Nicht konstante Winkelgeschwindigkeit im Orbit

Question

Nicht konstante Winkelgeschwindigkeit im Orbit

Steinkamp

Stellen Sie sich ein Paar von Objekten auf elliptischen Bahnen um einen gemeinsamen Massenmittelpunkt vor. Bei allen Überlegungen zu Winkelbewegung und Drehmoment ist der interessierende Drehpunkt in dieser Diskussion der Massenmittelpunkt.

Die einzigen auftretenden Kräfte zeigen direkt zum Massenmittelpunkt und können kein Drehmoment verursachen. Das System erfährt kein Nettodrehmoment, und daher sollte der Drehimpuls erhalten bleiben.

Betrachtet man ein bestimmtes Objekt auf dieser elliptischen Umlaufbahn, so ändert sich sein Trägheitsmoment I, wenn sich der Radius ändert. Dies betrachtet die Objekte im Orbit in a $L = I \omega$ Linse. Dies kann auch in das Objektiv von übersetzt werden $L = r \times p$ , aber die Herausforderung entsteht in der ersten Linse (vielleicht ist es illegal für mich, den Drehimpuls in einer zu diskutieren $I\omega$ Weg). Wenn sich die Objekte auf ihrer elliptischen Bahn nähern, nimmt das Trägheitsmoment ab ( $I=mr^2$ ), also muss die Winkelgeschwindigkeit zunehmen, um den Drehimpuls konstant zu halten.

Daher ist die Winkelgeschwindigkeit nicht konstant, was bedeutet, dass das System um den Massenmittelpunkt herum eine Winkelbeschleunigung erfährt. Das wissen wir jedoch $\alpha = \tau _{net} /I$ . Wenn $\alpha$ nicht Null ist, scheint dies zu zeigen, dass ein Nettodrehmoment vorhanden sein muss, da es definitiv der Fall ist, dass die Winkelgeschwindigkeit beider Objekte um den Massenmittelpunkt herum nicht konstant ist.

Wo ist der Bruch in dieser Logik?

Kontext: Ich bin ein Lehrer für algebrabasierte Physik an der High School (AP Physik 1). Die Schüler stellten die vernünftige Verbindung her, dass eine Änderung der Winkelgeschwindigkeit ein Nettodrehmoment ungleich Null zu implizieren scheint, angesichts des Rotationsanalogs des zweiten Newtonschen Gesetzes, das wir neuen Schülern beibringen $\alpha = \tau _{net} /I$ . Ich weiß, dass der Schlüssel darin besteht, dass das Trägheitsmoment nicht konstant ist, aber es scheint, dass egal was mit diesem Ausdruck ein Nettodrehmoment von Null erzwingen wird $\alpha$ null sein.

Mein Bauchgefühl: Dass das "Analog zum zweiten Rotationsgesetz von Newton" nicht für nicht konstantes I gilt. (Wir sind wahrscheinlich etwas außerhalb des Rahmens für diesen Kurs, um das anzugehen.)

dmckee --- Ex-Moderator-Kätzchen

Jetzt keine Zeit, eine Antwort zu schreiben, aber Sie sind genau auf dem richtigen Weg. Machen Sie die Analogie zu

F_{net} = \frac{d p}{d t}

$F_\text{net} = \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}t}$ (eher, als

F_{net} = m a

$F_\text{net} = ma$ ) bekommen

τ_{net} = \frac{d L}{d t}

$\tau_\text{net} = \frac{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}t}$ und finden Sie die totale Ableitung auf der RHS.

dmckee --- Ex-Moderator-Kätzchen

BTW: Wir haben MathJax auf der Seite laufen lassen, damit es so $L = r \times p$ gerendert wird

L = r \times p

$L = r \times p$ und $\omega$ macht als

ω

$\omega$ und dergleichen. Die Syntax ist im Wesentlichen der mathematische Modus von LaTeX.

