Warum gibt es 1212\frac 1 2 in 12mv212mv2\frac 1 2 mv^2?

Der Faktor 1/2 wird aus der Galileischen Invarianz benötigt, damit sich die Energie ohne Faktor mit dem Impuls vermischt. Dies wurde vor der Relativitätstheorie verstanden, aber es ist vor der Relativitätstheorie weitgehend konventionell, da Sie die Energie mit dem Impuls vermischen könnten, indem Sie einen Koeffizienten verwenden. Sobald Sie die Relativitätstheorie haben, ist die 1/2 nicht mehr optional.

Ich beginne mit der Relativitätstheorie. Die Formel für kinetische Energie ist die zusätzliche Energie in einem sich bewegenden Teilchen

$${m\over \sqrt{1-v^2}} = m + {mv^2\over 2} + \cdots$$

in Einheiten mit c=1. Die eine Hälfte stammt aus der Erweiterung der geometrischen Quadratwurzel, und die Quadratwurzelform im Nenner ist eindeutig und natürlich festgelegt, indem gefordert wird, dass Energie und Impuls zu einem Vierervektor zusammenpassen. Dies ist die einzige natürliche Definition in der Relativitätstheorie, und sie wird durch die Geometrie gerechtfertigt.

In der Newtonschen Mechanik transformieren sich Energie und Impuls zusammen nach einem Galileischen Schub. Wenn Sie ein geschlossenes System mit Momenta haben$p_i$die sich zu Null aufsummieren (Schwerpunktrahmen), die Änderung der kinetischen Energie nach einem Schub, der sich verschiebt$p_i\rightarrow p_i - m_i v$ist

$$\sum_i {p_i^2\over 2m_i} \rightarrow \sum_i m_i~(v_i - v)^2 = \sum_i {p_i^2\over 2m_i} - \sum_i p_i \cdot v + \sum_i m_i {v^2\over 2}$$

Die Änderung besteht aus zwei Teilen,

$$(\sum_i p_i) \cdot v$$

Dies ist das Mischen von Energie und Impuls, und dieser Teil ist der Gesamtimpulspunkt der Geschwindigkeit, und er ist Null, wenn Sie im CM-Frame beginnen. Der andere Teil ist:

$$(\sum_i m_i ) {v^2\over 2}$$

Dieser Teil ist die Gesamtmasse multipliziert mit dem halben Quadrat der Geschwindigkeit oder der gesamten kinetischen Energie, die dem Objekt durch Auftrieb hinzugefügt wird. Sie sehen, dass Sie die richtige Antwort erhalten, die Gesamtmasse multipliziert mit der Geschwindigkeit des Massenmittelpunkts, jetzt, wo sich der Massenmittelpunkt bewegt. Wenn sich das Objekt bereits bewegt hat, ist es nicht trivial sicherzustellen, dass Sie die richtige Antwort erhalten – die neue Schwerpunktsgeschwindigkeit im Quadrat mal die Gesamtmasse im Quadrat – für die neue Energie.

Diese Anforderung, dass die Energie unter Galilei-Boosts konsistent ist, ist das, was mit dem Mischen von Impuls und Energie gemeint ist. Am einfachsten ist es, wenn man den Koeffizienten 1/2 nimmt, schließlich ist dies die natürliche nichtrelativistische Grenze der Relativitätstheorie. Sie hätten einen Faktor von 2 im p-Mischterm, wenn Sie den Koeffizienten 1/2 nicht nehmen würden. Es ist tatsächlich ein Beweis für die Einsicht der Physiker des 19. Jahrhunderts, dass sie die natürlichste Konvention annahmen, bevor die Relativitätstheorie entdeckt wurde.

Die Hälfte der nichtrelativistischen kinetischen Energie lässt sich auf das Arbeits-Energie-Theorem zurückführen$^1$.

Wenn man nur daran interessiert ist, ein elastisches Stoßproblem für ein isoliertes System von Punktteilchen unter Verwendung von Impuls- und Bewegungsenergieerhaltung zu lösen, schadet es natürlich nicht, die Energieerhaltungsgleichung mit einem Faktor 2 auf beiden Seiten der Gleichung zu multiplizieren.

