Rollen ohne zu rutschen, den Kontaktpunkt als Drehpunkt nehmend

Die Bewegungsgleichung

$$\text{torque about stationary geometrical point O} = \text{moment of inertia w.r.t. O} \times \text{angular acceleration w.r.t. O}$$

gilt nur, wenn die Bewegung des Körpers eine ebene Drehung um eine Achse ist, die durch O geht. Dies ist der Fall, wenn der Punkt O beim Rollen ohne Schlupf als Berührungspunkt des Körpers angenommen wird, nicht aber beim Rollen mit Schlupf. Allgemein gültige Version des Drehmoment-Winkelimpulssatzes ist

$$\text{torque about stationary geometrical point O} = \ = \frac{d}{dt}\left(\text{angular momentum w.r.t. stationary geometrical point O}\right).$$

Wenn der Körper mit Schlupf rollt, gibt es keinen stationären geometrischen Punkt O auf dem Boden, für den der Drehimpuls geschrieben werden könnte$I_O\omega_O$mit$I_O$konstant in der Zeit und die letztere Gleichung reduziert sich nicht auf die erstere.

Als unausgeglichene Kraft,$\mathbf{f}$wirkt, um die Platte zu beschleunigen. Da es sich am unteren Rand der Scheibe befindet, muss O ebenfalls beschleunigen und befindet sich daher in einem nicht-trägen Bezugssystem.

In diesem nicht trägen Rahmen erscheinen fiktive Kräfte, die der Beschleunigung entgegenwirken. Wir können eine Kraft ziehen$\mathbf{f'}$die durch den Massenmittelpunkt in entgegengesetzter Richtung wirkt$\mathbf{f}$.

Da es durch den Massenschwerpunkt wirkt, liefert es ein Drehmoment relativ zu O und kann die Winkelgeschwindigkeit reduzieren.

Bei dieser Art von Problem können Sie zwei Kräfte addieren, die am Massenmittelpunkt wirken und deren Resultierende Null ist.
Dieses Drei-Kräfte-System kann nun folgendermaßen betrachtet werden.

Die Reibungskraft$f$ist genau gleichbedeutend mit einer Kraft gleicher Größe, deren Wirkungslinie durch den Massenmittelpunkt der Scheibe verläuft (blau dargestellt) und einem Kräftepaar$f$rot dargestellt, die ein Paar darstellen.
Die blauen Kräfte erzeugen die lineare Beschleunigung des Massenschwerpunkts der Scheibe und das Paar erzeugt das Drehmoment auf der Scheibe und damit die Winkelbeschleunigung der Scheibe.

Ich nahm an, dass die Winkelgeschwindigkeit (und so$α$) ist das gleiche, wenn ich den Schwerpunkt oder den Punkt als Drehpunkt nehme$O$.

Wenn dies der Fall ist, kann das Parallelachsentheorem verwendet werden

Sie mischen Rotation und kreisförmige Translation. Die Winkelgeschwindigkeit wird in Bezug auf die (augenblickliche) Rotationsachse definiert, die Sie nicht beliebig wählen können. Sie wird durch die Kinematik des Körpers im gewählten Bezugsrahmen auferlegt; es hat die Eigenschaft, keine (augenblickliche) Geschwindigkeit zu haben. Hier,$O$(als Punkt des Randes) bewegt sich sowohl im CM-Rahmen als auch im Ebenenrahmen.

Sie können die Sätze von König auf jede feste Achse Ihrer Wahl anwenden. Wählen wir einen beliebigen Punkt$A$des Flugzeugs . Ich rufe$C$die cm,$\hat x$ist nach rechts,$\hat y$ist in der Figur,$\hat z$ist nach oben. Königs 1. ^Satz :

$$\vec L_A=I_C\vec ω+\vec{AC}×m\vec v=(I_Cω+rmv_x)\hat y.$$

Drehmoment von$\vec f$gegenüber$A$ist also Null$\vec L_A$ist konstant, also auch$I_Cω+rmv_x$. Dann

$$I_C\dot ω+rma_x=0,$$ was mit deinem Gleichungssystem übereinstimmt $(1)$im cm-Rahmen erhalten.

