Wie behandle ich die Lagrange-Funktion bei einem starren Körper?

Question

Wie behandle ich die Lagrange-Funktion bei einem starren Körper?

Gennaro Marco Devincenzis

Hier ist Übung 1.11 aus Goldsteins Classical Mechanics 3rd Edition (die erste, nachdem die Lagrange-Funktion im Wesentlichen abgeleitet wurde):

Aufgabe 1.11: Betrachten Sie eine gleichförmige dünne Scheibe, die ohne Schlupf auf einer horizontalen Ebene rollt. Eine horizontale Kraft wird auf die Mitte der Scheibe und in einer Richtung parallel zur Mitte der Scheibe ausgeübt.

Leiten Sie die Lagrange-Gleichungen ab und finden Sie die verallgemeinerte Kraft;

Diskutieren Sie die Bewegung, wenn die Kraft nicht parallel zur Scheibenebene wirkt.

Jetzt ist mir klar, dass der Ansatz, den ich vorschlagen werde, ein bisschen "primitiv" in dem Sinne ist, dass er nicht viel voraussetzt, aber ich wollte die Lagrange-Funktion von "ersten Prinzipien" ableiten (da ich gerade mit Lagrange-Funktionen begonnen habe). .

Die Scheibe besteht aus $N$ Teilchen, so hat es $3N$ Freiheitsgrade. Wir haben offensichtlich mehrere Einschränkungen, die die Bewegung der Scheibe stark einschränken:

Es muss sich bewegen $xy$ Ebene;
Es ist ein starrer Körper;
Es rollt ohne zu rutschen.

Ich möchte den Winkel verwenden $\theta$ mit dem $x$ Achse als meine verallgemeinerte Koordinate (erste Frage: Kann ich das tun? Es sieht so aus, als ob ich aus der Nicht-Schlupf-Bedingung leicht ableiten kann $X_{CM}$ aus $\dot\theta$ und umgekehrt, aber die Bewegungsgleichungen erscheinen irgendwie seltsam, wenn ich das mache). Die kinetische Energie des Systems ist $T=\frac{1}{2}M(\dot X_{CM}^2+\dot\theta^2R^2)=M\dot\theta^2R^2$ wegen des rutschfesten Zustands. Jetzt kann ich Euler-Lagrange-Gleichungen in dieser Form verwenden:

\frac{D}{D T} (\frac{\partial T}{\partial \dot{θ}}) - \frac{\partial T}{\partial θ} - F_{θ} = 0

$\frac{d}{dt}\bigg(\frac{\partial T}{\partial \dot\theta}\bigg)-\frac{\partial T}{\partial \theta}-F_\theta=0$

Wo $F_\theta$ ist die verallgemeinerte Kraft. Hier ist meine Hauptfrage: Wie behandle ich die generalisierte Kraft, wenn ich einen starren Körper habe? Was gebe ich ein $F_\theta$ ? Ich kann die Euler-Lagrange-Gleichungen für jedes Teilchen im Körper schreiben, aber das scheint irgendwie nicht sehr nützlich zu sein. Ich habe darüber nachgedacht, die Kraft auf ein einzelnes Partikel über den Körper zu integrieren, aber irgendetwas fühlt sich irgendwo nicht richtig an. Was vermisse ich?

Valter Moretti

Da Sie Italiener sind, könnten Sie sich meine Vorlesungsunterlagen zur analytischen Mechanik für Studenten ansehen (ich sollte sie ins Englische übersetzen, aber ich habe keine Freizeit) ... science.unitn.it/~moretti/dispense.html Sie könnten sie herunterladen die erste "Dispense", die Sie auf dieser Seite finden. Ich denke, Sie sollten sich für Kapitel 8 interessieren, insbesondere für Abschnitt 8.3.

Gennaro Marco Devincenzis

Super Valter, danke! Ich schau es mir mal an! :) (und es ist auch eine großartige Ressource für den Rest des Kurses!)