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$^1$Hier gehen wir davon aus, dass die Standardformeln für die Arbeit$W=\int {\bf F}\cdot d{\bf r}$, Newtons 2. Gesetz${\bf F}=m{\bf a}$, Beschleunigung${\bf a}=\dot{\bf v}$, Geschwindigkeit${\bf v}=\dot{\bf r}$usw. gelten ohne unkonventionelle Normalisierungsfaktoren.

Der Grund liegt im Arbeit-Energie-Theorem, das besagt, dass, wenn eine Kraft über eine Entfernung auf ein Objekt ausgeübt wird, das Integral der Kraft über die Entfernung oder die auf das Objekt ausgeübte Arbeit gleich der Änderung der sein muss kinetische Energie, da die durch Arbeit übertragene Energie erhalten bleiben muss. Also für ein Objekt in Ruhe, wenn eine Kraft$F$wird in einer Dimension über eine Distanz angewendet$x$, seine Änderung der kinetischen Energie ergibt sich aus der am Objekt verrichteten Arbeit:

$$E_k - 0 = \int_{0}^{x} {F \cdot dx}$$ (Wir haben die Änderung der kinetischen Energie dargestellt durch $E_k$als endgültige kinetische Energie und $0$als anfängliche kinetische Energie.) Wenn wir das Integral mit manipulieren $F = ma$, es wird $$E_k = \int_{0}^{x} {ma \cdot dx}$$ Wir können multiplizieren mit $\frac{dt}{dt}$im Integral, und es wird $$E_k = \int_{0}^{x} {ma \hspace{2pt} dt \cdot \frac{dx}{dt}}$$ Da wir das wissen $v = \frac{dx}{dt}$, und das $a = \frac{dv}{dt}$, $a \hspace{2pt} dt$wird $dv$, und $\frac{dx}{dt}$wird $v$. Damit wird das Integral zu: $$E_k = \int_{0}^{v} {mv \cdot dv}$$ Wir integrieren nun aus $0$zu $v$weil wir das Integral in ein Integral über Position in ein Integral über Geschwindigkeit umgewandelt haben. Da integriert man eine lineare Funktion $kx$in Gedenken an $x$gibt $\frac{1}{2} kx^2$, wird der Ausdruck zu: $$E_k = \frac{1}{2} mv^2$$

Im Grunde ist also das Arbeits-Energie-Theorem sowie die Manipulation des Integrals der Grund für die$\frac{1}{2}$in$\frac{1}{2} mv^2$.

Beachten Sie dies zusätzlich zu den anderen Antworten$E = \frac 1 2 m v^2$ist eine quadratische Form.

Quadratische Formen entstehen immer dann, wenn man an integriert$f(x) = k\cdot x$Funktion.

Beispiele:

$$E_{kin} = \int m v\; \mathrm d v = \tfrac 1 2 m v ^ 2 \\ A_\circ = \int \tau r \; \mathrm d r = \tfrac 1 2 \tau r^2 \quad \tau = 2\pi \\ E_{spring} = \int k x \;\mathrm d x = \tfrac 1 2 k x^2 \\ v = \int a t \;\mathrm d t = \tfrac 1 2 a t^2$$

In der speziellen Relativitätstheorie ist die additive Gruppe der Geschwindigkeit nicht die Realzahlen, daher erhalten Sie ein anderes Ergebnis dieser Integration.

Kinetische Energie ($\mathrm{KE}$) entspricht der geleisteten Arbeit,$\mathrm{KE} = W$, und Arbeit ist gleich Kraft ($F$) angewendet auf einen Körper multipliziert mit dem Abstand ($d$) es reist, oder$W = Fd$. Seit$F = ma$, die frühere Gleichung ergibt$W = mad$.

