Rotationsmechanik: Ist Winkelbeschleunigung ohne äußeres Drehmoment möglich?

Die Definition des Drehmoments ist es nicht$\tau=Id\omega/dt$. Wir können nicht einmal Dinge wie definieren$I$Und$\omega$für Rotation, die nicht starr ist.

Die Definition von Drehmoment ist$\tau=dL/dt$. Also ja, es ist möglich, eine Winkelbeschleunigung ohne ein externes Drehmoment zu haben. Ihr Beispiel zeigt richtig, dass dies passieren kann.

Wir können also schlussfolgern, dass der Mann ohne äußeres Drehmoment eine Winkelbeschleunigung hat, was ein offensichtlicher Widerspruch zu den Begriffen ist. Wie bringen wir also den Fall mit dem Konzept in Einklang?

Wir bringen es mit dem Drehimpulserhaltungssatz in Einklang.

Die Winkelgeschwindigkeit des Skaters erhöht sich beim Einziehen der Arme, um den Drehimpuls zu erhalten. Der Drehimpuls des Skaters ändert sich nicht, es sei denn, ein externes Drehmoment wird auf das Objekt ausgeübt. Umgekehrt zu Ihrem Denken ist die Änderung der Winkelgeschwindigkeit darauf zurückzuführen, dass kein externes Drehmoment auf den Skater ausgeübt wird, um den Drehimpuls zu erhalten.

Energieeinsparung:

Die Zunahme der Winkelgeschwindigkeit kann auch durch die Erhaltung der kinetischen Rotationsenergie erklärt werden. Abgesehen von der Reibung gibt es keine äußere Kraft, die eine Änderung der kinetischen Rotationsenergie des Skaters = 1/2 I verursachen kann$a^2$wobei I das Rotationsmoment der Internia des Skaters ist und$a$ist die Winkelgeschwindigkeit des Skaters. Wenn der Skater seine/ihre Arme hineinzieht, verringert sich das Rotationsträgheitsmoment I. Um kinetische Energie zu erhalten, wird die Winkelgeschwindigkeit des Skaters reduziert$a$muss zunehmen. Beachten Sie jedoch, dass es eine innere Kraft war, die es dem Skater ermöglichte, an seinen Armen zu ziehen.

Hoffe das hilft.

Wenn Sie Ihre Arme einziehen, ziehen Sie sie nicht direkt zur Mitte, weil Sie sich drehen, wenn Sie sie einziehen. Hier kommt die Kraft her, die Sie tatsächlich schneller drehen lässt. Sie sollten sich unbedingt dieses Video ansehen , in dem er genau das erklärt. Springen Sie zu 10 Minuten, wenn Sie es eilig haben, aber das ganze Video ist es wert, angesehen zu werden.

Ich weiß, was Sie meinen, dass Erklärungen zur "Erhaltung des Drehimpulses" sich so anfühlen können, als würden sie die Details der tatsächlich wirkenden Kräfte und Drehmomente verbergen. Sie können argumentieren, dass die Erhaltungssätze tatsächlich grundlegender sind, aber beide Erklärungen sind immer möglich und führen immer zum gleichen Ergebnis.

Können wir den obigen Fall mit Hilfe von Kräften erklären, ohne ein Ergebnis wie "Winkelimpulserhaltung" zu verwenden? Ich denke, das wird uns mehr Einblicke in das geben, was genau passiert.

Nun, ja und nein. Denn mit den Winkelerhaltungssätzen kann man das einfach so sagen$L = L$, was bedeutet, dass$I_1 \omega_1 = I_2 \omega_2$, und dann können Sie auf der Rückseite eines Umschlags etwas rechnen, und Sie sind fertig. Deshalb sind Naturschutzgesetze so schön – oft kann man ein Problem enorm reduzieren, wenn man sie benutzt.

Ich werde also nicht die ganze Rechnung machen, weil ich faul bin und weil ich das entsprechende Erhaltungsgesetz habe. Aber im Allgemeinen sei die anfängliche Rotationsgeschwindigkeit des Skaters$\omega_1$. Dann bewegen sich ihre Hände mit einer Geschwindigkeit$\omega_1 r_1$, Wo$r_1$ist der Abstand von ihren Händen zu ihrer Rotationsachse. Als sie ihre Arme einziehen,$r$wird abnehmen; Das bedeutet, dass ihr rotierender Körper versuchen wird, ihre Hände zu verlangsamen (denn wenn$\frac{dr}{dt} < 0$dann ist es so$\omega \frac{dr}{dt} < 0$). Dieser "Versuch, ihre Hände zu verlangsamen" bedeutet, dass sie eine tangentiale Kraft auf ihre Hände ausüben, was bedeutet, dass ihre Hände eine tangentiale Kraft auf ihren Körper ausüben, was bedeutet, dass ihr Körper schneller wird.

