Impuls und Impuls auf ein System aus drei Teilchen (gleichseitiges Dreieck)

Diese Frage hat weder Stimmen noch Antworten gebracht, vielleicht weil es, wie sich herausstellte, nicht so kompliziert war. Auf jeden Fall schlage ich dennoch eine ausführliche Antwort vor, nur für den Fall.

Auflösen für$\dot x$Und$\dot \theta$

Der oben aufgebrachte Impuls würde als Änderung des linearen Impulses des Teilchensystems definiert werden. Der Einfachheit halber verwenden wir Partikel$B$als Bezugspunkt.

$$\begin{equation} \hat{\mathbf{J}} = \sum\limits_{i=1}^{3}\Delta \mathbf{p_i} \end{equation}$$

Wo$\hat{\mathbf{J}}$ist der Gesamtimpulsvektor, der auf das System einwirkt, bestehend aus der Horizontalen$\hat{F}$und der vertikale Beschränkungsimpuls$\hat{N}$; Und$\sum\limits_{i=1}^{3}\Delta \mathbf{p_i}$ist die Summe der linearen Impulsvariation der Systemteilchen. Da sich das System anfänglich in Ruhe befindet , sind die Anfangsgeschwindigkeiten seiner Teilchen null, sodass die Variation des linearen Impulses einfach die Summe ihrer einzelnen Endimpulse ist.

Denn Teilchen$A$Und$C$unterliegen einer linearen Geschwindigkeit$\dot x$resultierend aus dem Gleiten von Partikeln$B$; und zu einer Winkelgeschwindigkeit$\dot\theta$resultierend aus der Rotation um Teilchen$B$; Die obige Gleichung kann dann entwickelt werden als:

$$\begin{equation} \left(\hat{F}\,\vec{i}+\hat{N}\,\vec{j}\right) = m\left( \left( -l\frac{\sqrt{3}}{2}\vec{i} + \frac{l}{2}\vec{j} \right) \times \dot\theta\vec{k} + \dot x\vec{i} \right) + m\left( l\vec{j} \times \dot\theta\vec{k} + \dot x\vec{i} \right) + m\dot x\vec{i} \end{equation}$$

Wo$\vec{i}$,$\vec{j}$Und$\vec{k}$sind Einheitsvektoren des Rahmens und der$\times$Operator bezeichnet das Kreuzprodukt zwischen Vektoren. Auf der rechten Seite der obigen Gleichung entspricht der erste Term dem linearen Impuls des Teilchens$C$, der mittlere entspricht dem linearen Impuls des Teilchens$A$und der letzte Term ist der lineare Impuls des Teilchens$B$die nur einer Gleitbewegung unterliegt.

Durch die Entwicklung der obigen Gleichung, die$\hat{F}$Und$\hat{N}$Komponenten des angelegten linearen Impulsvektors$\hat{\mathbf{J}}$werden als horizontaler linearer Impuls identifiziert, der auf Partikel angewendet wird$A$:

$$\begin{equation} \hat{F} = 3m\dot x + \frac{3}{2}m l \dot\theta \end{equation}$$

und der lineare Beschränkungsimpuls, der von der tragenden Basis auf das Partikel ausgeübt wird$B$:

$$\begin{equation} \hat{N} = \frac{\sqrt{3}}{2}m l \dot\theta \end{equation}$$

Da die Einschränkung linearer Impuls$\hat{N}$wird als Folge des linearen Impulses angesehen$\hat{F}$und der Wert von$\hat{N}$unbekannt ist, brauchen wir noch eine Gleichung, um nach zu lösen$\dot x$Und$\dot \theta$Werte. Teilchen halten$B$als Bezugspunkt für den Drehimpuls jedes Teilchens finden wir$\dot x$Und$\dot \theta$ohne lösen zu müssen$\hat{N}$. Somit können wir einen Zusammenhang zwischen dem Winkelimpuls bei angeben$B$resultierend aus dem linearen Impuls auf Teilchen$A$und die Variation des Drehimpulses jedes Teilchens:

$$\begin{equation} \hat{\mathbf{M}} = \sum\limits_{i=1}^{3}\Delta \mathbf{H_i} = \sum\limits_{i=1}^{3}\mathbf{r}_i \times \Delta \mathbf{p_i} \end{equation}$$

Wo$\hat{\mathbf{M}}$steht für den Winkelimpuls um das Teilchen$B$des linearen Impulses$\hat{F}$aufgetragen auf$A$;$\sum\limits_{i=1}^{3}\Delta \mathbf{H_i}$stellt die Summe der einzelnen Drehimpulse dar$B$von Partikeln$A$Und$C$; Und$\mathbf{r}_i$ist der Vektor, der von ausgeht$B$zu den anderen Teilchen.

Auf der linken Seite der obigen Gleichung haben wir

$$\begin{equation} \hat{\mathbf{M}} = \hat{F}\,\vec{i} \times l\vec{j} = \hat{F}l\vec{k} \end{equation}$$

und auf der rechten Seite, da für die Anfangsgeschwindigkeiten gilt:

$$\begin{equation} \sum\limits_{i=1}^{3}\mathbf{r}_i \times \Delta \mathbf{p_i} = \left( -l\frac{\sqrt{3}}{2}\vec{i} + \frac{l}{2}\vec{j} \right) \times \left( m\left( \frac{l}{2}\dot\theta + \dot x \right)\vec{i} + ml\theta\frac{\sqrt{3}}{2}\vec{j} \right) + l\vec{j} \times m(l\dot\theta + \dot x)\vec{i} \end{equation}$$

wobei das erste Kreuzprodukt für den Drehimpuls des Teilchens steht$C$um$B$; und das zweite Kreuzprodukt steht für den Drehimpuls des Teilchens$A$um$B$. Durch Entwicklung dieser letzten Gleichung mit der von$\hat{M}$kurz davor finden wir das

$$\begin{equation} \hat{F}l = \frac{3}{2}ml\dot x + 2ml^2\dot\theta \end{equation}$$

Indem man sich also an die horizontale lineare Impulsgleichung erinnert , während man ein System mit der obigen Gleichung bildet,

$$\begin{equation} \hat{F} = 3m\dot x + \frac{3}{2}m l \dot\theta \end{equation}$$

wir können nach den Werten von auflösen$\dot x$Und$\dot\theta$:

$$\begin{equation} \dot\theta = \frac{2\hat{F}}{5ml} \end{equation}$$

Und

$$\begin{equation} \dot x = \frac{2\hat{F}}{15ml} \end{equation}$$

Auflösen nach dem Wert des linearen Zwangsimpulses$\hat{N}$

Durch Abrufen der zuvor erhaltenen vertikalen linearen Impulsgleichung

$$\begin{equation} \hat{N} = \frac{\sqrt{3}}{2}m l \dot\theta \end{equation}$$

und durch Eingeben des Werts der Winkelgeschwindigkeit$\dot\theta$gleich darüber:

$$\begin{equation} \hat{N} = \frac{\sqrt{3}}{5}\hat{F} \end{equation}$$