Ableitung der Tsiolkovsky-Raketengleichung unter Verwendung der Rate, mit der der Treibstoff brennt

Question

Ableitung der Tsiolkovsky-Raketengleichung unter Verwendung der Rate, mit der der Treibstoff brennt

Cédric Martens

Ich versuche, die Ableitung von zu verstehen Tsiolkovsky Rocket Equation.

Δ v = \int_{T_{0}}^{T_{1}} \frac{| T |}{M_{0} - T Δ M} D T

$\Delta v= \int_{t_0}^{t_1} \dfrac{|T|}{m_0 - t\Delta m}dt$ Die Wikipedia-Seite hat mich hier verwirrt:

Wo $T$ ist Schub, $m_{0}$ die Anfangsmasse (nass) und Δm die Anfangsmasse abzüglich der Endmasse (trocken) ist

Was bedeutet, dass

M_{0} - T Δ M = M_{0} - T (M_{0} - M_{D R j})

$m_0 - t\Delta m = m_0 -t(m_0-m_{dry})$

Wenn die Rakete startete $t_0=0$ Sekunden und erreicht die Trockenmasse bei $t_1 = 60$ Sekunden, dann um $t_1$ wir sollten mit einer Beschleunigung von rechnen

A (T_{1}) = \frac{| T |}{M_{D R j}}

$a(t_1) =\dfrac{|T|}{m_{dry}}$ aber wir bekommen

A (T_{1}) = \frac{| T |}{M_{0} - T_{1} Δ M} = \frac{| T |}{M_{0} - 60 S Δ M}

$a(t_1) =\dfrac{|T|}{m_{0} - t_1 \Delta m} = \dfrac{|T|}{m_{0} - 60s \Delta m}$

Ich bin mir nicht sicher, ob dies ein Fehler ist oder nicht. Ich habe dann die Gleichung mit einem etwas anderen Ansatz abgeleitet, den ich mir ausgedacht habe und der mir intuitiver erschien, anstatt ihn zu verwenden $\Delta m$ , ich habe den Kurs verwendet $r$ (kg/s), bei dem der Kraftstoff das System verlässt.

Δ v = \int_{T_{0}}^{T_{1}} \frac{| T |}{M_{F} - T R} D T

$\Delta v= \int_{t_0}^{t_1} \dfrac{|T|}{m_f - tr}dt$

Wenn ich nun das Integral nehme, erhalten wir

Δ v = - \frac{| T |}{R} \ln | \frac{M_{0}}{M_{D R j}} |

$\Delta v =-\dfrac{|T|}{r}\ln\left|\dfrac{m_0}{m_{dry}}\right|$

Meine Ableitung scheint falsch zu sein, weil ich ein negatives Vorzeichen vorne habe, was keinen Sinn ergibt. Gibt es etwas, das ich verpasst habe?

Schwarzer Kugelblitz

Ich möchte der Antwort von CR drost eine Sache hinzufügen, dass es m_final=m_initial-dm/dt(time elapsed) im Wiki-Artikel sein sollte

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Ableitung der Tsiolkovsky-Raketengleichung unter Verwendung der Rate, mit der der Treibstoff brennt

Ich möchte der Antwort von CR drost eine Sache hinzufügen, dass es m_final=m_initial-dm/dt(time elapsed) im Wiki-Artikel sein sollte

CR Drost · Answer 1

Ja, dies ist derzeit eine minderwertige Ableitung auf Wikipedia. Insbesondere die Montage $m_0 - t \Delta m$ ist nicht maßhaltig, wenn $t$ hat beliebige vorgegebene Einheiten. Man würde stattdessen schreiben, sagen,

\begin{matrix} (1) & Δ v = \int_{T_{0}}^{T_{1}} D T \frac{T}{M_{0} - (M_{0} - M_{1}) (T - T_{0}) / (T_{1} - T_{0})} . \end{matrix}

$\Delta v = \int_{t_0}^{t_1}\mathrm dt ~\frac{T}{m_0 - (m_0 - m_1)(t - t_0)/(t_1 - t_0)}.\tag{1}$ Und dann ist dieser Ausdruck richtig

T / m_{0}

$T/m_0$ bei

t = t_{0}

$t = t_0$ Und

T / m_{1}

$T/m_1$ zum Zeitpunkt

t = t_{1} .