Steinkamp

Verstanden, ich glaube, ich bin dort angekommen. Gibt es eine nicht rechnerische Möglichkeit, dies aufzuschlüsseln, oder muss ich den Schülern meistens nur argumentieren: „Es stellt sich heraus, dass wir diesen zweiten Term in dieser Produktregel haben, wenn I nicht konstant ist, sodass Sie tatsächlich eine Beschleunigung ohne Drehmoment haben können "? Ich nehme an, der Kern dieses Funks ist, dass es im linearen Fall kein solches Problem gibt, wo Sie normalerweise keinen zweiten Term für die Ableitung haben. (Und danke, ich habe nach diesen Symbolen gesucht, wusste aber nicht, dass ich das $ brauche.)

dmckee --- Ex-Moderator-Kätzchen

Gibt es in Ihrem Buch lineare Impulsprobleme, bei denen ein Schienenfahrzeug unter einer Rutsche hindurchfährt, die ihm Masse hinzufügt? Ich nehme an, wenn Sie sich zuerst diesen Fall ansehen, können Sie ihnen das zeigen

F = m a

$F = ma$ ist unvollständig und benötigt auch einen Massenvariationsterm.

Steinkamp

Ich bin damit etwas unzufrieden, denn damit gibt es definitiv eine dritte Rechtspaaraktion, bei der der Waggon die neue Masse beschleunigt. Ich nehme an, wenn wir das System so erweitern, dass dies interne Kräfte sind, können wir argumentieren, dass die Nettokraft immer noch null ist. Außerdem scheint dieses Problem durch die Linse des CM des Systems direkt keine Beschleunigung zu haben.

Akkumulation

Sie können die Produktregel ohne Analysis durchführen. Zeichnen Sie einfach ein Rechteck mit Höhe I und Breite

ω

$\omega$ . Zeigen Sie, dass, wenn wir I konstant halten, die Flächenänderung nur das I-fache der Änderung in ist

ω

$\omega$ , aber wenn beide variieren dürfen, ist die Flächenänderung (Änderung in

ω

$\omega$ )*I + (Änderung von I)*

ω

$\omega$

Steinkamp

Gibt es eine Möglichkeit zu argumentieren

τ = r \times F

$\tau = r \times F$ anstatt zu gehen

τ = d L / d t

$\tau = dL/dt$ ?

DWade64

Nur um klar zu sein (und dies ist in der Antwort impliziert), die Formel

\vec{τ} = I \vec{α}

$\vec{\tau} = I\vec{\alpha}$ stützt sich auf eine Vielzahl von Annahmen. Ich mag es nicht, wie einführende Texte dieses Thema behandeln (da die Ableitungen nicht streng sind, wenn Strenge dringend erforderlich ist). Meiner Meinung nach müssen wir Polarkoordinaten und das zweite Newtonsche Gesetz in Polarkoordinaten verstehen, um die Rotation so klar wie möglich zu machen. Verwenden Sie also Polarkoordinaten

(r, ϕ)

$(r,\phi)$ . Die Gleichung in diesem Kommentar hängt stark (unter anderem) davon ab

\dot{r} = 0

$\dot{r} = 0$ d.h. (alles dreht sich so im Kreise

r

$r$ ist eine Konstante)

David Hammen

\vec{τ} = I \vec{α}

$\vec\tau=I\vec\alpha$ gilt im Allgemeinen nicht einmal für einen starren Körper. Die richtige Beziehung für einen starren Körper ist

\vec{τ} = I \vec{α} + \vec{ω} \times (I \vec{ω})

$\vec\tau = I\vec\alpha + \vec{\omega}\times(I\vec\omega)$ . Dies ist selbst auf der Highschool-Ebene leicht ableitbar.

Antworten (2)

