Wie brechen chemische Antriebssysteme nicht den Energieerhaltungssatz?

Ich habe vor Jahren eine ähnliche Frage auf NasaSpaceFlight.com beantwortet. Die Antwort ist, dass wir nicht nur die chemische Energie des Kraftstoffs berechnen, sondern auch die kinetische Energie, die der Kraftstoff trägt, einbeziehen müssen. Der Treibstoff auf der Rakete bewegt sich mit einer bestimmten Geschwindigkeit und hat somit eine bestimmte kinetische Energie. Wenn es nach dem Verbrennen ausgestoßen wird, ist die Geschwindigkeit des ausgestoßenen Abgases (vom statischen Beobachter gesehen) unterschiedlich. Der Unterschied trägt zu der Energie bei, die Sie in Ihrer Frage sehen.

Je höher die Geschwindigkeit der Rakete ist, desto höher ist dieser Beitrag.

Wie Sie bemerkt haben, nimmt der Effekt, der in die Beschleunigung der Rakete einfließt, mit der Zeit zu. Wenn jedoch der Treibstoff in die entgegengesetzte Richtung beschleunigt wird, um die Raketengeschwindigkeit zu erreichen, hat der Treibstoff eine Änderung der spezifischen kinetischen Energie$k$(kinetische Energie pro Masseneinheit) gem

$$\Delta k = \frac{1}{2}v_2^2 - \frac{1}{2}v_1^2,$$

Wo$v_1$ist die Geschwindigkeit des Kraftstoffs unmittelbar vor seiner Verwendung und$v_2$ist die Geschwindigkeit des Kraftstoffs direkt nach seiner Verwendung. Da die Geschwindigkeitsdifferenz immer gleich ist, können wir schreiben

$$v_2 = v_1 - \Delta v,$$

Wo$\Delta v$ist eine Konstante. Wir bekommen daher

$$\Delta k = \frac{1}{2}(v_1-\Delta v)^2 - \frac{1}{2}v_1^2 = \frac{1}{2}\Delta v -v_1,$$

Das bedeutet, dass der Treibstoff, mit dem die Rakete beschleunigt wird, immer mehr Energie verliert. Dies erklärt die Wirkungssteigerung beim Beschleunigen der Rakete.

Es scheint eine Verwirrung zwischen Energie und Leistung zu geben: "die chemische Energie, die in den Motor geht" ist die Rate, mit der Energie zugeführt wird, dh die Leistung des Motors,$P$, während die Energie der Rakete ihre volle Energie ist, die sich im Laufe der Zeit seit dem Start des Triebwerks angesammelt hat. Mit anderen Worten:

$$\frac{dE(t)}{dt} = P(t) \Leftrightarrow E = \int_{0}^td\tau P(\tau).$$

Was Sie beschreiben, ist der sogenannte Oberth-Effekt , bei dem die Treibstoffeffizienz einer Rakete zunimmt, je schneller sie fliegt. Es ist möglich, dass die gewonnene kinetische Energie die Gesamtmenge an chemischer Energie in der Rakete zum Starten übersteigt, was gegen das Energieerhaltungsprinzip zu verstoßen scheint.

Dies ist jedoch nicht der Fall, weil die im Treibmittel enthaltene Energie die Summe seiner chemischen Energie und seiner kinetischen Energie ist, so dass in einem sich schneller bewegenden Treibmittel mehr Energie gespeichert ist als in einem sich langsamer bewegenden Treibmittel. Wenn das Treibmittel brennt, überträgt es sowohl seine chemische als auch seine kinetische Energie auf den Auspuff (und damit auf die Rakete), wodurch scheinbar zusätzliche Energie entsteht.

Die von der Rakete bereitgestellte Kraft ist jedoch unabhängig von ihrer kinetischen Energie dieselbe. Sie können dies verwenden, um zu zeigen, dass die Energieänderung proportional zu ihrer Beschleunigung multipliziert mit ihrer Geschwindigkeit ist, und wenn die Kraft (und die Masse) konstant sind, ist die Beschleunigung konstant - und daher gewinnt eine schnellere Rakete mehr Energie als eine langsamere. Die verlinkte Wikipedia-Seite hat die Herleitung.