Wenn Reibung stattfindet, impliziert dies, dass sich der Massenmittelpunkt verlangsamt. Um das Newtonsche Gesetz einfach anzuwenden, muss man im Inertialsystem bleiben. Alternativ, wenn man das Problem in einem Nicht-Trägheitsbezugssystem diskutiert, eine gewisse Trägheitskraft $\vec{f}_{int}$sollten der Analyse angemessen hinzugefügt werden, um die Gültigkeit des Gesetzes wiederherzustellen. Lassen Sie uns im Folgenden verschiedene Herangehensweisen an das Problem diskutieren.

(1) Betrachten wir eine Analyse, die in einer relativ bewegungslosen Referenz bezüglich des Massenmittelpunkts der Scheibe durchgeführt wurde. Es ist ein Ansatz im Nicht-Trägheitssystem und der einfachste Ansatz für das Problem. Per Definition wirkt die betreffende Trägheitskraft auf den Massenmittelpunkt mit der gleichen Größe der Reibung, aber in entgegengesetzter Richtung. Wir stellen fest, dass die Trägheitskraft die Gleichungen in Bezug auf den Massenmittelpunkt nicht ändert; aber im zweiten Fall, wenn die Analyse am Drehpunkt am Rand der Scheibe durchgeführt wird (siehe 2 unten).

Genauer gesagt lautet die Bewegungsgleichung in Bezug auf den Massenmittelpunkt

$$\vec{\tau}=\vec{r} \times (\vec{f}+\vec{f}_{int})=\vec{r} \times \vec{f} =I_{cm} \dot{\vec{\omega}} \tag{1}$$

Als Nebenbemerkung ist Farchers Antwort dieser Lösung äquivalent und höchst wünschenswert: Die Bewegung des Massenmittelpunkts eines starren Körpers wird durch die Gesamtmasse und die Summe der äußeren Kräfte bestimmt; die Drehung des starren Körpers wird durch das Trägheitsmoment (oder besser den Trägheitstensor bezogen auf den Massenmittelpunkt) und die Summe der äußeren Drehmomente bestimmt. Wenn wir den Massenmittelpunkt als Ursprung des Koordinatensystems nehmen und das Trägheitsmoment auswerten, haben wir es mit einem nicht-trägen Bezugssystem zu tun. Diese Sichtweise beinhaltet jedoch nicht explizit den Begriff der Trägheitskraft, da (i) die Trägheitskraft die Bewegung des Massenmittelpunkts nicht beeinflusst und (ii) in diesem Fall die Trägheitskraft durch den Massenmittelpunkt geht, also es trägt nicht zum Drehmoment bei.

(2) Versuchen wir nun, die Bewegungsgleichung bezüglich des Kontaktpunktes aufzuschreiben$O$. Genauer gesagt sitzt der Kontaktpunkt am Rand der Scheibe senkrecht unter dem Massenmittelpunkt, der sich mit der gleichen Geschwindigkeit/Beschleunigung wie dieser bewegt. Mit anderen Worten, wir diskutieren das Problem im gleichen nicht-inertialen Bezugssystem wie oben, nehmen aber den Ursprung des Koordinatensystems als Kontaktpunkt. Dabei kommt explizit die Trägheitskraft zum Tragen. Die Bewegungsgleichung lautet

$$\vec{\tau}'=\vec{r}' \times (\vec{f}+\vec{f}_{int})=\vec{r}' \times \vec{f}_{int} =\dot{\vec{L}}=I_{cm} \dot{\vec{\omega}'}+\dot{\vec{L}}_{cm} \tag{2}$$ Wo $I_{cm} \dot{\vec{\omega}'}$ist die Änderungsrate des Winkelmoments in Bezug auf den Massenmittelpunkt, und $\dot{\vec{L}}_{cm}$ist der Masseschwerpunkt selbst. Wir bemerken hier, dass man den Ausdruck für das Trägheitsmoment (auch nicht den Parallelachsensatz) nicht verwenden kann, um das Winkelmoment der Scheibe um den Punkt zu berechnen $O$, da letzterer kein (zeitlicher) Fixpunkt auf dem Körper ist (vgl. Gl. (3) in 3 und vgl. 4 unten).