Nicht konstante Winkelgeschwindigkeit im Orbit

Jetzt keine Zeit, eine Antwort zu schreiben, aber Sie sind genau auf dem richtigen Weg. Machen Sie die Analogie zu $F_\text{net} = \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}t}$ (eher, als $F_\text{net} = ma$ ) bekommen $\tau_\text{net} = \frac{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}t}$ und finden Sie die totale Ableitung auf der RHS.
BTW: Wir haben MathJax auf der Seite laufen lassen, damit es so $L = r \times p$ gerendert wird $L = r \times p$ und $\omega$ macht als $\omega$ und dergleichen. Die Syntax ist im Wesentlichen der mathematische Modus von LaTeX.
Verstanden, ich glaube, ich bin dort angekommen. Gibt es eine nicht rechnerische Möglichkeit, dies aufzuschlüsseln, oder muss ich den Schülern meistens nur argumentieren: „Es stellt sich heraus, dass wir diesen zweiten Term in dieser Produktregel haben, wenn I nicht konstant ist, sodass Sie tatsächlich eine Beschleunigung ohne Drehmoment haben können "? Ich nehme an, der Kern dieses Funks ist, dass es im linearen Fall kein solches Problem gibt, wo Sie normalerweise keinen zweiten Term für die Ableitung haben. (Und danke, ich habe nach diesen Symbolen gesucht, wusste aber nicht, dass ich das $ brauche.)
Gibt es in Ihrem Buch lineare Impulsprobleme, bei denen ein Schienenfahrzeug unter einer Rutsche hindurchfährt, die ihm Masse hinzufügt? Ich nehme an, wenn Sie sich zuerst diesen Fall ansehen, können Sie ihnen das zeigen $F = ma$ ist unvollständig und benötigt auch einen Massenvariationsterm.
Ich bin damit etwas unzufrieden, denn damit gibt es definitiv eine dritte Rechtspaaraktion, bei der der Waggon die neue Masse beschleunigt. Ich nehme an, wenn wir das System so erweitern, dass dies interne Kräfte sind, können wir argumentieren, dass die Nettokraft immer noch null ist. Außerdem scheint dieses Problem durch die Linse des CM des Systems direkt keine Beschleunigung zu haben.
Sie können die Produktregel ohne Analysis durchführen. Zeichnen Sie einfach ein Rechteck mit Höhe I und Breite $\omega$ . Zeigen Sie, dass, wenn wir I konstant halten, die Flächenänderung nur das I-fache der Änderung in ist $\omega$ , aber wenn beide variieren dürfen, ist die Flächenänderung (Änderung in $\omega$ )*I + (Änderung von I)* $\omega$
Gibt es eine Möglichkeit zu argumentieren $\tau = r \times F$ anstatt zu gehen $\tau = dL/dt$ ?
Nur um klar zu sein (und dies ist in der Antwort impliziert), die Formel $\vec{\tau} = I\vec{\alpha}$ stützt sich auf eine Vielzahl von Annahmen. Ich mag es nicht, wie einführende Texte dieses Thema behandeln (da die Ableitungen nicht streng sind, wenn Strenge dringend erforderlich ist). Meiner Meinung nach müssen wir Polarkoordinaten und das zweite Newtonsche Gesetz in Polarkoordinaten verstehen, um die Rotation so klar wie möglich zu machen. Verwenden Sie also Polarkoordinaten $(r,\phi)$ . Die Gleichung in diesem Kommentar hängt stark (unter anderem) davon ab $\dot{r} = 0$ d.h. (alles dreht sich so im Kreise $r$ ist eine Konstante)
$\vec\tau=I\vec\alpha$ gilt im Allgemeinen nicht einmal für einen starren Körper. Die richtige Beziehung für einen starren Körper ist $\vec\tau = I\vec\alpha + \vec{\omega}\times(I\vec\omega)$ . Dies ist selbst auf der Highschool-Ebene leicht ableitbar.

dmckee --- Ex-Moderator-Kätzchen · Answer 1

Nehmen wir dies in zwei Teilen: erstens eine Ausstellung, wie dies für einen ausgebildeten Physiker funktioniert, der Zugang zu den Werkzeugen der multivariaten Analysis hat, und zweitens eine Untersuchung, wie Sie dies Studenten in einer Einführungsklasse auf der Grundlage von Algebra und Trigonometrie erklären könnten ( kein Kalkül).

Anspruchsvolle Ansicht

So wie es die richtige Formulierung der Newtonschen dynamischen Regel ist $\vec{F}_\text{net} = \frac{\mathrm{d}\vec{p}}{\mathrm{d}t}$ eher, als $\vec{F}_\text{net} = m \vec{a}$ , lautet die korrekte Formulierung der dynamischen Regel für Drehungen (unter Behandlung des Falls der festen Achse, damit wir auf die Vektorschreibweise verzichten können):

\begin{aligned} τ_{Netz} & = \frac{d L}{d t} \\ = \frac{\partial L}{\partial ω} \frac{d ω}{d t} + \frac{\partial L}{\partial ich} \frac{d ich}{d t} \\ = ich a + ω \frac{d ich}{d t} . \end{aligned}

$\begin{align} \tau_\text{net} &= \frac{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}t} \\ &= \frac{\partial L}{\partial \omega} \frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}t} + \frac{\partial L}{\partial I} \frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t} \\ &= I \alpha + \omega \frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t}\;. \end{align}$ Bei starren Objekten in freier Rotation haben wir natürlich

\frac{d I}{d t} = 0

$\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t} = 0$ damit dies wird

τ_{Netz} = ich a,

$\tau_\text{net} = I \alpha \;,$ aber für veränderliche Objekte oder Fälle, in denen sich die Rotationsachse bewegt, brauchen wir beide Terme.