Antworten (3)

Wie behandle ich die Lagrange-Funktion bei einem starren Körper?

Da Sie Italiener sind, könnten Sie sich meine Vorlesungsunterlagen zur analytischen Mechanik für Studenten ansehen (ich sollte sie ins Englische übersetzen, aber ich habe keine Freizeit) ... science.unitn.it/~moretti/dispense.html Sie könnten sie herunterladen die erste "Dispense", die Sie auf dieser Seite finden. Ich denke, Sie sollten sich für Kapitel 8 interessieren, insbesondere für Abschnitt 8.3.
Super Valter, danke! Ich schau es mir mal an! :) (und es ist auch eine großartige Ressource für den Rest des Kurses!)

pppqqq · Answer 1

Da Sie die Lagrangefunktion aus Grundprinzipien ableiten möchten, lohnt es sich, einige Worte über das Prinzip virtueller Werke zu verlieren und wie sich daraus die Lagrangefunktionsgleichungen ergeben.

Der springende Punkt dabei ist, dass der schlupffreie Abrollzustand garantiert, dass die Zwangskräfte keine Arbeit verrichten , da der Bodenkontaktpunkt immer in Ruhe ist. Das D'Alèmbert-Prinzip ist also erfüllt. Daher gelten die verallgemeinerten Gleichungen von Lagrange:

\frac{D}{D T} \frac{\partial T}{\partial {\dot{Q}}^{ich}} - \frac{\partial T}{\partial Q^{ich}} = Q_{ich}

$\frac{\text d}{\text d t}\frac{\partial T}{\partial \dot q ^i}-\frac{\partial T}{\partial q^i}=Q_i$ halten, wo die

Q_{i}

$Q_i$ s sind bestimmte Funktionen, die nur von äußeren Kräften abhängen. Ich denke, dass Sie sich dessen bewusst sind.

Finden Sie nun die verallgemeinerten Koordinaten $q^i$ und die damit verbundenen verallgemeinerten Kräfte $Q_i$ ist Teil der Modellierung des Problems. In unserem Fall lassen wir nur Verschiebungen in einer Dimension zu und der rutschfeste Zustand garantiert, dass der "Winkel" $-\infty < \theta< +\infty$ , oder die Position des Massenschwerpunkts $-\infty <X<\infty$ sind beides gute (globale) Koordinaten.

Nun, was ist mit $Q=F_\theta$ ? Wenn Sie das System als zusammengesetzt sehen möchten $N$ massive Teilchen, mit Positionen $\mathbf x ^{(n)}=\mathbf x ^{(n)}(q^1,q^2,\dots,q^n)$ Erfüllung der Newtonschen Gleichungen

M^{(N)} {\ddot{X}}^{(N)} = F^{(N)} + R^{(N)},

$m^{(n)}\ddot {\mathbf{x}} ^{(n)} = \mathbf{f} ^{(n)}+\mathbf R ^{(n)},$ bei dem die

R^{(n)}

$\mathbf R ^{(n)}$ keine virtuelle Arbeit machen, ich denke, dass Goldstein das in diesem Fall erklärt

Q_{ich} = \sum_{N = 1}^{3 N} F^{(N)} \cdot \frac{\partial X^{(N)}}{\partial Q^{ich}} .

$Q_i =\sum _{n=1} ^{3N} \mathbf f ^{(n)} \cdot \frac{\partial \mathbf x ^{(n)}}{\partial q^i}.$ Die rechte Seite dieser Gleichung ist die sogenannte "virtuelle Arbeit" der wirkenden Kräfte, d.h.

