Warum gibt es eine 1/2 in kinetische Energieformel? [Duplikat]

Der Faktor$\frac12$kommt ins Spiel, weil wir die Gleichung integrieren

$$\frac{\mathrm dE}{\mathrm dv}=mv$$ einmal.

Weniger abstrakt und nur mit Grundrechenarten geht die Geschichte so:

Beim Beschleunigen eines Körpers durch Aufbringen einer (konstanten) Kraft$F$auf Distanz$\Delta s$, gewinnt der Körper Energie entsprechend

$$\Delta E=F\Delta s$$ das ist nur die Definition von (mechanischer) Arbeit.

Nach dem zweiten Newtonschen Gesetz$F=ma$. Wir haben auch$\Delta s \approx v\Delta t$und somit

$$\Delta E\approx mav\Delta t$$ Diese Beziehung ist nur ungefähr, weil während eines endlichen Zeitintervalls $\Delta t$, der Wert $v$Änderungen, da der ganze Sinn der Übung darin bestand, den Körper zu beschleunigen.

Nun, als$a\Delta t=\Delta v$wir haben

$$\Delta E \approx mv\Delta v$$

Aber woher kommt der Faktor$\frac12$Komm herein? Aus Grundrechnung:

$$\Delta(v^2)=(v+\Delta v)^2-v^2=2v\Delta v+(\Delta v)^2\approx 2v\Delta v$$ was nachgibt $$\Delta E\approx\frac12m\Delta(v^2)=\Delta(\frac12 mv^2)$$ und somit $$E\approx\frac12 mv^2 + \mathrm{const}$$ Wenn wir von endlichen zu infinitesimalen Zeitintervallen gehen, werden die Gleichungen exakt und wir brauchen nicht mehr von einer konstanten Kraft auszugehen.

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Eine kurze Einführung in die Differentialrechnung in Bezug auf dieses spezielle Beispiel:

Zum Zeitpunkt$t = t_0$Der Körper hat eine Geschwindigkeit$v(t_0)=v_0$. Nach einer Weile$\Delta t$, der Körper hat die Geschwindigkeit$v(t_0+\Delta t)=v_0 + \Delta v$.

Der Wert von$v^2$zum Zeitpunkt$t=t_0$ist selbstverständlich$v^2(t_0)=v(t_0)^2=v_0{}^2$. Was ist der Wert von$v^2$zum Zeitpunkt$t=t_0+\Delta t$?

$$v^2(t_0 + \Delta t)=v(t_0+\Delta t)^2 = (v_0+\Delta v)^2$$ Andererseits haben wir auch $$v^2(t_0 + \Delta t) = v^2(t_0) + \Delta(v^2) = v_0{}^2 + \Delta(v^2)$$ und somit $$\begin{align*} \Delta(v^2) &= (v_0 + \Delta v)^2 -v_0^2 \\ &= v_0^2 + 2v_0\Delta v + (\Delta v)^2 - v_0{}^2 \\ &= 2v_0\Delta v + (\Delta v)^2 \end{align*}$$ Uns interessieren die Momentanwerte , also die Änderung, wenn wir den Grenzwert nehmen $\Delta t \rightarrow 0$. Das bedeutet, dass $\Delta v$wird auch beliebig klein und wir können insbesondere höhere Potenzen wie ignorieren $(\Delta v)^2$und bekomme $$\Delta(v^2)\approx 2v_0\Delta v$$ oder $$\frac{\Delta(v^2)}{\Delta v}\approx 2v_0$$ Dieses Verfahren ist so nützlich, dass es einen eigenen Formalismus und eine eigene symbolische Notation bekommen hat $$\frac{\mathrm{d}(v^2)}{\mathrm{d}v}=2v$$ nach dem Nehmen der Grenze $\Delta v\rightarrow 0$.

Sie brauchen also eine einfache Antwort... Betrachten wir einen Massenkörper$m$im Ruhezustand. Anfangsgeschwindigkeit$u=0$. Nun bewegt sich der Körper mit einer Geschwindigkeit$v$.

