Drehmomente in der Euler-Gleichung

Die Euler-Gleichung

aus dem Drehimpuls$L=I_{in}\,\omega_{in}$

$\Rightarrow$

$$\frac{d}{dt} \left(I_{in}\,\omega\right)=M_{in}$$

mit:$I_{in}=R\,I_b\,R^T$ $\Rightarrow$

$L=I_{in}\,\omega_{in}=R\,I_b\,R^T\,\omega_{in}=R\,I_b\,\omega_b$

R ist die Rotationsmatrix zwischen Inertialsystem (Index in) und Körperkoordinatensystem, (Index b) ) wir erhalten:

$$\frac{d}{dt} \left(R\,I_{b}\,\omega_b\right)=M_{in}$$

$\Rightarrow$

$$\frac{d}{dt} \left(R\,I_{b}\,\omega_b\right)=R\,I_b\,\dot{\omega}_b+\dot{R}\,I_b\,\omega_b=M_{in}\tag 1$$

mit$\dot{R}=R\,\tilde{\omega}_b$in Gleichung (1)

$$R\,I_b\,\dot{\omega}_b+R\,\tilde{\omega}_b\,I_b\,\omega_b=M_{in}\tag 2$$

multipliziere Gleichung (2) von links mit$R^T$wir erhalten (mit$R^T\,R=E$Einheitsmatrix):

$$I_b\,\dot{\omega}_b+\tilde{\omega}_b\,I_b\,\omega_b=R^T\,M_{in}\tag 3$$

mit$R^T\,M_{in}=M_{b}$Und$\tilde{\omega}\,u=\omega\times\,u$wir erhalten die EULER-Gleichungen

$$\boxed{I_b\,\dot{\omega}_b+{\omega}_b\,\times \,(I_b\,\omega_b)=M_{b}}$$

oder:

$$\boxed{I_{in}\,\dot{\omega}_{in}+{\omega}_{in}\,\times \,(I_{in}\,\omega_b)=M_{in}}$$

$I_{in}=R\,I_b\,R^T$