Es ist nicht schwierig zu zeigen, dass Gl. (2) äquivalent zu Gl. (1) ist, indem beachtet wird$\vec{f}_{int}=-\vec{f}$(durch die Definition der Trägheitskraft),$\vec{r}'=-\vec{r}$(aufgrund der Orte des Ursprungs und des Punktes, an dem die betreffende Kraft angreift),$\vec{\omega}=\vec{\omega}'$(die gleiche Winkelgeschwindigkeit der Scheibe in Bezug auf den Massenmittelpunkt) und$L_{cm}=0$(da der Schwerpunkt in diesem Bezugssystem bewegungslos ist).

(3) Nun, dem obigen Gedankengang folgend, möchte man vielleicht das Problem in Bezug auf den festen Drehpunkt am Rand der Scheibe (der sich zusammen mit der Scheibe dreht und mit dem Kontaktpunkt zusammenfällt) angehen$O$nur zu einem bestimmten Zeitpunkt). Auf den ersten Blick mag dies wünschenswert sein, da wir uns nun der Definition von bedienen können$I_0$. Dies stellt sich jedoch tatsächlich als der komplizierteste Ansatz heraus. Um die Ableitung des Winkelmoments zu berechnen, wird einerseits das Konzept der zeitlichen Ableitung im rotierenden Bezugssystem benötigt . Tatsächlich lautet in diesem Fall die Ableitung des Drehmoments

$$\dot{\vec{L}}=I_{o} \dot{\vec{\omega}'}+\vec{\omega}'\times \vec{L} \tag{3}$$ Andererseits sind zur Berechnung des Drehmoments zusätzliche Terme der Trägheitskraft wie die Coriolis-Kraft erforderlich , da das Koordinatensystem nicht nur kein Inertail ist, sondern auch eine Radial- und Winkelgeschwindigkeit in Bezug auf ein Trägheitskoordinatensystem besitzt. Es ist nicht ganz trivial, die Äquivalenz zu zeigen, aber sie ist impliziert. Weitere Informationen finden Sie in „Classical Dynamics“ von Goldstein.

(4) Last but not least gibt es noch ein weiteres Szenario, wenn man die Analyse in Bezug auf den momentanen Kontaktpunkt auf dem Boden durchführt (da es sich um einen festen Punkt auf dem Boden handelt, also auch um den Kontaktpunkt$O$nur zu einem bestimmten Zeitpunkt). Der Unterschied besteht darin, dass wir in diesem Fall das Problem im Inertialsystem behandeln. Als Ergebnis können wir die Newtonsche Bewegungsgleichung ohne Trägheitskraft aufschreiben. Es ist eine gute Übung zu zeigen, dass sich das Drehmoment des Systems (der Scheibe) tatsächlich nicht mit der Zeit ändert, natürlich in Bezug auf den obigen Fixpunkt auf dem Boden:

$$\vec{\tau}''=\vec{r}'' \times \vec{f}=0 \tag{4}.$$

Tatsächlich kann man explizit zeigen, dass sich die Zunahme des Drehmoments bezüglich des Massenschwerpunkts genau mit der Abnahme des Drehmoments des Massenschwerpunkts bezüglich des Festpunkts auf dem Boden aufhebt. Wieder unter Verwendung der Formel, dass das Drehmoment eines Systems massiver Punkte als Summe des Drehmoments des Massenmittelpunkts und des Drehmoments einzelner massiver Punkte in Bezug auf den Massenmittelpunkt geschrieben werden kann, die Es zeigt sich also, dass das Drehmoment erhalten bleibt. Es wird auch angemerkt, dass die Definition des Trägheitsmoments auch in diesem letzten Fall nicht viel Sinn macht (in dem Sinne, dass es keine Zeitkonstante ist), weil es in Bezug auf einen festen Punkt auf dem starren Körper definiert werden sollte aussagekräftig sein.