Wenn das externe Nettodrehmoment null ist, können wir weiter schreiben

ich a = - ω \frac{d ich}{d t} .

$I \alpha = -\omega \frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t} \;.$

Klassenzimmeransicht

Die Schüler haben nicht die mathematischen Werkzeuge, um das obige Argument in der geschriebenen Form zu analysieren, also müssen wir eine Art Gerüst bereitstellen.

Arbeiten Sie es als Erhaltungsproblem

(Nach einem Vorschlag von Accumulation in den Kommentaren.)

Wenn Sie die Drehimpulserhaltungsregel haben, machen Sie einfach mit

\begin{aligned} L_{f} & = L_{ich} \\ {ich}_{f} ω_{f} & = {ich}_{ich} ω_{ich} \end{aligned}

$\begin{align} L_f &= L_i \\ I_f \omega_f &= I_i \omega_i \\ \end{align}$

Führen Sie die Idee ein, dass Sie einen Begriff für Änderungen der Trägheitstendenz benötigen

Ich habe dies in den Kommentaren untersucht, und wie Sie sagen, ist es weniger als zufriedenstellend, da diese Probleme "eine Last direkt nach unten entleeren" wirklich mehrere Teile eines Systems auf eine Weise betreffen, die der vorliegenden Frage nicht genau entspricht.

Ihr cleverer Schüler wird wahrscheinlich direkt auf den Unterschied stoßen, wenn sie zusammen präsentiert werden.

Gehen Sie es auf der Ebene der Kräfte und Momente an, um die Notwendigkeit zu einem zweiten Begriff zu motivieren

(Darum haben Sie in Ihrem Folgekommentar gebeten.)

Die Schlüsselbeobachtung hier ist, ein einzelnes Masseelement durch eine Radiusänderung aus zu verfolgen $r_1$ zu $r_2 \ne r_1$ . ¹ Während dieser radialen Änderung bewegt sich die Masse weiter „um“ das Rotationszentrum, aber die Bahn des Massenelements ist kein Kreis, der auf der Achse zentriert ist. Das bedeutet, dass die auf das Massenelement wirkenden Nettokräfte nicht zentripetal sind und daher eine von Null verschiedene Arbeit auf das Massenelement ausüben: $\vec{F}_\text{net} \cdot \vec{s} \ne 0$ .

Lassen Sie die Schüler dies selbst überprüfen.

Dadurch erhöht sich aber die translatorische kinetische Energie des Masseelements bei Annäherung an das Zentrum bzw. nimmt ab, wenn es sich nach außen bewegt. So oder so gibt es keinen Weg für $\omega$ konstant zu bleiben.

Nichtsdestotrotz haben wir immer noch zentrale Kräfte $\tau = 0$ . Aber das führt zu einem Widerspruch, wenn man darauf besteht $\tau_\text{net} = 0$ ist die vollständige Regel für dieses System. Als Ergebnis müssen wir einen Teil einführen, der vom Variieren abhängt $I$ .

¹ Dies ist in dem von Ihnen angebotenen Orbitalproblem völlig natürlich, aber es lohnt sich, es explizit zu sagen, damit wir uns daran erinnern, wenn wir an veränderlichen festen Objekten in Rotation arbeiten.

