m/s}\rightarrow 1100\text{ m/s}$, obwohl es genau derselbe Vorgang ist.

Beide Szenarien beinhalten eine anfängliche potenzielle Energie (chemische Energie in der Person oder chemische Energie im Treibstoff des Raumschiffs), die in kinetische Energie umgewandelt wird, was zu einer Änderung der Geschwindigkeit eines Objekts führt. Im ersten Szenario wendet eine Person etwas Energie auf, um den Ball zu werfen. Im zweiten Szenario gibt es eine Explosion, die die Rakete nach vorne drückt und Abgase ausstößt.

Ich werde beide Fälle betrachten, indem ich den Fall eines "Frühlingswerfers" analysiere, der eine Kiste in eine Richtung startet. Das Problem ist für alle Absichten und Zwecke hier mit den beiden oben genannten Szenarien identisch.

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Fehlerhafte Analyse

Wir können den Fall betrachten, in dem wir einen "Spring Launcher" mit potentieller Energie haben$U$das startet eine Kiste mit Masse$m$. Unten stellen wir das Szenario im Rahmen dar, in dem die Box anfänglich ruht. Erstens werde ich die falsche, naive Berechnung anführen, zu der viele Menschen in diesem Gedankenexperiment neigen.

Unter der Annahme, dass die Masse der Feder vernachlässigbar ist, impliziert eine naive Berechnung unter Verwendung der Energieerhaltung$KE = U$und wir werden dazu gebracht zu sagen, dass die Box mit Geschwindigkeit gestartet wird$v = \sqrt{2U/m}$.

Stellen Sie sich nun das gleiche Szenario vor, in dem sich der Federwerfer und die Box anfänglich mit Geschwindigkeit bewegen$u$. Auch hier werde ich die falsche, naive Berechnung anstellen, um die Verwirrung hervorzuheben, die die Menschen möglicherweise haben.

Wir haben eine Zunahme der kinetischen Energie$\Delta KE = U$, Also$KE_{\text{final}} = KE_{\text{initial}} + U$, und so

$$v' = \sqrt{ \frac{2U}{m} + u^{2} }.$$ Offensichtlich haben wir das nicht$v' = v + u$, was naiv zu zeigen scheint, dass die Quelle keine Galilei-Invariante ist. Etwas anders können wir darauf bestehen, dass die Box aus geboostet wird$u$zu$u+\Delta v$für das Selbe$\Delta v$in allen Frames, aber dann wäre der Energiegewinn inkonsistent. Wie auch immer, wir scheinen ein Problem zu haben.

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Richtige Analyse

Das Problem bei der obigen Analyse ist, dass wir Newtons drittes Gesetz nicht berücksichtigen. Die Wand, an der die Feder befestigt ist, hat selbst eine endliche Masse ungleich Null und wird nach Newtons drittem Gesetz zurückgedrückt. Eine korrekte Analyse müsste sowohl das gestartete Objekt als auch den Kickback zum Launcher berücksichtigen.

Angenommen, es gibt einen Federwerfer mit anfänglicher potentieller Energie$U$das an einer Masse befestigt ist$m_{1}$die eine Masse auslöst$m_{2}$. Stellen Sie sich einen Rahmen vor, in dem sich das gesamte System anfänglich in Ruhe befindet.

Unter Berücksichtigung sowohl der Impulserhaltung als auch der Energieerhaltung haben wir

$$\begin{align} m_{1}v_{1} + m_{2}v_{2} &= 0, \\ \frac{1}{2}m_{1}v_{1}^{2} + \frac{1}{2}m_{2}v_{2}^{2} &= U. \end{align}$$ Für beide lösen und diese Masse berücksichtigen$m_{1}$wird in die geschoben$-x$-Richtung und Masse$m_{2}$wird in die geschoben$+x$-Richtung, erhalten wir $$\begin{align} v_{1} = -\left[ \frac{2U}{m_{1}\left(1 + \frac{m_{1}}{m_{2}}\right)} \right]^{1/2} \qquad\text{ and }\qquad v_{2} = \left[ \frac{2U}{m_{2}\left(1 + \frac{m_{2}}{m_{1}}\right)} \right]^{1/2}. \end{align}$$

Betrachten Sie nun den allgemeineren Fall, in dem sich das gesamte System anfänglich mit Geschwindigkeit bewegt$u$.

