Was ist der Beweis dafür, dass eine auf einen starren Körper ausgeübte Kraft diesen dazu bringt, sich um seinen Massenmittelpunkt zu drehen?

Ein sehr einfacher Grund wäre, dass, wenn sich der Körper um einen anderen Punkt als den Massenmittelpunkt dreht, der Massenmittelpunkt im Bodenrahmen in einer Kreisbewegung wäre.

Jetzt wissen wir, dass die Bewegung des Massenmittelpunkts NUR durch ÄUSSERE KRÄFTE bestimmt wird, und im Falle einer kurzzeitig wirkenden Kraft wirkt anschließend keine äußere Kraft mehr auf den Massenmittelpunkt.

Wir können also sagen, dass die anschließende Bewegung des Massenmittelpunkts linear ist (und nicht kreisförmig, was der Fall wäre, wenn sich der Körper um einen anderen Punkt dreht). Und da der Körper einen gewissen Drehimpuls hat, dreht er sich um den Massenmittelpunkt!

Was Sie meinen, nennt man das unmittelbare Zentrum der Perkussion . Um einen starren Körper rein um eine Achse (die Rotationsachse) zu drehen, muss eine Kraft entlang der Schlagachse aufgebracht werden, die a) senkrecht zur Rotationsachse ist, b) auf der vom Drehpunkt entfernten Seite des Schwerpunkts und c) entfernt gelegen$\ell =c + \frac{I}{m c}$vom Drehpunkt ($m$Masse,$I$Massenträgheitsmoment ca. cm u$c$Abstand zwischen Drehpunkt und cm ).

Ableitung

Stellen Sie sich einen Körper mit gewünschter Drehung vor$\vec{\omega} = (0,0, \omega_z)$um einen Punkt A , der mit einem Einheimischen ausgerichtet ist$\hat k$Achse und der Schwerpunkt entlang der lokalen$\hat i$Achse, mit Koordinaten$\vec{c} = (c_x,0,0)$.

Ein Impuls mit Komponenten$\vec{J}=(J_x,J_y,J_z)$an einem Standort angewendet wird$\vec\ell = (l_x,l_y,l_z)$relativ zu A mit den Bewegungsgleichungen im Schwerpunkt

in Komponenten ist das oben

So$J_x=J_z=0$Herstellung$\vec{J}$entlang der lokalen sein$\hat{j}$Achse.

mit Lösung$\ell_z =0$und$\boxed{\ell_x = c_x + \frac{I_z}{m c_x}}$. Beachten Sie, dass der Wert von$\ell_y$ist irrelevant, da es entlang der Kraftachse verläuft$\vec{J}$.

Hier einige Referenzbeiträge:

Siehe relevante Antwort auf eine ähnliche Frage ( https://physics.stackexchange.com/a/81078/392 )

Die vollständigen Bewegungsgleichungen um einen beliebigen Punkt werden in ( https://physics.stackexchange.com/a/80449/392 ) abgeleitet.

Ich habe gelesen, dass, wenn ich während eines kurzen Zeitintervalls eine Kraft auf den Körper an einem Punkt ausübe, der nicht mit dem Massenmittelpunkt übereinstimmt, er sich um eine Achse zu drehen beginnt, die senkrecht zur Kraft steht und durch die geht Massezentrum.

Nach meinem Verständnis ist Ihre Frage fehlerhaft. Wenn eine einzelne Kraft auf einen starren Körper wirkt und keine anderen Kräfte wirken, gilt auch:

1. Die Wirkungslinie der Kraft verläuft durch den Massenmittelpunkt, wodurch eine reine Translation und keine Rotation entsteht
2. Die Kraftwirkungslinie geht nicht durch den Massenmittelpunkt, in diesem Fall kommt es zu einer reinen Drehung um eine Achse , die nicht durch den Massenmittelpunkt geht . Mit anderen Worten, die augenblickliche Achse der Nullgeschwindigkeit, die durch eine einzelne Kraft induziert wird, kann niemals der Massenmittelpunkt sein.

Wenn Sie eine exzentrische Kraft anwenden, erfährt der Massenmittelpunkt des Körpers eine lineare Beschleunigung und der Körper selbst erfährt eine Winkelbeschleunigung. In einem festen Bezugssystem kann dies als reine Drehung um einen bestimmten Punkt angesehen werden, aber dieser Punkt wird niemals der Schwerpunkt des Körpers sein.

Was ist der Beweis dafür?

Der Beweis des Satzes von Chasles in Bezug auf die Rotations- und Translationsverschiebungen eines starren Körpers wird in sehr vielen Texten durchgeführt, einschließlich Anhang 20A dieses vom MIT erstellten Dokuments .