Unter der Voraussetzung, dass die Beschleunigung gleichmäßig ist und die Anfangsgeschwindigkeit Null ist, nehmen wir an, es gibt einen Graphen mit der Geschwindigkeit$v$auf der$y$-Achse und Zeit ($t$) auf der$x$-Achse. Außerdem gibt es eine Linie, die durch den Ursprung geht und eine Steigung hat, die gleich der Beschleunigung des Körpers ist. Für ein bestimmtes Zeitintervall ist die vom Körper zurückgelegte Strecke gleich der Fläche unter der Linie und das heißt$d = vt/2$. Wenn wir ersetzen$d$hinein$W = mad$wir bekommen$W = mavt/2$(beachten Sie, wie die Hälfte erschienen ist). Die Gleichung wird$W = matv/2$aber seit$at = v$wir bekommen

$$W = \mathrm{KE} = \frac{1}{2} mv^2.$$

Siehe das folgende Diagramm, in dem die Geradengleichung (dh eine lineare Funktion) eine Steigung hat, die der Beschleunigung eines Körpers entspricht. Erinnern Sie sich an die y-Abschnittsform der Gleichung für eine Gerade oder$y = mx + b$, wo$m$steht für Steigung und$b$stellt den y-Achsenabschnitt oder die Anfangsgeschwindigkeit dar. Beachten Sie auch die Form des Bereichs$d$ist die eines rechtwinkligen Dreiecks. Das heisst,

$$v = at$$

Kinetische Energie isoliert die Energie, die direkt mit der Vektorbewegung eines bestimmten Objekts verbunden ist, und schließt den Ausgleichsimpuls zu anderen Objekten aus, der notwendigerweise in der entgegengesetzten Richtung vorhanden sein muss, um das dritte Newtonsche Gesetz zu erfüllen.

Die Summe aller kinetischen Energie, die über alle Objekte hinweg erzeugt wird, entspricht der so aufgebrachten Energiemenge, aber da jedes einzelne Objekt (sehr locker verwendet) nur die Hälfte der Energie "besitzen" kann, die mit seinem insgesamt größeren Impuls verbunden ist, neutral Bewegung, das ist also auch alles, was er übertragen kann, indem er bei einem Stoß seinen eigenen Impuls weitergibt.

Andere Energieformen erfassen die gesamte Energie, die erforderlich ist, um Bewegung auf impulsneutrale Weise zu erzeugen. Bemerkenswerterweise umfasst die potenzielle Energie der Gravitation sowohl die Bewegung, die damit verbunden ist, dass ein Objekt auf die Erde fällt, als auch die viel kleinere, aber immer noch impulsgleiche Bewegung der Erde, die aufsteigt, um das Objekt zu treffen. Daher die Existenz der Halbkonvention. Verwandte: Schwerkraft und KE

Aus dem gleichen Grund, warum die Entfernung die Hälfte der Beschleunigung ist, habe ich meine eigenen Möglichkeiten, die Frage zu beantworten, da ich kein Kalkül kenne. Wie auch immer

$w = mda$, vorausgesetzt, Sie kennen Entfernung und Beschleunigung (vorerst)

$d = \frac{1}{2}at^2$

$\frac{2d}{a}= t^2$

$\sqrt{\frac{2d}{a}}= t$

Multipliziert man die Zeit t mit der Beschleunigung a, erhält man die Geschwindigkeit

$v = \sqrt{\frac{2d}{a}}a$

$v = \frac{\sqrt{{2d}}}{\sqrt{a}} a$

$v = \sqrt{2d}\sqrt{a}$

$v = \sqrt{2da}$und da ist Arbeit über Masse also

$v = \sqrt{\frac{2w}{m}}$

$v^2 =\frac{2w}{m}$

$mv^2 =2w$

$w = \frac{1}{2}mv^2$

In der klassischen Physik:

$$\begin{align*} W&=\int_{\vec s_1}^{\vec s_2}\vec F\cdot d\vec s\\ &=\int_{t_1}^{t_2}m\frac{d\vec v}{dt}\cdot\vec v dt\\ &=m\int_{t_1}^{t_2}\frac12\frac{d}{dt}\left(\vec v\cdot\vec v\right)dt\\ &=\frac12m\int_{t_1}^{t_2}\frac{d}{dt}\left(||\vec v||^2\right)dt\\ &=\frac12m||\vec v(t_2)||^2-\frac12m||\vec v(t_1)||^2\\ \end{align*}$$ $$\frac{d}{dt}\left(\vec v\cdot\vec v\right)=\frac{d\vec v}{dt}\cdot\vec v+\vec v\cdot\frac{d\vec v}{dt}=2\frac{d\vec v}{dt}\cdot\vec v$$