Kraft auf den beschleunigenden Körper ist$F=ma$,

$$\implies F=m\frac{dv}{dt}$$

Die geringe Menge an Arbeit, die beim Bewegen des Körpers über eine kurze Distanz verrichtet wird$ds$ist

$$dw=F.ds$$ $$dw=m\frac{ds}{dt}dv=mvdv$$ Daraus ergibt sich die gesamte geleistete Arbeit beim Beschleunigen des Körpers aus $0$zu $v$ist $$W=\int_0^v dw=\int_0^v mvdv$$ $$\implies W={mv^2 \over 2}$$ Diese geleistete Arbeit wird als kinetische Energie des sich bewegenden Körpers gespeichert ... $K.E=\frac{1}{2}mv^2$

Bei dieser Methode kommt die Hälfte durch Integration. Es gibt keine einfachere Erklärung als diese, denke ich ... Aber die eigentliche Herleitung liefert Wikipedia

Wenn Sie sich mehr mit Physik befassen, werden Sie feststellen, dass ein Faktor von der Hälfte oft mit quadrierten Größen einhergeht. Zum Beispiel:

$\frac{1}{2}mv^2$

$\frac{1}{2}CV^2$

$\frac{1}{2}LI^2$

Dies sind kinetische Energie, Kondensatorenergie bzw. Induktorenergie.

Wenn Sie sich mit auf Kalkülen basierender Physik beschäftigt haben, wissen Sie, dass die zeitliche Änderungsrate der kinetischen Energie Leistung ist und dass Leistung das Produkt aus Kraft und Geschwindigkeit ist.

$\frac{d}{dt}KE = f \cdot v = ma \cdot v = m \frac{dv}{dt} \cdot v$

Integration beider Seiten bzgl$t$Erträge:

$KE = \int mv\ \frac{dv}{dt}dt = \int mv\ dv = \frac{1}{2}mv^2$

Wenn Sie mit Analysis noch nicht vertraut sind, wird das Obige nicht viel Sinn machen, aber wenn Sie damit vertrauter werden, werden Sie erkennen, dass der Faktor von 1/2 oft aufgrund einer Integration entsteht.

Hier ist eine kleine Reihe von Argumenten, die keine ABLEITUNG ist, aber Ihnen hoffentlich ein intuitives Bild zwischen dem Faktor 2 und der Definition verschiedener Energien in der Physik vermittelt.

Wie Sie wissen, bleibt Energie erhalten, wenn also der Planet die Sonne umkreist, wird seine potenzielle Energie ständig in kinetische Energie umgewandelt und umgekehrt.

Unsere Frage ist, wie mechanische Energie durch den Begriff der Geschwindigkeit dargestellt werden kann.

Nehmen wir folgendes Beispiel an: Wir lösen einen Prüfkörper aus der Höhe H und lassen ihn frei auf den Boden fallen.

Am Anfang hat der Körper die potentielle Energie$E=m g H$, wissen wir, dass der Körper beim Aufprall auf den Boden eine potentielle Energie von 0 hat (da$H=0$) und es bedeutet, dass seine gesamte anfängliche potentielle Energie in kinetische Energie umgewandelt wird.

Also haben wir$K= E=m g H$.

Jetzt müssen wir diese Energie nur noch durch die Geschwindigkeit darstellen. Wir können es tun, indem wir das für einen frei fallenden Körper bemerken$v=g t$dann$t=\sqrt{\frac{2 H}{g}}$seit$H=\frac{g t^2}{2}$und schlussendlich$g H=\frac{v^2}{2}$.

Also für die Anfangsenergie haben wir$E=K= mgH= m \frac{v^2}{2}$

Hier stammt der Faktor 2 aus der Definition der Strecke, die der Körper bei konstanter Beschleunigung von g zurücklegt.

Hoffe, es hilft Ihrer Intuition.

Obwohl ich den vielen Antworten hier bezüglich des Ursprungs zustimme$\frac{1}{2}$Faktor, gibt es einen wichtigen Punkt, der noch nicht angesprochen wurde.

Tatsache ist, dass der Faktor 1/2 nur wegen des Einheitensystems zur Messung der Masse vorhanden ist. Wir könnten unser Einheitensystem leicht so ändern, dass die kinetische Energie gerecht wird$mv^2$.

Tatsächlich ist es ein wichtiger und nützlicher Trick, sich mit dem Wechsel von einem Einheitensystem zu einem anderen vertraut zu machen. Dies wird zum Beispiel häufig gemacht, um ein Einheitensystem zu haben, in dem die Lichtgeschwindigkeit als gleich 1 definiert ist, was schön ist, weil es bedeutet, dass Sie nicht schreiben müssen$c$überall.