Warum kann jede allgemeine Bewegung eines starren Körpers als Translation + Rotation um den Massenmittelpunkt dargestellt werden?

  1. Warum kann jede allgemeine Bewegung eines starren Körpers als Translation + Rotation um den Massenmittelpunkt dargestellt werden?

  2. Ich fange an, Rotationsdynamik zu lesen, und mein Lehrbuch gibt diese Tatsache ohne Beweis an. Ich frage mich - gilt diese Tatsache nur für einen Massenschwerpunkt?

  3. Dann - Der Ausdruck "Rotation um den Schwerpunkt" erscheint mir vage. Rotation um welche Achse?

Sie müssen nur beweisen, dass die Drehung um CM, zuerst um eine bestimmte Achse mit einem bestimmten Winkel, gefolgt von einer anderen Achse mit einem anderen Winkel, einer einzigen Drehung um eine bestimmte Achse mit einem bestimmten Winkel entspricht.
Diese Tatsache gilt nicht nur für CM. Die Achse ist durch die tatsächliche Konfiguration des Objekts zu bestimmen. Den Beweis finden Sie zB in Goldstein: Satz von Chasle --- die allgemeinste Verschiebung eines starren Körpers ist eine Translation plus eine Rotation.

Antworten (2)

Will man die Lage eines starren Objekts im Raum beschreiben, reicht es natürlich nicht aus, nur die Lage des Massenschwerpunkts anzugeben – man muss auch die Orientierung angeben.

Diese Ausrichtung kann mit einer Rotation um den Massenmittelpunkt erreicht werden - aber Sie müssen herausfinden, welche Richtung die Rotationsachse haben muss und um welchen Winkel Sie sich drehen.

Sie müssen drei beliebige Punkte im Objekt auswählen (nicht auf derselben Linie), um zu beschreiben, wie es gedreht wurde. das ist die notwendige und ausreichende Anzahl von Parametern. Sie können dann drei Gleichungen mit drei Unbekannten schreiben und nach drei Parametern auflösen - genau die Anzahl von Parametern, die zur Beschreibung einer Rotationsachse (2 Parameter) und eines Rotationswinkels (dritter Parameter) erforderlich sind.

Sie könnten eine Drehung um einen anderen Punkt als den Massenmittelpunkt auswählen - und obwohl es möglich ist, eine Bewegung mit beliebigen 3 + 3 Parametern zu beschreiben, ist es VIEL schwieriger, wenn die Achse nicht durch den Massenmittelpunkt verläuft (weil z , gibt es eine scheinbare Zentrifugalkraft im rotierenden Bezugssystem, da der Massenmittelpunkt nicht auf der Rotationsachse liegt).

@KyleOman danke - mein Fehler. Ich meinte nicht auf der gleichen Linie. Jetzt behoben.

Dass sich die Bewegung eines starren Körpers als Translation und Rotation um den Massenmittelpunkt darstellen lässt, ist eine Folge eines mathematischen Theorems, das besagt, dass jede Funktion, die von R^3 nach R^3 geht, für alle so ist x, y, d(x,y) = d(f(x),f(y)) (wobei d(x,y) den Abstand zwischen x und y bedeutet) kann eindeutig als Zusammensetzung einer Translation und a ausgedrückt werden Drehung um eine bestimmte Achse. Den Beweis dieses Theorems finden Sie in Peter Lax: Lineare Algebra, im Kapitel Kinematik und Dynamik (einige Vorkenntnisse in linearer Algebra sind erforderlich). Nachdem Sie den Beweis studiert haben, werden Sie feststellen, dass es tatsächlich für jeden Punkt im Raum eine Achse gibt, die durch diesen Punkt verläuft, sodass die Bewegung des starren Körpers als Translation ausgedrückt werden kann (das hängt von dem von Ihnen gewählten Punkt ab ) und eine Drehung um seine Achse.

Warum kann jede allgemeine Bewegung eines starren Körpers als Translation + Rotation um den Massenmittelpunkt dargestellt werden?
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