$t=t_1.$

Du bist hier völlig in Ordnung zu schreiben $r = (m_0 - m_1)/(t_1 - t_0)$ vereinfachen; es sieht auch so aus, als hättest du eine neue Masse erfunden $m_f = m_0 + r~t_0$ was es uns erlaubt, diesen gesamten Ausdruck tatsächlich als zu schreiben

\begin{matrix} (2) & Δ v = \int_{T_{0}}^{T_{1}} D T \frac{T}{M_{F} - R T}, \end{matrix}

$\Delta v = \int_{t_0}^{t_1}\mathrm dt ~\frac{T}{m_f - r~t},\tag{2}$ was in Ordnung ist. Dieser Nenner ist in der Tat immer noch vorhanden

m_{0} + r t_{0} - r t_{0} = m_{0}

$m_0 + r~t_0 - r ~t_0 = m_0$ bei

t = t_{0}

$t=t_0$ und mit etwas mehr arbeit,

m_{0} + r t_{0} - r t_{1} = m_{0} - r (t_{1} - t_{0})

$m_0 + r~t_0 - r~t_1 = m_0 - r(t_1 - t_0)$ was vereinfacht zu

m_{1}

$m_1$ bei

t = t_{1} .

$t = t_1.$ Toll, obwohl ich die Wahl des Namens in Frage stelle

m_{f}

$m_f$ da es jemandem „Endmasse“ anstelle von „fiktiver Masse“ bedeuten könnte

t = 0

$t=0$ “, was es ist.

Tatsächlich denke ich, dass es viel einfacher wäre, wenn wir einfach definieren würden $\tau = t_1 - t_0$ und nahm $t_0 = 0$ als willkürliche Null, so dass Sie einfach haben $\int_0^\tau \mathrm dt T/(m_0 - r~t)$ und Sie müssen nicht über die Hälfte dieser Details nachdenken.

Wie auch immer, die richtige Auswertung von (2) beinhaltet a $u$ -Substitution wo wir definieren, sagen wir, $\mu = m_f - r~t$ und dann $\mathrm d\mu = -r~\mathrm dt,$ woher Sie wahrscheinlich das Minuszeichen bekommen. Das Minuszeichen ist hier zu 100 % richtig; die Endpunkte sind das $\mu(t_0) = m_0, \mu(t_1) = m_1$ wie oben diskutiert, so werden wir finden

\begin{matrix} (3) & Δ v = - \frac{1}{R} \int_{M_{0}}^{M_{1}} D μ \frac{T}{μ} = - \frac{T}{R} \ln (\frac{M_{1}}{M_{0}}), \end{matrix}

$\Delta v = -\frac{1}{r}\int_{m_0}^{m_1}\mathrm d\mu ~\frac{T}{\mu} = -\frac Tr \ln\left(\frac{m_1}{m_0}\right),\tag{3}$ und das Minuszeichen dient hier einem entscheidenden Zweck: Dieser Logarithmus ist ein Logarithmus einer Zahl dazwischen

0

$0$ Und

1

$1$ und daher ist es ein negativer Wert; das Minuszeichen macht es positiv.

Soweit ich das beurteilen kann, bestand Ihr Fehler darin, diese Grenzen oder einen anderen elementaren Schritt danach zu finden; Sie hatten das effektiv $m_f - r~t$ War $m_1 = m_\text{dry}$ zum Zeitpunkt $t = t_0$ Und $m_0$ zum Zeitpunkt $t = t_1$ wenn es genau umgekehrt ist; der Index $0$ markiert den Anfangszeitpunkt und den Index $1$ markiert den Endzeitpunkt.

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Cédric Martens

Schwarzer Kugelblitz

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