Q_{i} δ q_{i}

$Q_i \delta q_i$ , ist die Arbeit, die geleistet wird, wenn das System eine durch parametrisierte Verschiebung erfährt

q_{i} \to q_{i} + δ q_{i}

$q_i \to q_i + \delta q_i$ , wobei alle anderen Koordinaten (sowie die Form der zeitlichen Beschränkung, die im vorliegenden Fall konstant ist) festgehalten werden. (Auch wenn

f^{(n)} = - \frac{\partial U}{\partial x^{(n)}}

$\mathbf f ^{(n)}=-\frac{\partial U}{\partial \mathbf{x} ^{(n)}}$ , das sieht man leicht

Q_{i} = - \frac{\partial U}{\partial q^{i}}

$Q_i =-\frac{\partial U}{\partial q^i}$ )

Im vorliegenden Fall ist das virtuelle Werk $F\delta X=-\delta (-FX)$ , So $Q_i$ Ist $-\frac {\partial U}{\partial q^i}$ , Wo $U=-FX$ . Schreibe den Lagrangian als $L=T-U$ , mit der richtigen Form von $T$ , können Sie den Lagrangian leicht ableiten.

Ich möchte betonen, dass dieses Verfahren, obwohl es physikalisch rigoros ist, nur eine Heuristik ist, da es keinen a priori Grund (zumindest in meiner Diskussion) gibt, warum die intuitive Identifizierung von $Q_i$ mit der virtuellen Arbeit sollen die korrekten Bewegungsgleichungen wiedergegeben werden. Wenn Sie die Bewegungsgleichungen bereits in irgendeiner Form haben, ist der einfachste Weg, um die Lagrangian herauszufinden, wahrscheinlich:

Schreiben Sie die LHS der verallgemeinerten Gleichungen von Lagrange.
Setzen Sie die (gegebenen) Bewegungsgleichungen ein.
Eliminieren Sie die Zwangskräfte.
Erfahren $Q_i$ und möglicherweise der Lagrange.

Rick · Answer 2

Normalerweise sollte Kraft in Ihrem Lagrange enthalten sein:

L = M {\dot{θ}}^{2} R^{2} + F θ R

$L=M\dot\theta^2R^2+F \theta r$

Aber man hätte es auch als einbinden können $F_{\theta}=F\,r$

Beide entsprechen:

2 M R^{2} \frac{D \dot{θ}}{D T} - F R = 0

$2\,M\,R^2\,\frac{d\dot\theta}{dt}-FR=0$

Michael Fremling · Answer 3

Wenn Sie sich nicht sicher sind, wie Kräfte nach Koordinatentransformationen aussehen, schlage ich vor, dass Sie mit einem Lagrange in kartesischen Koordinaten beginnen und die Transformation in die verallgemeinerten Koordinaten durchführen, die Sie verwenden möchten.

In kartesischen Koordinaten hat man dann

L = \frac{M}{2} ({\dot{X}}^{2} + {\dot{j}}^{2} + R^{2} ω^{2}) - F X

$L = \frac{M}2(\dot x^2 +\dot y^2 + R^2 \omega^2) - Fx$

Da der Zylinder die ganze Zeit auf dem Boden liegt $\dot y = 0$ , und die Bedingung "kein Rutschen" ergibt $x=R\theta$ Und $\dot\theta=\omega$ . Ändern der Koordinaten zu $\theta$ gibt das dann $\dot x = R\dot\theta$ So

L = \frac{M}{2} (R^{2} {\dot{θ}}^{2} + R^{2} θ^{2}) - F R θ = M R^{2} {\dot{θ}}^{2} - F R θ

$L = \frac{M}2(R^2\dot \theta^2 +R^2 \theta^2) - FR\theta = M R^2\dot \theta^2 - FR\theta$

Die generalisierte Kraft ist jetzt $F_\theta = \frac{\partial L}{\partial \theta}=-FR$ und die Bewegungsgleichungen lautet

2 M R^{2} \ddot{θ} = - F R \Leftrightarrow \ddot{θ} = - \frac{F}{2 M R}

$2MR^2\ddot\theta = - FR \Leftrightarrow \ddot\theta = - \frac{F}{2MR}$

Wie behandle ich die Lagrange-Funktion bei einem starren Körper?

Gennaro Marco Devincenzis

Valter Moretti

Gennaro Marco Devincenzis

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pppqqq

Rick

Michael Fremling

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