Bleibt der Drehimpuls ohne äußeres Drehmoment immer erhalten?

Ja. Für jedes Teilchensystem gilt die folgende Aussage:

Wenn das Nettodrehmoment auf ein Teilchensystem Null ist und wenn die Wechselwirkungen zwischen Teilchen des Systems entlang der sie verbindenden Linien zeigen, bleibt der Gesamtdrehimpuls des Systems erhalten.

Der Beweis im Kontext der klassischen Mechanik ist unten.

Wenn Sie zum Beispiel den Ball auf der Saite nur den Ball betrachten, gibt es ein externes Drehmoment auf den Ball: das der Saite. Eine Feinheit besteht darin, dass, wenn Sie den Ursprung Ihrer Koordinaten als Mittelpunkt des Kreises auswählen, um den er sich dreht, in diesem Fall kein Drehmoment vorhanden ist und der Drehimpuls des Balls tatsächlich erhalten bleibt. Wenn Sie jedoch einen anderen Punkt als Ausgangspunkt wählen, ist es nicht so, dass der Positionsvektor immer entlang der Linie des Spannungsvektors liegt, und daher gibt es ein Drehmoment ungleich Null. Denken Sie daran, dass Sie bei der Berechnung des Drehimpulses und des Drehmoments denselben Ursprung verwenden müssen, damit beide konsistent sind.

Für das umlaufende Beispiel müssen Sie das System betrachten, das aus beiden Planeten besteht, dann gibt es kein externes Drehmoment auf dieses System und der Gesamtdrehimpuls bleibt erhalten.

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nachweisen.

Lassen$m_i$bezeichnen die Teilchenmasse$i$und lass$\mathbf x_i$bezeichnen die Position des Teilchens$i$, dann ist der Gesamtdrehimpuls des Systems definiert als

$$\mathbf L = \sum_i \mathbf x_i\times\mathbf (m_i \dot{\mathbf x}_i)$$ Eine zeitliche Ableitung ergibt $$\dot{\mathbf L} = \sum_i\Big(m_i\dot{\mathbf x}_i\times\dot{\mathbf x_i} + \mathbf x_i\times(m_i\ddot{\mathbf{x}}_i)\Big) = \sum_i\mathbf x_i\times\mathbf F_i$$ Wo $\mathbf F_i$ist die Nettokraft auf jedes Teilchen. Teilen Sie nun die Kraft auf jedes Teilchen in die äußere Nettokraft auf $\mathbf F_i^e$und die Nettokraft aufgrund aller anderen Teilchen im System $$\mathbf F_i = \mathbf F_i^e + \sum_j \mathbf f_{ij}$$ Wo $\mathbf f_{ij}$bezeichnet die Kraft auf das Teilchen $i$wegen Partikel $j$. Dann haben wir $$\dot{\mathbf L} = \sum_i\mathbf x_i\times\mathbf F_i^e + \sum_{ij}\mathbf x_i\times\mathbf f_{ij}$$ nach Newtons drittem Gesetz haben wir $\mathbf f_{ij} = -\mathbf f_{ji}$was dazu führt, dass die letzte Summe verschwindet, vorausgesetzt, dass die Wechselwirkungen zwischen Teilchen entlang der Verbindungslinien zeigen, die uns übrig bleiben $$\dot{\mathbf L} = \sum_i\mathbf x_i\times\mathbf F_i^e$$ wobei der rechte Ausdruck genau das äußere Nettodrehmoment des Systems ist.

Notiz. Die notwendige Annahme, dass die Wechselwirkungen zwischen Partikeln entlang der sie verbindenden Linien zeigen müssen, ist oft vernünftig, da in klassischen mechanischen Systemen in der realen Welt diese Kräfte oft die Coulomb- oder Gravitationswechselwirkungen sind, die diese Eigenschaft haben.