Der vertikale Start einer Rakete

Question

Der vertikale Start einer Rakete

Chern-Simons

Ab Q7 auf Seite 22 von „Upgrade Your Physics“ von BPhO/Machacek

Eine Rakete mit Anfangsmasse $M_0$ wird in einem einheitlichen Gravitationsstärkefeld vertikal gestartet $g$ .

(a) Berechnen Sie die Endgeschwindigkeit der Rakete, deren Startmasse zu 90 % Treibladung ist, bei konstanter Austrittsgeschwindigkeit $u$ . Nehmen Sie an, dass das Treibmittel gleichmäßig über eine Minute verbraucht wird.

Versuch :

Lassen $\alpha$ bezeichnen den Kraftstoffverbrauch in $\mathrm{kg\ s^{-1}}$

Dann ist der durch den Auspuff bereitgestellte konstante Schub gegeben durch:

\begin{matrix} (1) & T = a u \end{matrix}

$T=\alpha u \tag{1}$

Die Beschleunigung $a(t)$ der Rakete irgendwann $t$ nach dem Start:

\begin{matrix} (2) & T - M (T) G = M (T) A (T) \end{matrix}

$T-M(t)g=M(t)a(t) \tag{2}$

Wo

\begin{matrix} (3) & M (T) = M_{0} - a T \end{matrix}

$M(t)=M_0-\alpha t \tag{3}$ ist die Masse der Rakete zur Zeit

t

$t$ .

Verwenden $v=\int a(t)\,\mathrm dt$ , Ich habe

\begin{matrix} (4) & v (T) = \int_{0}^{T} (\frac{a u}{M_{0} - a T} - G) D T = u \ln (\frac{M_{0}}{M_{0} - a T}) - G T \end{matrix}

$v(t)=\int\limits_0^t\left(\frac{\alpha u}{M_0-\alpha t}-g\right)\,\mathrm dt=u\ln\left(\frac{M_0}{M_0-\alpha t}\right)-gt \tag{4}$ seit

v_{0} = 0

$v_0=0$ .

Kann $\alpha$ Und $t$ irgendwie eliminiert werden oder brauche ich mehr Informationen um die Frage zu beantworten? Irgendwelche konzeptionellen Fehler in meiner Arbeit?

Später fragt die Frage auch nach der Geschwindigkeit beim Abschalten des Hauptmotors und der größten erreichten Höhe (die meiner Meinung nach durch Integration von Gl. $(4)$ aber der Begriff der Zeit wird hier wieder benötigt?).

Chern-Simons

Quer gepostet: math.stackexchange.com/q/3518408

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Benutzer249968 · Answer 1

Wie du sagst :

M (T) = M_{Ö} - a T

$M(t) = M_o - \alpha t$

Aber das muss man irgendwann wissen $\tau$ Nach dem Start hat das Objekt jetzt $0.1M_o$ Masse (da es seine ganze Energie verbraucht hat).

Deshalb

\begin{matrix} (1) & 0,1 M_{Ö} = M_{Ö} - a τ \end{matrix}

$0.1M_o = M_o - \alpha \tau \tag 1$

\begin{matrix} (2) & \Rightarrow τ = \frac{0,9 M_{Ö}}{a} \end{matrix}

$\Rightarrow \tau = \frac {0.9M_o}{\alpha} \tag 2$

Nach dem Auswechseln $(1)$ Und $(2)$ in deine Gleichung bekommen wir:

v (τ) = u \ln (10) - G \frac{0,9 M_{Ö}}{a}

$v(\tau) = u\ln \left(10 \right)-g\frac {0.9M_o}{\alpha}$

Nun, wenn Sie wissen $\alpha$ dann kannst du finden $v(\tau)$ .

Wie wäre es mit $\alpha$ ? gibt es eine Möglichkeit zu beseitigen $\alpha$ ? (Genau wie im horizontalen Fall wird es aufgehoben, aber ich bin mir nicht sicher, ob es für einen vertikalen Start gilt?)
Beim vertikalen Start wird es nicht aufgehoben, da es zur Bekämpfung der Schwerkraft benötigt wird. Jede Sekunde, in der der Motor brennt, wird ein Teil seines Schubs durch die Schwerkraft aufgehoben. Je größer der Schub, desto geringer der Anteil. Solange Sie den Luftwiderstand und die strukturellen Belastungen ignorieren, sind kürzere Verbrennungen mit höherem Schub besser. Sie können die Gleichung so umstellen, dass sie V(tau) = deltaV - Schwerkraftverluste ist

Agnius Wassilauskas · Answer 2

Basierend auf einer sehr netten Antwort von @Johan Liebert können Sie mehrere Dinge extrapolieren. Erstens ist die obere Grenze der Raketengeschwindigkeit wann $\alpha \to \infty$ , das gibt :

v_{M A X} = u \ln (10)

$v_{max} = u\,\ln(10)$ , weil der zweite Term dann gegen Null geht.

Zweitens - Sie können den kritischen Kraftstoffverbrauch berechnen und auflösen $\alpha$ In :

u \ln (10) - G \frac{0,9 M_{Ö}}{a} = 0

$u\,\ln(10) - g \frac{0.9 M_o}{\alpha} = 0$ das gibt :

a_{kritisch} = G \frac{0,9 M_{Ö}}{u \ln (10)}

$\alpha_{\text{critical}} = g\frac{0.9\,M_o}{u \ln(10)}$ Wenn

α < α_{critical}

$\alpha < \alpha_{\text{critical}}$ , dann beginnt die Rakete schließlich, auf die Erde zurückzufallen, dh die Schwerkraft wird am Ende siegen.

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Chern-Simons

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Benutzer249968

Chern-Simons

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Agnius Wassilauskas

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