Woher kommt die kinetische Energieformel? [Duplikat]

Ich nehme an, Sie meinen mit "Gleichung der kinetischen Energie" die Definition

$$KE = \frac{1}{2} mv^2$$

Dies ergibt sich in der Tat aus dem Arbeits-Energie-Theorem, das besagt, dass das Netzwerk Arbeit an einem Masseobjekt verrichtet$m$über ein gewisses Zeitintervall ist gegeben durch

$$W_{net}=\frac{1}{2}mv_f^2- \frac{1}{2} mv_i^2$$

Wenn wir uns diese Gleichung ansehen, bemerken wir einfach, dass die Menge$\frac{1}{2} mv^2$scheint nützlich zu sein, also geben wir ihr einen Namen – kinetische Energie – und formulieren dann das Arbeitsenergie-Theorem als

$$W_{net} = \Delta(KE)= KE_f - KE_i$$

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Die zwischenzeitlich an einem Objekt durchgeführte Netzarbeit$t_i$Und$t_f$Ist

$$W_{net} = \int_{t_i}^{t_f} \mathbf F_{net}(t) \cdot \mathbf v(t) \ dt$$ Das sagt uns das zweite Newtonsche Gesetz$\mathbf F_{net} = m\mathbf a$, und so

$$W_{net} = \int_{t_i}^{t_f} \bigg(m \mathbf a(t) \cdot \mathbf v(t)\bigg) dt$$

Jedoch,$\mathbf a(t) = \mathbf v'(t)$, So

$$\mathbf a \cdot \mathbf v = \mathbf v' \cdot \mathbf v = \frac{1}{2} \frac{d}{dt}(\mathbf v \cdot \mathbf v) = \frac{d}{dt}\bigg(\frac{1}{2} v^2\bigg)$$ und so endlich

$$W_{net} = \int_{t_i}^{t_f} \frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2} m v^2\right) dt = \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mv_i^2$$

OK, Herleitung des Arbeits-Energie-Theorems aus F=ma

Die Qualifikation „Theorem“ ist in der Tat angemessen.
Wenn wir Newtons zweites Gesetz als Axiom akzeptieren und als Axiom akzeptieren, dass der Raum euklidisch ist, dann folgt logischerweise das Arbeits-Energie-Theorem.

Zunächst zwei kinematische Standardbeziehungen, gültig für den Fall gleichförmiger Beschleunigung. Die Ableitung nutzt diese Beziehungen:

Geschwindigkeitsänderung als Funktion der Zeit:

$$v = v_0 + at \qquad (1)$$

Positionsänderung als Funktion der Zeit:

$$s = s_0 + v_0t + \tfrac{1}{2}at^2 \qquad (2)$$

Mit dem Obigen können wir einen Ausdruck erhalten, der sich nur auf zeitliche Ableitungen bezieht.

(1) kann in Form von (3) umformuliert werden, und dann ersetzen Sie die$t$in (2) mit dem Ausdruck für$t$ab (3)

$$t = (v - v_0)/a \qquad (3)$$

Es sieht haarig aus, aber es stellt sich heraus, dass viele Begriffe gegeneinander abfallen.
Am Ende kommt man auf diese Formel:

$$a(s - s_0) = \tfrac{1}{2}v^2 - \tfrac{1}{2}v_0^2 \qquad (4)$$

Der obige Ausdruck ist auch als Torricelli-Formel bekannt

Das Obige ist noch keine Physik; es ist immer noch nur eine kinematische Beziehung.

Durch Kombination von (4) und F=ma erhalten wir eine Dynamikaussage .

$$F \Delta s = \tfrac{1}{2}mv^2 - \tfrac{1}{2}mv_0^2$$

Zur Erinnerung: Die Einheit der Kraft heißt „Newton“ . Die Dimensionen sind:

$${\displaystyle 1\ {\text{N}}=1\ {\frac {{\text{kg}}\cdot {\text{m}}}{{\text{s}}^{2}}}.}$$

Allgemeine Diskussion

Andere Antworten auf diese Frage gehen nach folgender Strategie vor: Definieren Sie ein Konzept namens „work done“ und zeigen Sie dann, dass dies einen Ausdruck impliziert$\tfrac{1}{2}mv^2$, kann dieser Ausdruck dann als „kinetische Energie“ definiert werden.

In der Dynamik sind wir es gewohnt, in Begriffen der Akkumulation über die Zeit zu denken . Eine Bewegungsgleichung ist eine Funktion der Zeit ; Die zukünftige Position wird als Funktion der Zeit berechnet

Das Arbeits-Energie-Theorem passt nicht in diese Form. Das Arbeits-Energie-Theorem beschreibt die Akkumulation über die Entfernung .

In der Geschichte der Physik wurde der Arbeits-Energie-Satz erst spät erkannt. Ich denke, es wurde erstmals um 1800 oder so erwähnt.

Verallgemeinerung

Die Verwendung von (4) ist natürlich kein allgemeiner Weg zur Ableitung des Arbeits-Energie-Theorems. Die verwendeten kinematischen Beziehungen gelten für eine gleichmäßige Beschleunigung.

Eine genauere Betrachtung:
(1) und (2) sind eng verwandt: Differenziert man (2), erhält man (1). Wie wir wissen, sind Differenzierung und Integration im Wesentlichen umgekehrte Operationen zueinander. (4) ist als Ergebnis der Integration zu sehen.

Die Verallgemeinerung auf den allgemeineren Fall (Beschleunigung ist eine Funktion von etwas anderem) ist einfach.

