Gibt es einen Nachweis für den Rollzustand?

Wenn Sie nach einem Beweis fragen, der "Rollen ohne Rutschen" bedeutet$v=r\omega$, Hier ist eins:

Wenn wir sagen, dass ein Objekt "rollt, ohne zu rutschen", bedeutet dies die Strecke, die das Objekt in einer bestimmten Zeit zurücklegt$\Delta t$ist genau gleich der Bogenlänge, die ein Punkt auf dem Rad beim Rotieren zurücklegt. (Um zu verstehen, warum dies der Fall ist, betrachten Sie das Gegenteil: Wenn ein Rad rutscht, passiert eines von zwei Dingen: Es legt entweder eine Strecke zurück, ohne sich zu drehen, oder es dreht sich, ohne eine Strecke zurückzulegen. Im ersteren Fall die Bogenlänge dass ein Punkt auf dem Rad kürzer ist als die zurückgelegte Strecke, im letzteren Fall größer. Die Forderung, dass es nicht rutscht, bedeutet daher, dass beides nicht zutrifft, was Gleichheit garantiert. Das können Sie auch sehen, wenn Sie Stellen Sie sich vor, Sie würden den Boden auf ein Rad "aufrollen", während es rollt, oder äquivalent, wenn Sie sich das Rad als eine Schnurspule vorstellen, die sich beim Rollen entwirrt.)

In einem Zeitintervall$\Delta t$, ein mit konstanter Winkelgeschwindigkeit rotierendes Rad$\omega$wird eine Gesamtbogenlänge von drehen$s=r\theta=r\omega\Delta t$. Ebenso in einem Zeitintervall$\Delta t$, ein Objekt, das sich mit konstanter Geschwindigkeit fortbewegt$v$wird eine Strecke zurücklegen$d=v\Delta t$. Einstellung$s=d$Gemäß unserer Argumentation im ersten Absatz sehen wir das

oder gleichwertig

Da wir oben keine anderen Annahmen als "Rollen ohne Rutschen" auferlegt haben, haben wir damit bewiesen, dass die Aussage, dass ein Objekt ohne Rutschen rollt, dem Setzen entspricht$v=r\omega$.

„Rollen ohne Rutschen“ lässt sich nicht beweisen. Vielmehr ist es ein Modell, eine Denkweise über eine Situation, die oft eine nützliche Annäherung sein kann. Sie verwenden es, wenn es genau genug ist, um zu helfen. Verwenden Sie es nicht, wenn die Situation anders ist und es nicht hilft.

• Ein Fahrradrad, das sich langsam auf dem Bürgersteig bewegt: ok
• Dasselbe Rad, das während eines Sprungs durch die Luft fliegt: nicht ok
• Autoreifen auf trockener Fahrbahn im Stadtverkehr: ok

• Autoreifen auf F1-Rennwagen, der die Box in einer Wolke aus Reifenrauch verlässt: nicht ok

• Für ein Navigationssystem, das genau entscheiden möchte, wie weit Ihr Auto gefahren ist: vielleicht ja, vielleicht nein. Hängt davon ab, wie genau Sie sein müssen.

Viele Physikmodelle sind so. Es ist ein Urteilsvermögen, sie zu verwenden, sie sind manchmal nicht das, was Sie für die Situation brauchen, die Sie haben, aber sie werden gelehrt, weil sie oft nützlich sind.