Testen der zweiten Art von Gleichungen der Lagrange-Mechanik

Ich bin neu in der klassischen Mechanik und habe eine neue coole Sache gelernt, Gleichungen des zweiten Typs der Lagrange-Mechanik. Also, ich habe nur getestet, ob es wirklich funktioniert oder nicht. Also habe ich selbst eine Frage gestellt, um es zu testen, aber ich denke, dass ich hier ein Problem habe.

Nehmen Sie zunächst an, dass$x$Koordinate der Massekugel$m$. Zunächst ist es bei$x=0$, unter dem Einfluss der Schwerkraft sollte es fallen (vorausgesetzt, der Aufbau ist so, dass die Schwerkraft von unten wirkt.)

Die coole Gleichung sagt also:

$$\displaystyle{\boxed{\boxed{ \dfrac{d}{dt} \left ( \dfrac{\partial L}{\partial {x'} } \right) - \dfrac{\partial L}{\partial x} = 0 }} \quad \dots \quad (*)}$$ Wo,$L = K.E. - P.E. = ( mg \sin \theta x) - (mg \sin \theta h)\quad \dots \quad (1)$

Die Verwendung der Euler-Lagrange-Gleichung (*) mit der Lagrange-Funktion (1) gibt mir jedoch keine vernünftige Antwort, daher lautet meine Frage, wo ist mein Fehler?

Also habe ich KE hier berechnet als:$K = \frac 1 2 m v^2 = \frac 1 2 m (2(g \sin \theta) x) \quad \dots \quad (\text{As }v^2 = u^2 + 2as)$

Und$P = mgh = mg\sin \theta(h - x )$

Das Problem könnte mit der Verwendung zu tun haben$v^2=2as$in der kinetischen Energie (wie in den Kommentaren vorgeschlagen), aber ich verstehe nicht, warum dies unangemessen ist.

Also, warum kann ich die Geschwindigkeitsgleichungen in dieser Lagrange-Gleichung (dieser Teil der kinetischen Energie) nicht ersetzen?