Vielen Dank! Können Sie bei der Definition von "zentripetal" in Ihrem vorletzten Absatz helfen? Es ist alles gut, dass es entlang des Bewegungspfades eine tangentiale Komponente der Kraft gibt, aber wenn ich meinen "Drehpunkt", um den ich das Drehmoment bewerte, als Massenmittelpunkt des Systems definiert habe, kann ich nur sehen, dass die Kraft ist parallel zum Positionsvektor. Ich kann sehen, dass dieses Argument dazu führt, dass am System Arbeit geleistet wird (aufgrund der Verschiebung entlang der Kraftrichtung), aber ich bin nicht vollständig vom Drehmoment überzeugt. Danke für all deine Zeit bisher!
Hmmm ... jetzt zweifle ich an meiner eigenen Argumentation. Ich muss ein bisschen nachdenken, um herauszufinden, wie ich das klären kann, wenn es tatsächlich zusammenhängt. Ich bin sicher, dass ich zeigen kann, dass das Massenelement eine erhöhte lineare Geschwindigkeit aufnimmt, aber ich bin mit dem obigen Text möglicherweise zu weit gesprungen.
@ DWade64 Ich denke, Sie haben genau recht, und es bleibt mir überlassen, dies so umzuformulieren, dass Steinkamps Studenten zufrieden sind. Ich glaube, ich sehe, wie ich vorgehen möchte, brauche aber etwas ungestörte Zeit, um es richtig zu formulieren. Es muss etwas anders sein als das, was ich oben geschrieben habe.

Damon · Answer 2

Ich habe nicht die Möglichkeit, einfach zu kommentieren, also werde ich versuchen, dies in eine Antwort umzuwandeln.

Es scheint, dass der "Bruch in der Logik" beim Versuch der Anwendung kommt $\tau_{ext}=I/\alpha$ zu diesem Problem. Es brachte mich dazu, mir Lehrbücher anzusehen, die ich habe, und nur eines (Halliday und Resnick von damals) sagte tatsächlich ausdrücklich, dass diese Gleichung nur für starre Körper gilt, obwohl sie so abgeleitet wurde. Dies wird oft übersehen, ebenso wie die Warnung davor $F=ma$ gilt nur für Probleme mit konstanter Masse. Dies scheint ein guter Lernpunkt für die Schüler zu sein, dass sie die Grenzen der ihnen gegebenen Gleichungen verstehen müssen.

Die direkte Analogie zwischen dem erwähnten Kohle-/Rutschenproblem ist das Fallenlassen eines konzentrischen, nicht rotierenden Reifens auf eine rotierende Scheibe. Hier haben Sie sich verändert $I$ auf einfach zu berechnende Weise und haben keine äußeren Drehmomente (wenn Ihr System die beiden Objekte ist).

Ein sehr einfacher Fall ohne äußere Drehmomente (keine Kraftperiode!) und einer sich ändernden Winkelgeschwindigkeit (also $\alpha\neq 0$ ), die Ihrem Problem ähnlich ist, ist ein einzelnes Teilchen, das sich in der xy-Ebene parallel zur x-Achse mit y = 1 bewegt. Der Drehimpuls um den Ursprung herum ist konstant, aber die Winkelgeschwindigkeit wird in der Nähe der Achse sehr groß und geht weit vom Ursprung entfernt auf Null. Seit $I$ ändert, kann man die Newtonsche Analogiegleichung nicht verwenden.

Nicht konstante Winkelgeschwindigkeit im Orbit

Steinkamp

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Steinkamp

dmckee --- Ex-Moderator-Kätzchen

Steinkamp

Akkumulation

Steinkamp

DWade64

David Hammen

Antworten (2)

dmckee --- Ex-Moderator-Kätzchen

Anspruchsvolle Ansicht

Klassenzimmeransicht

Arbeiten Sie es als Erhaltungsproblem

Führen Sie die Idee ein, dass Sie einen Begriff für Änderungen der Trägheitstendenz benötigen

Gehen Sie es auf der Ebene der Kräfte und Momente an, um die Notwendigkeit zu einem zweiten Begriff zu motivieren

Steinkamp

dmckee --- Ex-Moderator-Kätzchen

dmckee --- Ex-Moderator-Kätzchen

Damon

Paradoxon der Winkelgeschwindigkeit

Berechnen Sie den Gesamtdrehimpuls eines Objekts, das sich um 2 Achsen dreht (z. B. Erde)

Unter welchen Bedingungen gilt die Beziehung L⃗ =Iω⃗ L→=Iω→\vec{L} =I \vec{\omega}? [Duplikat]

Feynmans Wackelplatte

Winkelbeschleunigung in starren Körpern

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