Kugel rollt eine Stufe hinauf [geschlossen]

Eine Kugel vom Radius R rollt ohne Schlupf mit der Geschwindigkeit v und stößt unelastisch auf eine Stufe der Höhe h < R. Mit welcher Mindestgeschwindigkeit kommt die Kugel über die Stufe?

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Relevante Gleichungen

Gesamte kinetische Energie (vielleicht): 1 2 ICH ω 2 + 1 2 M v 2

Gravitationspotentialenergie: M G H

Trägheitsmoment um einen Punkt im Abstand d vom CM vom Massenmittelpunkt: ICH = ICH C M + M D 2
Rollen ohne zu rutschen

v = ω R

Eine Diskussion des Problems Dieses Problem ist für mich verwirrend: Ich weiß, dass die Kollision unelastisch ist, also gibt es keine Erhaltung der kinetischen Energie, es gibt ein Drehmoment, wenn die Kugel die Stufe schwenkt, also bleibt der Drehimpuls auch nicht erhalten, der lineare Impuls nicht. Ich gebe nicht viele Informationen und obwohl ich versucht habe zu sehen, welche Bedingung das Drehmoment um den Drehpunkt benötigt (um ein Nettodrehmoment in Drehrichtung zu geben und somit den Schritt zu passieren), kann ich nicht sehen, welches Drehmoment überwinden kann die von der Schwerkraft, die die Kugel nicht nach oben rutschen lässt:

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Die Kugel hat eine Winkelgeschwindigkeit, aber mir fehlt etwas Konzeptuelles, weil ich nicht herausfinden kann, wie ich formal feststellen kann, dass sich der Drehimpuls um den richtigen Betrag geändert hat, damit die Kugel den Schritt passiert hat.

Der Lösungsversuch

Mein (mit ziemlicher Sicherheit falscher) Versuch war zu sagen, dass die Kugel aufgrund der Änderung der potentiellen Energie kinetische Energie verloren hat:

1 2 ICH ω 2 + 1 2 M v 2 + M G R = M G ( R + H ) v = 10 7 G H

Ich hoffe ihr könnt mir helfen :)

Sind Sie sicher, dass der Stoß unelastisch ist?
Der schwierige Teil besteht darin, herauszufinden, wie sich die Kugel unmittelbar nach dem Kontakt mit der Stufe bewegt. Es wird nicht klar gesagt. Die Geschwindigkeit des Berührungspunktes ist 0 . Angenommen, die Stufe wäre höher als die Kugel. Besteht das Problem darin, dass die Kugel ihre gesamte Vorwärtsgeschwindigkeit verlieren würde, sich aber mit derselben Geschwindigkeit weiterdreht? Da es nicht rutscht, würde es dann eine vertikale Geschwindigkeit annehmen und die Wand hochrollen.
Ihre Lösung geht davon aus, dass bei der Kollision mit der Stufe kein KE verloren geht. Wie in der Frage angegeben, ist dieser Stoß jedoch völlig unelastisch: Die Relativgeschwindigkeit zwischen der Kugel und der Stufennormalen auf der gemeinsamen Oberfläche wird Null. Es geht also etwas KE verloren, bevor die Kugel beginnt, um den Kontaktpunkt zu rollen.
Ja, das ist mir klar, ich habe das Problem einfach nicht richtig gedacht, das Wort Kollision hat viele Überlegungen, die mein "statischer" Ansatz nicht berücksichtigt.
Die Frage ist zwar eine Hausaufgabe, aber qualitativ hochwertig und interessant.
Eine Standardfrage zur Eignungsprüfung für die Promotion, die einen in der Prüfungssituation verrückt machen kann.

Antworten (2)

Der Drehimpuls kann erhalten bleiben, aber nur unter einer bestimmten Bedingung.

Drehimpuls kurz vor dem Stoß um einen Punkt = Drehimpuls kurz nach dem Stoß um denselben Punkt.

Daher erhalten wir den Drehimpuls um die Spitze der Erhebung (wie im zweiten Bild gezeigt).