Unter Berücksichtigung sowohl der Impulserhaltung als auch der Energieerhaltung haben wir

$$\begin{align} m_{1}v_{1}' + m_{2}v_{2}' &= (m_{1} + m_{2})u, \\ \frac{1}{2}m_{1}v_{1}'^{2} + \frac{1}{2}m_{2}v_{2}'^{2} &= U + \frac{1}{2}(m_{1}+m_{2})u^{2}. \end{align}$$ Indem Sie die erste Gleichung zum Schreiben verwenden$v_{2}'$bezüglich$v_{1}'$und setzen dies in die zweite Gleichung ein, erhalten wir die quadratische Gleichung $$v_{1}'^{2} \left[ m_{1} + \frac{m_{1}^{2}}{m_{2}} \right] - v_{1}' \left[ 2m_{1}\left(1 + \frac{m_{1}}{m_{2}}\right) \right] + m_{2}\left(1 + \frac{m_{1}}{m_{2}}\right)^{2}u^{2} - (m_{1} + m_{2})u^{2} - 2U = 0.$$ Indem wir die quadratische Formel anwenden und viel vereinfachen, erhalten wir $$v_{1}' = u - \left[ \frac{2U}{m_{1}\left(1 + \frac{m_{1}}{m_{2}}\right)} \right]^{1/2}$$ wobei wir wegen der Masse die negative Quadratwurzel gewählt haben$1$wird ins Leben gerufen$-x$-Richtung. Eine ähnliche Ableitung ergibt $$v_{2}' = u + \left[ \frac{2U}{m_{2}\left(1 + \frac{m_{2}}{m_{1}}\right)} \right]^{1/2}$$ wobei wir wegen der Masse die positive Quadratwurzel gewählt haben$2$wird ins Leben gerufen$+x$-Richtung.

Wir sehen, dass das System, sobald wir Newtons drittes Gesetz und Impulserhaltung berücksichtigen, Galileische Invarianz aufweist, Energie erhalten bleibt und die Geschwindigkeitserhöhungen unabhängig von der Anfangsgeschwindigkeit des Systems gleich sind.

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Einige Schlussfolgerungen

Es lohnt sich, darüber nachzudenken, wie die Energie bei unterschiedlichen Anfangsgeschwindigkeiten auf beide Boxen umverteilt wird$u$.

In dem Fall, wo die Anfangsgeschwindigkeit ist$u=0$, bewirkt das Entspannen der Feder die potentielle Energie$U$in kinetische Energie umzuwandeln, und die Energie wird dann auf beide Boxen aufgeteilt.

Dasselbe kann gesagt werden, wenn das gesamte System aus Box 1 + Box 2 eine kleine Anfangsgeschwindigkeit hat$0 < u < \epsilon$(Ich werde nur die Fälle mit positiv betrachten$u$; die Fälle mit Negativ$u$sind ähnlich). Beide Boxen beginnen mit einer kleinen kinetischen Energie, und nach dem Entspannen der Feder gewinnen beide Boxen kinetische Energie aus der gespeicherten potentiellen Energie der Feder.

Wenn jedoch die Anfangsgeschwindigkeit überschritten wird

$$u_{0} = \frac{1}{2}\left[\frac{2U}{m_{1}\left(1 + \frac{m_{1}}{m_{2}}\right)}\right]^{1/2},$$ etwas Interessantes kann gesagt werden. Wenn$u > u_{0}$, dann führt das Lösen der Feder dazu, dass Box 1 kinetische Energie verliert (weil sie jetzt durch das Zurückschieben an Gesamtgeschwindigkeit verliert). Die verlorene kinetische Energie wird natürlich zusammen mit der potentiellen Energie, die von der Feder freigesetzt wird, auf Box 2 übertragen.

Dies zeigt genau, warum die nichtlineare Beziehung zwischen kinetischer Energie und Geschwindigkeit vorhanden ist. Die quadratische Beziehung bedeutet, dass ein Raketenschiff im Falle eines Schubs$v\rightarrow v + \Delta v$gewinnt mehr kinetische Energie als bei einem Boost$0\rightarrow \Delta v$für das Selbe$\Delta v$, und dies ist zu erwarten, da im ersten Fall das Abgas seine kinetische Energie an die Rakete abgibt (mehr Energie an die Rakete), während im letzteren Fall das Abgas durch Emission kinetische Energie gewinnt (weniger Energie an die Rakete).

Diese scheinbar nicht intuitive Beziehung ist nun unvermeidlich, wenn wir Newtons drittes Gesetz berücksichtigen. Die von der Feder freigesetzte potenzielle Energie (oder der Treibstoff der Rakete) wird benötigt, um die beiden Kästen zu trennen (oder im Fall der Rakete wird der Treibstoff benötigt, um den Auspuff von der Rakete zu trennen), aber wie wird die resultierende kinetische Energie verteilt? hängt von der Anfangsgeschwindigkeit des Systems ab.