Warum ist die Rotationsperiode für zwei Sterne gleich, die denselben Mittelpunkt umkreisen?

Der Massenmittelpunkt des binären Systems kann sich nicht bewegen, da keine äußeren Kräfte wirken.

Die Verbindungslinie zwischen den beiden Sternen muss immer durch den Massenschwerpunkt verlaufen, da der Massenschwerpunkt per Definition auf der Linie zwischen den beiden Sternen liegt.

Das bedeutet, dass die beiden Sterne mit der gleichen Periode umkreisen müssen. Wenn ihre Perioden nicht gleich wären, könnten sie nicht auf gegenüberliegenden Seiten der COM bleiben.

Keplers drittes Gesetz ist hier irrelevant. Es gilt für viele (kleine) Planeten, die einen (großen) Zentralstern umkreisen, nicht für ein Doppelsternsystem.

Wenn die Sterne Masse haben$m_1$und$m_2$und die Radien von der COM sind$r_1$und$r_2$, dann aus der Definition des COM,$m_1r_1 = m_2r_2$.

Die (Gravitations-)Zentralkraft$F$Die Wirkung auf jeden Stern ist gleich, aber die Zentralbeschleunigungen sind unterschiedlich, weil die Massen unterschiedlich sind. Wenn die Radialbeschleunigungen sind$a_1$und$a_2$, dann$a_1 = F/m_1$und$a_2 = F/m_2$.

Wenn die Winkelgeschwindigkeiten sind$\omega_1$und$\omega_2$, für Kreisbahnen haben wir$a_1 = r_1 \omega_1^2$und$a_2 = r_2 \omega_2^2$.

So$\omega_1^2 = a_1/r_1 = F/(m_1r_1)$und$\omega_2^2 = F/(m_2r_2)$.

Seit$m_1r_1 = m_2r_2$, wir haben$\omega_1 = \omega_2$.

Beachten Sie, dass wir Newtons umgekehrtes quadratisches Gravitationsgesetz nicht verwenden mussten, das durch Keplers drittes Gesetz impliziert wird. Wir brauchten nur das dritte Newtonsche Gesetz - dh da die beiden Sterne ein geschlossenes System bilden, sind die inneren Kräfte auf die Sterne gleich und entgegengesetzt.

Sie kombinieren zwei Fragen, ich kombiniere zwei Antworten.

Das von Ihnen beschriebene System besteht aus zwei Punkten mit Massen. Wir wissen das:

• Alle zwei Punkte$A$und$B$auf einer einzigen Linie liegen;
• Wenn die Linie um die Achse gedreht wird, die sie schneidet, haben alle Punkte der Linie die gleiche Winkelgeschwindigkeit$\omega$, mit Ausnahme der Kreuzung mit$\omega_0=0$;
• Schwerpunkt$C$von zwei Punkten liegt zwischen ihnen, also sind sie kollinear.

Wenn sich also die Sterne in eine beliebige Richtung bewegen, sind ihre Winkelgeschwindigkeiten, gemessen an ihrem Massenschwerpunkt, gleich, egal wie und warum sie sich bewegen.

Das Keplersche Gesetz wurde für ein binäres System abgeleitet, in dem ein Planet mit vernachlässigbarer Masse um seinen Stern kreist und dieser Stern der Massenmittelpunkt dieses Systems ist und dazu dient, Perioden zweier Planeten mit unterschiedlichen Abständen von ihrem Stern zu vergleichen.