Im Wesentlichen zeigt dies, dass, wenn eine Kraft, deren Wirkungslinie nicht durch den Massenmittelpunkt eines starren Körpers geht, die aufgebrachte Kraft der Kraft gleicher Größe und Richtung entspricht, die durch den Massenmittelpunkt des erzeugenden Körpers geht nur Translationsbeschleunigung des Massenschwerpunkts des Körpers und ein Paar, das nur Rotationsbeschleunigung des Körpers erzeugt.

Die tatsächliche Bewegung des Körpers wird durch die Summe dieser beiden Beschleunigungen bestimmt.

Angenommen eine Kraft$\vec F$wird auf einen Körper angewendet, dessen Wirkungslinie nicht durch den Massenmittelpunkt verläuft$C$vom Körper.

Hinzufügen von zwei Kräften$\vec F_1$und$\vec F_2$im Schwerpunkt des Körpers, so dass$\vec F = \vec F_2$und$\vec F_1 + \vec F_2 =0$wie im Diagramm unten gezeigt.

Es gibt jetzt eine Kraft$\vec F_2 (= \vec F)$wirken entlang einer Linie durch den Massenmittelpunkt des Körpers,$C$, die nur eine Translationsbeschleunigung des Körpers und ein aus den beiden Kräften bestehendes Paar erzeugt$\vec F$und$\vec F_1$und von Größenordnung$Fd$was nur eine Rotationsbeschleunigung des Körpers erzeugt.

Ich denke, der Punkt ist, dass im freien Raum Linear- und Drehimpuls beide getrennte Erhaltungsgrößen sind. (Dies ist impliziert, solange Ihr Raum Translations- und Rotationssymmetrie aufweist.) Wenn der gesamte lineare Impuls des starren Körpers nach dem Stoß immer konstant ist, muss sich der Massenmittelpunkt in einer geraden Linie mit konstanter Geschwindigkeit bewegen. Daraus folgt, dass die Drehung um den Massenmittelpunkt erfolgen muss.

Die Änderung des Drehimpulses eines starren Körpers finden Sie, indem Sie ihn einfach auswerten:$\frac{d\mathbf{L}_{total}}{dt} = \sum_p m_p\left(\mathbf{R}+\mathbf{r}_p\right) \times \frac{d}{dt}\left(\mathbf{V}+\mathbf{v}_p\right)\,$

$\frac{d\mathbf{L}_{total}}{dt}= M \mathbf{R} \times \frac{d\mathbf{V}}{dt} + \sum_p m_p \mathbf{r}_p\times \frac{d\mathbf{v}_p}{dt}$Hier habe ich die Position der aufgebrochen$p^{th}$Komponente in einen Schwerpunktteil und einen relativen Teil.

Beachten Sie, dass$m_p \frac{d\mathbf{v}_p}{dt}$ist genau die Kraft, die auf einen Körperteil wirkt. Sie können zeigen, dass innere Kräfte (Kräfte zwischen Partikeln) nicht zum Drehmoment beitragen (im Grunde weil sie gleich und entgegengesetzt sind, also heben sie sich auf, wenn Sie summieren), also sind nur äußere Kräfte wichtig.

Nur die Komponente dieser Kraft, die senkrecht dazu steht$\vec{r}_p$überlebt das Kreuzprodukt und versetzt den Körper in Rotation. Mit anderen Worten, die Aussage "es würde anfangen, sich um eine Achse zu drehen, die senkrecht zur Kraft steht und durch den Massenmittelpunkt geht" ist eine Eigenschaft des Kreuzprodukts in dieser Gleichung. Warum mit dem Massenmittelpunkt? Nun, Sie können den Drehimpuls um jede Linie (genauer gesagt, in jeder Ebene) auswerten, und er berücksichtigt sauber einen Teil, der die Bewegung des COM um diese Achse ist, und einen Teil, der die Bewegung des Körpers um die ist KOM. Wenn Sie wählen, dass die Achse durch die COM geht, verschwindet der erste Teil durch das Kreuzprodukt. Wie Sie sehen können, wirkt sich die obige Berechnung auf die gleiche Weise aus.

Sie können sich hier das Wesentliche ansehen , das ich vor langer Zeit getippt habe. Hoffentlich ist es nicht zu verwirrend.

Prost

Nehmen Sie ein sehr kleines Teilchen an, das in den starren Massenkörper eingebettet ist$m$. Lassen Sie uns sein Drehmoment oder Kraftmoment herausfinden$\vec{\tau}$um einen beliebigen Punkt$p$.

$\vec{\tau} = \vec{f} \times \vec{r}$

wo$\vec{r}$ist eine Verschiebung dieses Teilchens vom Punkt$p$.

Das Gesamtdrehmoment auf den starren Körper wird ein Teil davon sein$\tau$aller Teilchen. Wenn dies$\tau$einen Wert ungleich Null hat, dreht sich der Körper.

