Problem in Euler-Lagrange impliziert Newton

Question

Problem in Euler-Lagrange impliziert Newton

Med Saad Alami

Ich studiere Mechanik im Selbststudium und habe ein kleines Problem:

Wir können das in Landaus Buch oder in Wikipedia sehen, wenn wir den Lagrange-Term in die Euler-Lagrange-Gleichung einfügen $\frac{\partial v²}{\partial q}$ verschwinden. Also bekommen wir $\frac{\partial L}{\partial q}= - \frac{\partial U}{\partial q}$

hier mehr Details:

Wir wollen beweisen, dass die Euler-Lagrange-Gleichung das Newtonsche Gesetz impliziert:

Die Euler-Lagrange-Gleichung besagt das $\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}} = \frac{\partial L}{\partial q}$

Und $L= T-V(q)= \frac{1}{2}mv² - V(q)$

Aber wenn wir L in die Euler-Lagrange-Gleichung einfügen, erhalten wir

$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}} = m\frac{dv}{dt} - \frac{d}{dt}\frac{\partial V}{\partial \dot{q}}$

Und $\frac{\partial L}{\partial q} = \frac{1}{2}m\frac{\partial v²}{\partial q} + F$

In Landaus Buch die Begriffe $\frac{\partial V}{\partial \dot{q}}$ Und $\frac{1}{2}m\frac{\partial v²}{\partial q}$ Verschwinde ohne Erklärung

Warum verschwinden diese Begriffe?

QMechaniker

Mögliche Duplikate: physical.stackexchange.com/q/885/2451 , Physics.stackexchange.com /q/11497/2451 , Physics.stackexchange.com /q/123167/2451 und Links darin.

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Problem in Euler-Lagrange impliziert Newton

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Jemand · Answer 1

Jemand

Der erste Term verschwindet, weil Sie angenommen haben, dass das Potential unabhängig von ist $\dot{q}=v$ (wie du gesagt hast, $V(q)$ ). Der zweite Term verschwindet, weil Geschwindigkeit und Position unabhängig sind.

Med Saad Alami

Aber nehmen wir zum Beispiel an, wir haben es mit einem einfachen Pendel zu tun. Wenn wir das DE lösen, erhalten wir:

θ = a c o s (w t + φ)

$\theta = acos(wt+\varphi )$ , also können wir eine Funktion f finden, so dass:

t = f (θ)

$t = f(\theta )$ Und

\frac{d θ}{d t} = - a w s i n (w t + φ)

$\frac{d\theta }{dt}= - awsin(wt+\varphi )$ Daher

\dot{θ} = - a w s i n (w f (θ) + φ)

$\dot{\theta}= - awsin(wf(\theta)+\varphi )$ und so werden wir haben

\frac{\partial L}{\partial θ} = \frac{1}{2} m l \frac{\partial \dot{θ ²}}{\partial f} \frac{\partial f}{\partial θ} - m g l s i n (θ)

$\frac{\partial L }{\partial \theta} = \frac{1}{2}ml\frac{\partial \dot{\theta²} }{\partial f}\frac{\partial f}{\partial \theta} -mglsin(\theta)$ . Warum also der Begriff

\frac{1}{2} m l \frac{\partial \dot{θ ²}}{\partial f} \frac{\partial f}{\partial θ}

$\frac{1}{2}ml\frac{\partial \dot{\theta²} }{\partial f}\frac{\partial f}{\partial \theta}$ verschwinden ?

Benutzer12029

@MedSaâdAlami Newtons Gleichungen werden speziell geschrieben als

m \ddot{x} = - U^{'} (x)

$m\ddot{x}=-U'(x)$ , Wo

x

$x$ ist eine Koordinate in Ihrem euklidischen System. Wenn Sie Newtons Gleichungen beweisen wollen, sollten Sie sich besser für das Schreiben entscheiden

L

$L$ zunächst in euklidischen Koordinaten. (Das Pendel fügt daher ein zusätzliches Maß an Komplikation hinzu, da es jetzt eine Zwangskraft gibt, wenn Sie zu den euklidischen Koordinaten zurückkehren!)

Benutzer12029

@MedSaâdAlami, also verschwindet dieser Begriff sicherlich nicht. Aber wenn es verschwinden würde, was würde Ihnen das bringen? (Auch,

θ = a \cos (ω t)

$\theta=a \cos(\omega t)$ löst nicht das einfache Pendelproblem, sondern das einfache harmonische Oszillatorproblem.) Als Referenz denke ich, dass der Beweis der Newtonschen Gesetze aus dem Prinzip der kleinsten Wirkung in L&L als Gleichung 5.3 gegeben ist. Es ist so einfach, weil der erste Schritt darin das Schreiben wäre

L

$L$ im Formular 5.1.