Die in dieser Antwort vorgestellte Ableitung ist nicht so allgemein wie sie sein kann. Ich habe mich entschieden, diese Herleitung vorzustellen, um zu betonen: Der Arbeits-Energie-Satz folgt direkt aus F = ma.

Für die klassische Mechanik die kinetische Energie$T$ist definiert als${1 \over 2} m v^2$.

${d \over {dt}} ({1 \over 2} m v^2) = \vec F \cdot \vec v$. So$T_2 - T_1 = {1 \over 2}mv_2^2 - {1 \over 2}mv_1^2 = \int_{t_1}^{t_2} \vec F \cdot \vec v \enspace dt$. Seit$\vec v \enspace dt = d \vec r$,$T_2 - T_1 = \int_{r_1}^{r_2} \vec F \cdot d \vec r$, das ist die Arbeit, die mit Gewalt verrichtet wird$\vec F$zwischen$r_1$Und$r_2$.

Siehe einen klassischen Physik-Mechanik-Text, wie z. B. Mechanics von Symon.

Die 1/2 ist Definitionssache. Wenn wir es in eine andere einheitslose Zahl ändern würden, müssten sich auch andere Gleichungen ändern, zB das zweite Newtonsche Gesetz.

Die Verhältnismäßigkeit zu$m$ist keine willkürliche Definition. Wir wollen eine konservierte Menge, und Erhaltungsgesetze sind additiv. Hätten wir genutzt$m^2$oder so, dann hätten wir keine zusätzliche Menge gehabt.

Die Abhängigkeit von$v^2$ist keine willkürliche Definition, und tatsächlich ist sie nicht einmal richtig. Es ist nur der niedrigste nicht verschwindende Term in der Taylor-Reihe des relativistischen Ausdrucks.

Die Newtonschen Gesetze sind logisch äquivalent zur Erhaltung von Energie und Impuls. Wenn Sie von einem der beiden ausgehen, können Sie das andere ableiten. Jedes Experiment, das das eine feststellt, ist auch ein Experiment, das das andere feststellt. Jedes Experiment, das das eine widerlegt, wie etwa Experimente, die relativistische Effekte zeigen, widerlegt das andere.

Die von einer Kraft verrichtete Arbeit ist$\Delta W = \int_{x_1}^{x_2} \mathbf{F.dx}$. Wenn$\mathbf F$die Resultierende der Kräfte in einem Körper ist, gilt der zweite Hauptsatz:$\mathbf F = m\mathbf a$.

So,

$$\Delta W = \int_{x_1}^{x_2} m\mathbf {a.dx} = m\int_{x_1}^{x_2} \frac{\mathbf {dv}}{dt}\mathbf {.dx}$$

Als$\mathbf x$ist eine Funktion von t,

$$\mathbf {dx} = \frac{\mathbf {dx}}{dt}dt$$

$$\Delta W = m\int_{t_1}^{t_2} \frac{\mathbf {dv}}{dt}\frac{\mathbf {dx}}{dt}dt$$

Durch partielle Integration erhalten wir 2 identische Integrale:

$$\Delta W = m\int_{t_1}^{t_2} \frac{\mathbf {dv}}{dt}\frac{\mathbf {dx}}{dt}dt = m\left [\frac{\mathbf {dx}}{dt}\frac{\mathbf {dx}}{dt}\right]_{t_1}^{t_2} - m\int_{t_1}^{t_2} \frac{\mathbf {dv}}{dt}\frac{\mathbf {dx}}{dt}dt$$

Und schlussendlich:

$$\Delta W = \frac{1}{2}mv_ 2^2 - \frac{1}{2}mv_ 1^2$$

Die Formel für die kinetische Energie wird von der Formel für die geleistete Arbeit abgeleitet, aber die Formel für die geleistete Arbeit wird nicht weiter von irgendwelchen fundamentaleren zugrunde liegenden Formeln abgeleitet. Es stammt aus den empirischen Ergebnissen eines Experiments aus dem 18. Jahrhundert. Das Experiment bestand im Wesentlichen darin, Bälle auf weichen Ton fallen zu lassen und die Entfernung zu messen, aus der sie fallen gelassen wurden, sowie den Aufprall. Das Experiment ergab, dass der Aufprall proportional zur Entfernung war. Also kamen sie auf die Formel,$W=Fd$. Wenn Sie dann die Formel für kinetische Energie erhalten möchten, müssen Sie die Formel für kombinieren$W$mit Newtons zweitem Gesetz dh$F=ma$und Kinematik. Die genaue Herleitung lautet wie folgt:

$$W = Fd$$ $$F=ma=m\cdot\frac{v-u}{t}$$

Wenn Sie das F in der ersten Gleichung durch den Wert für die zweite Gleichung ersetzen und die KE (kinetische Energie) als die Energieänderung betrachten, dh die Arbeit, die an einem Objekt verrichtet wird, um seine Geschwindigkeit von einer Anfangsgeschwindigkeit zu erreichen$u$von 0 erhalten Sie:

$$K.E. = m\cdot\frac{v-u}{t} \cdot d = m\cdot\frac{v-u}{t} \cdot \frac{v+u}{2} \cdot t = \frac{1}{2}mv^2$$

Und so erhält man die Formel für kinetische Energie

Als Referenz: https://en.wikipedia.org/wiki/%C3%89milie_du_Ch%C3%A2telet#Advocacy_of_kinetic_energy