Warum ist der Schwerpunkt der Drehpunkt?

Angenommen, ein Ball bewegt sich horizontal nach rechts und trifft einen vertikalen Stab näher an seinem oberen Ende. Ich verstehe intuitiv, dass der Stock einen Linear- und Drehimpuls haben wird und sich um seinen Massenmittelpunkt drehen wird.

Nehmen wir der Einfachheit halber an, dass der Ball nach dem Aufprall zur Ruhe kommt, so dass sein gesamter Impuls und Drehimpuls auf den Schläger übertragen wird. Während die Einzelheiten, wie wir dies erreichen würden, von der Masse und Geschwindigkeit des Balls und davon abhängen, wo er auf den Schläger trifft, nehmen wir einfach an, dass es so eingerichtet wurde (oder dass es andere interne Wechselwirkungen gibt, die dies zulassen passieren). Wenn Sie Fälle betrachten möchten, in denen der Ball nach der Kollision nicht zur Ruhe kommt, können Sie dies tun, aber ich denke, dass dies für die Frage und Antwort im Moment nicht wesentlich ist.

Nehmen wir auch an, dass die Kollision schnell ist, damit wir nicht in das Durcheinander geraten müssen, über die Kräfte während der Kollision nachzudenken.

Aber warum muss sich die Masse um ihren Schwerpunkt drehen? Warum konnte sich der Schläger nicht einfach horizontal nach rechts bewegen (zusammen mit dem Ball) und sich überhaupt nicht drehen, da der Schwerpunkt des Schlägers an nichts befestigt ist? Es scheint, als gäbe es einen imaginären Stift im Massenmittelpunkt, der ihn um diesen Punkt dreht, unabhängig davon, wo der Ball auftrifft.

Wir können unseren Bezugspunkt so wählen, dass er der Massenmittelpunkt des Objekts ist. Dann hat der Ball einen Drehimpuls ungleich Null um den Bezugspunkt, und da der Ball zur Ruhe kommt, muss der Stock einen Drehimpuls um diesen Punkt aufnehmen. Wenn sich der Stab nicht drehen würde, hätten wir keinen Drehimpuls um den Massenmittelpunkt. Also sind wir uns zumindest einig, dass es eine Art Rotation geben muss.

Aber warum sollte sich das Objekt um den Massenmittelpunkt drehen? Nun, wenn sich das Objekt um einen anderen Punkt dreht, müsste eine Nettokraft auf das Objekt ausgeübt werden (wobei der Schwerpunkt des Objekts immer noch der Bezugspunkt ist).$^*$Aber nach der Kollision wirken keine Kräfte auf den Stick, also kann kein Drehmoment auf den Stick wirken. Die fortgesetzte Drehung um den Massenmittelpunkt ist die einzige Möglichkeit, dass der Drehimpuls des Objekts um den Massenmittelpunkt (unser gewählter Referenzpunkt) konstant bleibt.$^{**}$

Kann der Bezugspunkt an einem anderen Punkt als dem Massenmittelpunkt gewählt werden (aber immer noch auf dem Stick) und das Drehmoment um diesen Punkt berechnen und trotzdem die Bewegung des Sticks nach der Kollision berechnen können? Ich habe darüber nachgedacht, den Punkt, an dem der Ball mit dem Schläger kollidiert, als Bezugspunkt auszuwählen. Dann ist das Drehmoment nach der Definition des Drehmoments 0, was bedeutet, dass es überhaupt keine Drehung gibt? Warum ist diese Begründung falsch?

Sie können jederzeit einen beliebigen Referenzpunkt auswählen, um Dinge wie Drehmoment und Drehimpuls zu berechnen. Sie haben Recht, wenn wir den Referenzpunkt als Kollisionspunkt wählen, dann übt die Kugel kein Drehmoment auf den Schläger aus. Dies bedeutet nur, dass der Drehimpuls des Sticks sein wird$0$ um genau diesen Punkt im Raum . Dies bedeutet nicht, dass sich der Stock nicht dreht, es bedeutet nur, dass Sie den Gesamtdrehimpuls finden würden, wenn Sie den Drehimpuls jedes Teils des Stocks während seiner Bewegung (Translations- und Rotationsbewegung) addieren würden$0$. Beachten Sie noch einmal, dass diese Bedingung nicht erfüllt wäre, wenn der Stab überhaupt nicht gedreht würde.