garamc · Answer 2

Die Lagrange-Funktion wird im einfachsten Fall als Funktion von definiert $q$ , $\dot{q}$ Und $t$ : $L(q,\dot{q},t)$ . Diese Notation impliziert das $q$ , $\dot{q}$ Und $t$ sind per Definition unabhängige Variablen. So müssen Sie die partiellen Ableitungen interpretieren $q$ Und $\dot{q}$ , macht es keinen Sinn zu schreiben: $q = f(\dot{q})$ , da beide im Lagrangian als unabhängige Variablen gelten. Es ist also nur eine Funktion von drei Variablen $\frac{\partial L(q,\dot{q},t)}{\partial \dot{q}}$ ist mathematisch genauso wie $\frac{\partial L(x,y,t)}{\partial y}$ wo wir getauscht haben $q$ von $x$ Und $\dot{q}$ von $y$ : Es ist die Ableitung zur zweiten Variablen der Funktion.

Natürlich, wenn Sie das Problem lösen und eine finden $q(t)$ Sie können eine Beziehung für diese Lösung zwischen finden $q$ Und $\dot{q}$ : $q = f(\dot{q})$ , aber das ändert nichts an der Tatsache, dass Sie die Variablen von berücksichtigen sollten $L$ oben als unabhängig bezeichnet, hat diese Lösung nichts mit den unabhängigen Variablen der Lagrangian zu tun.

Also bei Verwendung der Lagrange-Formel:

\frac{D}{D T} \frac{\partial L (Q, \dot{Q}, T)}{\partial \dot{Q}} = \frac{\partial L (Q, \dot{Q}, T)}{\partial Q}

$\frac{d}{dt}\frac{\partial L(q,\dot{q},t)}{\partial \dot{q}} = \frac{\partial L(q,\dot{q},t)}{\partial q}$ Die Idee ist, dass Sie sich nur die partiellen Ableitungen ansehen

q

$q$ Und

\dot{q}

$\dot{q}$ als unabhängige Variablen, wobei mögliche Lösungen, die Sie vielleicht im Sinn haben, vernachlässigt werden. Die Berechnung dieser Ableitungen führt zu neuen Funktionen von

q

$q$ ,

\dot{q}

$\dot{q}$ Und

t

$t$ , fi:

F (q, \dot{q}, t) = \frac{\partial L (q, \dot{q}, t)}{\partial \dot{q}}

$F(q,\dot{q},t) =\frac{\partial L(q,\dot{q},t)}{\partial \dot{q}}$ . Dann musst du eine Gesamtableitung dazu berechnen

t

$t$ von

F

$F$ : Dazu müssen Sie eine mögliche Lösung ersetzen

q (t)

$q(t)$ , dh

F \circ q = F (q (t), \dot{q} (t), t) = G (t)

$F \circ q = F(q(t),\dot{q} (t),t) = G(t)$ , das Ergebnis ist nur eine Funktion von

t

$t$ , nur bei der Berechnung dieser Gesamtableitung können Sie die Abhängigkeit zwischen verwenden

q

$q$ Und

\dot{q}

$\dot{q}$ weil Sie eine mögliche Lösung einfügen müssen.

Alfred Centauri · Answer 3

Warum verschwinden diese Begriffe?

Wenn

L = \frac{M v^{2}}{2} - v (Q) = \frac{M (\dot{Q})^{2}}{2} - v (Q)

$L = \frac{mv^2}{2} - V(q) = \frac{m(\dot q)^2}{2} - V(q)$

Dann

\frac{\partial L}{\partial \dot{Q}} = M \dot{Q}

$\frac{\partial L}{\partial \dot q} = m \dot q$

Warum? Weil $V(q)$ ist eine Funktion von $q$ also die partielle Ableitung von $V$ gegenüber $\dot q$ ist Null.

Ähnlich

\frac{\partial L}{\partial Q} = - \frac{\partial v}{\partial Q}

$\frac{\partial L}{\partial q} = -\frac{\partial V}{\partial q}$

Warum? Weil $\frac{m(\dot q)^2}{2}$ ist eine Funktion von $\dot q$ also die partielle Ableitung von $\frac{m(\dot q)^2}{2}$ gegenüber $q$ ist Null.

Ok, das habe ich verstanden ... aber die Frage ist nicht so einfach, wie Sie denken: Warum $q$ Und $\dot{q}$ muss man selbstständig sein?
@MedSaâdAlami, sie sind nicht unabhängig, aber wie ich geschrieben und betont habe, handelt es sich um partielle Ableitungen.
Wenn sie also nicht unabhängig sind, können wir zum Beispiel schreiben $q=f(\dot{q})$ und wir werden haben $\frac{\partial V(q)}{\partial \dot{q}}= \frac{\partial V(f(\dot{q}))}{\partial q} = \frac{\partial V(f(\dot{q}))}{\partial f} \frac{\partial f}{\partial \dot{q}}$ ... So ? wie schließen? (Ich denke, dass es etwas über Kalkül ist, das ich nicht verstehe)

Problem in Euler-Lagrange impliziert Newton

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