Vorzeichen falsch im Drehimpuls (Quantenmechanik)

Ihr Ausdruck ist mathematisch korrekt, aber ich denke, das Problem ist, dass die "$\vec r$"Sie verwenden in der$2$Art von Gleichungen ist nicht gleich, also kann man nicht vergleichen.

Der "$\vec r$"Sie verwenden mit$\vec n \wedge \vec r$, stellt eindeutig Koordinaten dar, und Koordinaten ändern sich unter einer infinitesimalen Drehung.

Bei der zweiten Art von Gleichungen verwenden Sie Differentialoperatoren, die auf "physikalische" Funktionen von angewendet werden$\vec r$. Nehmen wir zum Beispiel das Beispiel der Temperatur$T(\vec r)$. Dies ist eine vom physikalischen Raumpunkt abhängige physikalische Größe. Der Koordinatenwechsel$\vec r \to \vec {r'}$ändert den physikalischen Raumpunkt und seine Temperatur nicht, es entspricht nur einer Änderung des Koordinatensystems, also der neuen Temperatur$T'(\vec {r'})$muss verifizieren$T'(\vec {r'}) = T(\vec r)$und die Änderung der Temperatur in Abhängigkeit von den Anfangskoordinaten$\vec r$, geht wie die Umkehrung der Variation der Koordinaten :

$\vec r \to \vec r' = \vec r + \delta \vec r, \quad \quad T(\vec r) \to T'(\vec r)=T(\vec r - \delta \vec r), \quad \quad T'(\vec {r'}) = T(\vec r)$

Jetzt können Sie überlegen$\vec r_f$, als physikalische Funktion von$\vec r$, mit$\vec r_f(\vec r) = \vec r$, im anfänglichen Koordinatensystem , also haben wir die folgende Variation für die Funktion$\vec r_f$:

$\vec r = \vec r_f(\vec r) \to \vec r'_f(\vec r) =\vec r_f(\vec r - \delta \vec r) = \vec r - \delta \vec r\quad \quad \vec {r'}_f(\vec {r'}) = r_f(\vec r)$

Also überlegen$\vec r$als Koordinaten, oder$\vec r$als Funktion geben$2$verschiedene Arten von Variationen. Als Koordinaten haben Sie$\vec r \to \vec r + \delta \vec r$, und als körperliche Funktion haben Sie$\vec r \to \vec r - \delta \vec r$