Wenn es schwieriger ist, sich darum zu kümmern, dann gut. Aus diesem Grund wählen wir normalerweise den Punkt, um den sich das Objekt dreht, als Referenzpunkt und nicht einen anderen Punkt. Die Analyse wird viel einfacher.

$^*$Erinnern,$\mathbf a_\text{COM}=\mathbf F_\text{net}/M$, wenn sich das Objekt also um einen Punkt dreht, der nicht der Massenmittelpunkt ist, dann$\mathbf a_\text{COM}\neq0$und es muss eine Nettokraft auf das Objekt wirken.

$^{**}$Beachten Sie, dass ich hier eine subtile Änderung des Referenzrahmens vorgenommen habe. Bezugspunkt war vor der Kollision der Massenmittelpunkt, der in Ruhe ist. Nach der Kollision betrachten wir das Objekt im Bezugssystem des Objekts. Die obige Analyse wäre immer noch zutreffend, wenn wir im ursprünglichen Bezugsrahmen blieben, aber ich denke, es ist einfacher, in diesen Rahmen an „vor“ und „nach“ der Kollision zu denken. Der Grund, warum wir damit durchkommen, ist, dass sich der Massenmittelpunkt nach der Kollision mit einer konstanten Geschwindigkeit bewegt.

Da Impuls und Drehimpuls erhalten bleiben müssen, besteht die einzige Möglichkeit, sie gleichzeitig zu erfüllen, darin, den Drehpunkt im Massenmittelpunkt zu haben.

Wenn Sie einen Ausdruck für die Vektorsumme der Impulse für alle Teilchen in einem System schreiben und die Definition des Massenschwerpunkts anwenden, stellen Sie fest, dass der Gesamtimpuls als MV in Bezug auf die Gesamtmasse und die geschrieben werden kann Geschwindigkeit des Massenmittelpunktes. Wenn Sie dann eine oder mehrere externe Kräfte auf das System anwenden, ändern ein oder mehrere Teile ihren Impuls mit einer entsprechenden Änderung der Geschwindigkeit des Massenschwerpunkts. (Alle inneren Kräfte treten als gleiche und entgegengesetzte Paare auf und wirken sich nicht auf den Gesamtimpuls aus.) Die Quintessenz ist, dass der Massenmittelpunkt als Reaktion auf die Summe der äußeren Kräfte einer relativ glatten Kurve folgt. Für jeden Teil des Systems, der sich relativ zum Massenmittelpunkt bewegt, kann die Bewegung in eine radiale Komponente und eine, die als Rotation interpretiert werden kann, zerlegt werden. Wenn das System ein starrer Körper ist, dann muss jede Drehung vom gesamten Körper geteilt werden. Der Massenmittelpunkt selbst dreht sich nicht um einen anderen Punkt, es sei denn, er wird durch eine äußere Kraft, wie z. B. die von einer festen Achse, dazu veranlasst. (Anmerkung: Der Massenmittelpunkt des Erde-Mond-Systems folgt einer glatten Bahn um die Sonne.)

Das zweite Newtonsche Gesetz besagt, dass die Änderungsrate des Impulses gleich den Nettokräften ist, die auf einen Körper wirken. Und Impuls ist definiert als das Produkt aus Masse und der Geschwindigkeit des Massenmittelpunkts .

Folglich wirken sich die auf einen Körper wirkenden Nettokräfte nur auf die Bewegung des Massenmittelpunkts als Punkt aus . Der Rest des Körpers kann sich um den Massenmittelpunkt drehen, wenn sich das CM in einer geraden Linie bewegt.

In einem sich mitbewegenden Referenzrahmen erscheint dies, wenn sich der Körper um den Massenmittelpunkt dreht.

Sie können sich diese Situation auch rückwärts vorstellen. Wenn sich der Körper um einen anderen Punkt als den CM drehte , bewegt sich der CM um den Drehpunkt und erfährt eine Beschleunigung. Das kann aber nur passieren, wenn Kräfte auf den Körper einwirken. Dann kann sich der Körper nicht frei bewegen, sondern wird auf andere Weise eingeschränkt .