Beachten Sie, dass ich von zwei kurzen Gleichungen zu einem langen Absatz übergegangen bin und noch nicht fertig bin.

Wenn Sie dies genau berechnen würden, müssten Sie berücksichtigen, dass Masse entlang ihrer Arme verteilt ist und dass sich ihre Rotationsgeschwindigkeit gleichzeitig mit dem Einziehen ihrer Arme ändert usw. usw. Sie würden am Ende eine partielle Differentialgleichung erhalten, die, wenn ich mich nicht irre (jemand kann mich gerne korrigieren), ebenfalls nichtlinear ist. Sie werden Seiten um Seiten verbrauchen, um zu rechnen, und wenn Sie fertig sind, erhalten Sie das gleiche Ergebnis, als würden Sie nur zwei einfache kurze Gleichungen erstellen .

Also, gerne dabei. Ich danke einfach Gott*, dass wir in einem Universum leben, das rotationssymmetrisch ist und sich mit der Zeit nicht verändert**, und ich werde die zwei Linien der Mathematik machen. Wenn ich zum Beispiel die Kräfte berechnen muss, die beim Ausdehnen und Schrumpfen eines Kreisels beteiligt sind, dann werde ich keine riesige Gleichung formulieren, die nach löst$\omega$-- Ich werde das finden, indem ich die Impulserhaltung im Laufe der Zeit verwende, dann werde ich es finden$\frac{d\omega}{dt}$jederzeit, dann werde ich das verwenden , um alle tangentialen Kräfte zu finden, nach denen ich lösen muss.

* oder zufälliger Zufall oder der universelle Schöpfer Ihrer Wahl

** Und Emily Noerther für den Hinweis, dass die Folge davon die Erhaltung von Rotationsimpuls und Energie ist

1. Winkelbeschleunigung ist nicht dasselbe wie Übersetzungsbeschleunigung. Die Translationsbeschleunigung in einem Objekt kann nicht ohne äußere Kraft auftreten, aber die Winkelbeschleunigung in einem Objekt kann ohne äußeres Drehmoment auftreten.

2. Das externe Drehmoment ist NICHT die einzige Quelle der Winkelbeschleunigung. Winkelbeschleunigung in einem rotierenden Körper kann auftreten, selbst wenn sich das Trägheitsmoment des Körpers ändert.

3. Betrachten wir einen einfachen Fall, in dem sich ein Auto auf einer geraden Straße bewegt und ein Beobachter das Auto aus der Ferne sieht. In diesem Fall hat das Auto eine variable Winkelgeschwindigkeit zum Beobachter und damit auch eine Winkelbeschleunigung. In diesem Fall stellen wir nicht die Frage, welches Drehmoment für die Winkelbeschleunigung des Körpers verantwortlich ist! Daraus folgt, dass es nicht notwendig ist, dass das Drehmoment eine Quelle der Winkelbeschleunigung ist.

4. Im Falle eines rotierenden Mannes, wenn der Mann seine Arme streckt oder zusammenzieht, bewegen sich die verschiedenen Teile der Arme auf einer spiralförmigen Bahn und die Zentripetalkraft bildet entweder einen stumpfen Winkel oder einen spitzen Winkel mit der momentanen Geschwindigkeit eines beliebigen Teils des Arms, was verlangsamt oder beschleunigt den Abschnitt des Arms, der die momentanen Geschwindigkeiten aller Abschnitte des Arms ändert, und daher ändert sich auch die Winkelgeschwindigkeit, und die Änderungsrate der Winkelgeschwindigkeit wird als Winkelbeschleunigung angesehen.

Die folgenden zwei Ressourcen erläutern die obigen Ideen auf erstaunliche Weise.

Ressource 1

Gesetze und Ursachen von VSauce: https://www.youtube.com/watch?v=_WHRWLnVm_M

Ressource 2:

Spinning von Vsauce. https://www.youtube.com/watch?v=XHGKIzCcVa0