Drehimpuls um externen Punkt in kombinierter Translation und Rotation = L C Ö M + M v R S ich N θ

L 1 = M v ( R − H ) + ICH ω
L 2 = ( ICH + M R 2 ) ω 2
L 1 = L 2
Auch , ω = v R (reines Rollen)

M v ( R − H ) + ICH ω = ( ICH + M R 2 ) ω 2
ω 2 = M v ( R − H ) + ICH ω ICH + M R 2

Nun sollte die kinetische Energie kurz nach der Kollision gerade ausreichen, um die Kugel um h anzuheben.

1 2 ( ICH + M R 2 ) ω 2 2 = M G H

Danke, ich hatte Schwierigkeiten mit der Erhaltung des Drehimpulses, weil in einem statischen Aufbau ein Drehmoment vorhanden ist. Aber Sie und @Farcher haben deutlich gemacht, dass ich es als Kollision betrachten muss und dieses Drehmoment ignorieren kann. Auch in der letzten Gleichung sollte sein . . . = M G ( R + H ) Rechts?
Es freut mich, David. Obwohl ich glaube, dass die letzte Gleichung immer noch mgh sein sollte, da die potenzielle Anfangsenergie mgR war und die potenzielle Endenergie mg (R + h) ist und daher die Differenz mgh sein wird.
Ja, ich habe die fehlende potentielle Energie auf der linken Seite übersehen.

Sie müssen die Drehimpulserhaltung und die Energieerhaltung verwenden, aber Sie müssen ihre Verwendung rechtfertigen.

Wenn die Kugel auf die Stufe trifft, wirken drei Kräfte auf sie ein.

  • Das Gewicht der Kugel
  • Die normale Reaktion des Schrittes auf der Kugel.
  • Die Reibungskraft auf der Kugel.

Betrachtet man die Drehmomente um den Berührungspunkt der Kugel und den auf die Kugel wirkenden Schritt, so hatte man keine Schwierigkeiten, die Normalkraft und die Reibungskraft zu eliminieren, da sie kein Drehmoment um den Berührungspunkt ausüben.

Wie bei vielen Kollisionsproblemen müssen Sie sich darüber im Klaren sein, dass die Normalkräfte und die Reibungskraft Impulskräfte sind, das Gewicht jedoch nicht.
Es wird also davon ausgegangen, dass die "Kollision" über einen sehr kurzen Zeitraum erfolgt und die Impulskräfte sehr viel größer sind als das Gewicht der Kugel.
Das wiederum bedeutet, dass der Impuls durch das Gewicht über die Dauer des „Aufpralls“ sehr klein ist und vernachlässigt werden kann.
Ich habe versucht, dies hier zu zeigen.

Da also die "Kollision" zwischen der Stufe und der Kugel über einen so kurzen Zeitraum stattfindet, kann das Impulsdrehmoment aufgrund des Gewichts der Kugel vernachlässigt und die Drehimpulserhaltung um den Kontaktpunkt verwendet werden.

Unmittelbar nach der "Kollision" zwischen der Kugel und der Stufe nehmen Sie an, dass es kein Rutschen zwischen der Kugel und der Stufe gibt, sodass die normale Reaktionskraft und die Reibungskraft zwischen der Kugel und der Stufe keine Arbeit leisten, da sich diese Kräfte nicht bewegen.
Die einzige Kraft, die Sie berücksichtigen müssen, ist also das Gewicht der Kugel, das im Massenmittelpunkt der Kugel wirkt.
Sie können dann die Energieerhaltung verwenden, um die durch das Gewicht geleistete Arbeit (oder die Änderung der potenziellen Energie der Gravitation des Systems Kugel und Erde) mit der Änderung der kinetischen Energie der Kugel gleichzusetzen.

Führt die Reibungskraft zwischen Kugel und Stufe nicht zu einem impulsiven Drehmoment und hindert uns daran, den Drehimpuls zu erhalten?
Die Reibungskraft wirkt an dem Punkt, um den das Drehmoment berechnet wird, der Spitze der Stufe.
oh sorry mein schlecht.
Vielen Dank, Ihre Antwort hat alles zusammengestellt, worüber ich verwirrt war, als ich über das Problem nachdachte. Es gab viele Bedingungen zu beachten, denn wie Sie gesagt haben, müssen Sie auch davon ausgehen, dass es nach der Kollision nicht zu einem Ausrutschen kommt, was für mich eine wilde Vermutung ist. Danke nochmal.
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