Wie lange würde es dauern, bis ein aufrechter starrer Körper zu Boden fällt?

Um die anderen Antworten zu vervollständigen, hier ist die Lagrange-Funktion des Systems. Unter Verwendung von Polarkoordinaten, die an der Basis des Stabs zentriert sind,

$$\mathcal{L}=T-V$$

$$\mathcal{L}=\frac{1}{2}I\dot{\theta^2}-\frac{1}{2}mgh\cos{\theta}$$

Verwenden Sie den bekannten Wert für$I$,$\frac{mh^2}{3}$,

$$\mathcal{L}=\frac{1}{6}mh^2\dot{\theta^2}-\frac{1}{2}mgh\cos{\theta}$$

Mit Euler-Lagrange erhalten wir die Bewegungsgleichung:

$$\frac{d}{dt}\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{\theta}}=\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\theta}$$

$$\frac{d}{dt}(\frac{1}{3}mh^2\dot{\theta})=\frac{1}{2}mgh\sin{\theta}$$

$$\ddot{\theta}=\frac{3}{2}\frac{g}{h}\sin{\theta}$$

Ein fallender Baum ist im Grunde ein umgekehrtes Pendel.

Die Periode eines Längenpendels$h$für kleine Schwingungen ist$2\pi \sqrt{h/g}$, mit$g$die Erdbeschleunigung, ca$10\ m/s$. Für ein umgekehrtes Pendel nahe der Spitze seines Bogens gibt es keine Periode, sondern die Menge$\sqrt{h/g}$stellt eine charakteristische Zeitskala für dieses System dar. Der Baum braucht einige dieser charakteristischen Zeiten, um zu fallen.$h$für einen Baum ist eine "effektive Höhe" und hängt von der Massenverteilung des Baums ab. Wenn die ganze Masse oben ist,$h$ist die Höhe des Baumes. Wenn der Baum einheitlich ist,$h$ist$2/3$die wahre Höhe.

Für einen Baum mit$h = 40\ m$, die charakteristische Zeit ist$2\ s$. Bei kleinen Winkeln wird der Winkel, den der Baum mit der Vertikalen bildet, multipliziert$e$In dieser Zeit. Beginnen wir mit dem Baum bei$1^{\circ}$so dass es seinen Winkel mit multiplizieren muss$90$fallen.$\ln(90) = 4.5$so nimmt der Baum ungefähr$9\ s$fallen.

Dies ist mathematisch eine Unterschätzung, da die charakteristische Zeit mit fallendem Baum leicht zunimmt, aber nicht zu stark. Mach eine schöne Runde$10\ s$und Sie erhalten etwas, das mit dem ersten YouTube-Video übereinstimmt, das ich gefunden habe.

Die Antwort hängt von den Anfangsbedingungen ab (Anfangswinkel und Anfangswinkelgeschwindigkeit). Wenn es vertikal beginnt, würde es ohne eine anfängliche Winkelgeschwindigkeit ewig dauern, bis es fällt.

Beachten Sie auch, dass sich die Stange mit zunehmender Drehzahl aufgrund der Zentrifugalkräfte vom Drehpunkt abheben kann. Auch sobald die Reibung überwunden ist, wird der Kontakt rutschen. Es gibt also drei Domänen für die Lösung.

1. Der Kontakt ist fest, Kräfte müssen berechnet werden
2. Der Kontakt gleitet, die vertikale Kraft muss berechnet werden
3. Kein Kontakt mehr, keine Kräfte wirken (außer der Schwerkraft).

Sie können versuchen, die Lösungen aus den folgenden Gleichungen zu berechnen:

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Bewegungsgleichungen

$$F=m\ddot{x}$$ $$N=m(\ddot{y}+g)$$ $$\frac{H}{2}\left(F\,\cos\theta+N\,\sin\theta\right)=I_{G}\ddot{\theta}$$

wo:$F$Reibung (horiz.) Kraft,$N$normale Kontaktkraft,$m$Masse des Balkens, ($\ddot{x}$,$\ddot{y}$) Schwerpunktbeschleunigung,$H$die Gesamthöhe der Stange,$\theta$Winkel der Stange von der Vertikalen (+=CCW),$I_G$Massenträgheitsmoment des Stabes im Schwerpunkt

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Geschwindigkeit des Kontaktpunktes

$$vx_{A}=\dot{x}+\frac{H}{2}\left(\dot{\theta}\cos\theta\right)$$ $$vy_{A}=\dot{y}+\frac{H}{2}\left(\dot{\theta}\sin\theta\right)$$

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Beschleunigung des Kontaktpunktes

$$ax_{A}=\ddot{x}+\frac{H}{2}\left(\ddot{\theta}\cos\theta-\dot{\theta}^{2}\sin\theta\right)$$

$$ay_{A}=\ddot{y}+\frac{H}{2}\left(\ddot{\theta}\sin\theta+\dot{\theta}^{2}\cos\theta\right)$$

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Reibungszustand

$$F\leq\mu N$$

Sie finden die Bewegungsgleichung für den 1Fall

$$\ddot{\theta}=\frac{g\sin\theta-\frac{H}{2}\dot{\theta}\cos2\theta}{\frac{I_{G}}{mH/2}+\frac{H}{2}\sin2\theta}$$

Um den Zustand zu finden, in dem Sie in Fall 2und Fall schlüpfen, müssen Sie 3die Kräfte überwachen$F$und$N$und prüfen wann$F>\mu N$und wann$N<0$.

Ich stimme Peter Mortensen und Mark Eicheniaub zu.

Die Differentialgleichung ist

Ӫ=(g/h)sinӨ

Für kleine Winkel sollte es sein

Ӫ=(g/h)Ө

Die Lösung dafür ist

t=√(h/g) *ln(Ө/ Өo)

aber nur für kleine Winkel wie 1°.

Wir können Schritt für Schritt (1°) 90 Mal berechnen, es impliziert eine ln-Summe:

ln((Өo +1)/ Өo) + ln((Өo +2)/ (Өo+1)) + ln((Өo +3)/ (Өo+2)) + ln((Өo +4)/ ( Өo+3)) …+ ln((Өo +89)/ (Өo+88))

es ist

ln( (Өo +1)/ Өo) (Өo +2)/ (Өo+1) (Өo +3)/ (Өo+2) (Өo +4)/ (Өo+3) …(Өo +89)/ (Өo+88) )

=ln(90°/1°)

=4,5

Dieser Wert muss mit 2 Sek. = 9 Sek. multipliziert werden. (für 40 m hoch)