Lassen Sie uns das Gesamtdrehmoment herausfinden,$\Gamma$

$\Gamma = \Sigma{\tau}$

$\Rightarrow \Gamma = \Sigma{ \vec{f} \times \vec{r}}$

$\Rightarrow \Gamma = \Sigma{ m \, \vec{a} \times \vec{r}}$

Da der Körper als starr bezeichnet wird, haben alle Punkte auf diesem Körper zu jedem Zeitpunkt die gleiche Beschleunigung. Außerdem ist das Kreuzprodukt distributiv ref , daher können wir nehmen$\vec{a}$aus der Summe.

$\Rightarrow \Gamma = \vec{a} \times \Sigma{ m \, \vec{r}}$

jetzt, wenn Punkt$p$ist dann der Massenmittelpunkt,$\Sigma{ m \, \vec{r}}$ist Null. Ref

Deswegen,$\Gamma$Null ist und der starre Körper sich überhaupt nicht dreht.

HINWEIS:$\times$ist der Vektorkreuzproduktoperator.

Man kann vernünftige Annahmen treffen, um das Problem auf einfache Weise zu untersuchen. Hier ist meine Argumentation zu dieser Frage.

Nehmen wir der Einfachheit halber an, wir hätten im Weltraum ein kugelförmiges Objekt mit dem Radius R. An der Oberfläche der Kugel soll ein Haken sein, an dem wir eine Schnur befestigen können. Stellen Sie sich vor, wir sind mit einem Raketensystem ausgestattet, das uns Schwung geben kann, um uns fortzubewegen.

Jetzt halten wir ein Ende der Schnur fest und bewegen uns von der Kugel in einer Richtung weg, dass die Schnur, wenn sie straff wird, nicht parallel zum Radius der Kugel verläuft. Die Kraft, die wir in dieser Richtung auf die Kugel ausüben, kann in die Tangente und die Senkrechte zur Oberfläche der Kugel zerlegt werden. Wenn$\theta$ist der Winkel zwischen der Schnur und der Normalen zur Kugel, die wir haben:

Tangentialkomponente:$F_T=F\sin(\theta)$

Normale Komponente:$F_N=F\cos(\theta)$.

Die Normalkomponente ist parallel zum Radius der Kugel und geht durch den Mittelpunkt (CM) und hat kein Moment. Diese Komponente zieht die Kugel in die normale Richtung.

Die Tangentenkomponente hat ein Moment in Bezug auf den Mittelpunkt

$M=FR\sin(\theta)$.

Dieses Bauteil würde die Kugel drehen, sollte die Achse der Kugel geschwenkt werden, ist es aber nicht! Ich glaube jedoch, dass es aufgrund der Trägheit der Masse der Kugel ausreichen würde, um der Tangentenkraft eine Drehhebelwirkung zu verleihen, um die Kugel zu drehen. Der Energieerhaltungssatz muss für ein kurzes Zeitintervall der Krafteinwirkung in die Form geschrieben werden

${\bf {F.x}} = {\frac {1}{2}}mv^2+ {\frac {1}{2}}I{\omega}^2$

wo:$\bf x$ist die Verschiebung der Kugel, während der erste Term auf der RHS die kinetische Energie aufgrund der linearen Bewegung und der zweite die kinetische Energie aufgrund der Rotationsbewegung ist. Beachten Sie, dass sich die Kugel, da sie keine feste Achse hat, um die Achse dreht, die peprepndicular zum Großkreis ist, der durch die Spitze des Hakens verläuft, und die$F_T$ist tangential dazu. Daher wird die Achse senkrecht zu sein$F_T$und$F_N$und steht somit senkrecht zur Kraft$\bf F$. Dies gilt für jede Richtung von$\bf F$.

Warum sollte die Rotationsachse durch das CM verlaufen? Der Punkt hier ist, dass sich das Objekt frei dreht. Ist nicht gezwungen, sich um eine beliebige Achse zu drehen. Ohne auf die Mathematik einzugehen, ist ein schnelles Argument aus physikalischer Sicht, dass die Rotationsbewegung instabil wäre, wenn die Achse durch einen anderen Punkt verlaufen würde. Ich meine, dass es für ein frei rotierendes Objekt einen minimalen Energiezustand gibt, und dies ist der Fall, wenn die Rotationsachse durch das CM verläuft. Wenn es einen anderen Punkt durchqueren würde, wäre gemäß dem Parallelachsensatz die Trägheit des Objekts höher und daher die Energie des Systems höher. Es ist, als würde man einen Gegenstand auf eine bestimmte Höhe nahe der Erdoberfläche bringen und ihn dann freilassen. Es wird in den niedrigsten Energiezustand fallen, und das ist, wenn es auf dem Boden ist.