Eine Frage zum Tennisschlägersatz mit entarteten Eigenwerten I1,I2,I3I1,I2,I3I_1, I_2 , I_3

Wiederholte Anwendung der Eulerschen Gleichungen

$$\forall i ~\in~\mathbb{Z}_3:~~ \dot{L}_i~\equiv~ I_i \dot{\Omega}_i~=~\Omega_{i+1}(I_{i+1}-I_{i-1}) \Omega_{i-1} \tag{1}$$

führt zu

$$\begin{align}\forall i ~\in~\mathbb{Z}_3:&~~\cr I_1I_2 I_3 \ddot{\Omega}_i~&\stackrel{(1)}{=}~(I_{i+1}-I_{i-1}) \Omega_i\left\{(I_i -I_{i+1}) I_{i+1}\Omega_{i+1}^2- (I_i -I_{i-1}) I_{i-1}\Omega_{i-1}^2\right\} . \end{align}\tag{2}$$

Beobachtung für später:

$$\forall i ~\in~\mathbb{Z}_3:~~\left( I_{i+1}=I_{i-1}\qquad \stackrel{(1)}{\Rightarrow} \qquad \Omega_{i}, L_{i}\text{ are constants}\right).\tag{3}$$

Annehmen, dass

$$I_1~\geq~ I_2~ \geq~ I_3 .\tag{4}$$

Es gibt mehrere Fälle:

• Fall$I_1>I_2>I_3$: Euler-Gl. (1) haben nur die drei Hauptachsen als Gleichgewichtspunkte$\dot{\vec{\Omega}}=0$.

  1. Die große und die kleine Hauptachse sind stabil, vgl. ein geometrisches Standardargument, bei dem der Schnittpunkt einer Drehimpulskugel und eines Energieellipsoids eine kleine Schleife ist, siehe zB die Phys.SE-Antworten von Emilio Pisanty , Michael Seifert und ZeroTheHero .

  2. Die Zwischenachse $\vec{\Omega}\approx (0,\Omega_2,0)$Ist$\color{red}{\text{unstable}}$, vgl. ein analytisches Standardargument

     $$\ddot{\Omega}_i~\stackrel{(2)}{\approx}~\color{red}{+}\omega^2_2 \Omega_i, \qquad i\in{1,3}, \tag{5}$$ Wo $$\omega_2~:=~\Omega_2\sqrt{\frac{(I_1-I_2)(I_2-I_3)}{I_1I_3}}, \tag{6}$$ siehe zB die Phys.SE-Antwort von David Bar Moshe .

• Fall$I_1=I_2>I_3$: Dann$\Omega_3$Und$L_3$sind Konstanten, vgl. Gl. (3). Dann

  $$\ddot{\Omega}_i~\stackrel{(2)}{=}~-\omega^2_3 \Omega_i, \qquad i\in{1,2}, \tag{7}$$ Wo $$\omega_3~:=~\Omega_3\sqrt{\frac{(I_1-I_3)(I_2-I_3)}{I_1I_2}}~=~{\rm const}. \tag{8}$$ Fazit: Es gibt eine (langsame) Präzession von$\vec{\Omega}$Und$\vec{L}$um die dritte Achse mit Winkelfrequenz$\omega_3$. Mit anderen Worten: Wenn$\vec{\Omega}$nahe an der dritten Achse ist, wird es nahe bleiben; während wenn$\vec{\Omega}$in der Nähe der Hauptebene ist, wird es nicht an Ort und Stelle bleiben, sondern in der Hauptebene präzedieren.

• Fall$I_1>I_2=I_3$: Dann$\Omega_1$Und$L_1$sind Konstanten, vgl. Gl. (3). Dann

  $$\ddot{\Omega}_i~\stackrel{(2)}{=}~-\omega^2_1 \Omega_i, \qquad i\in{2,3}, \tag{9}$$ Wo $$\omega_1~:=~\Omega_1\sqrt{\frac{(I_1-I_2)(I_1-I_3)}{I_2I_3}}~=~{\rm const}. \tag{10}$$ Fazit: Es gibt eine (langsame) Präzession von$\vec{\Omega}$Und$\vec{L}$um die erste Achse mit Kreisfrequenz$\omega_1$. Mit anderen Worten: Wenn$\vec{\Omega}$nahe an der ersten Achse ist, bleibt es nahe; während wenn$\vec{\Omega}$in der Nähe der Hauptebene ist, wird es nicht an Ort und Stelle bleiben, sondern in der Hauptebene präzedieren.

• Fall$I_1=I_2=I_3$:$\vec{\Omega}$Und$\vec{L}$sind Konstanten, vgl. Gl. (3).

Interessanterweise lassen sich die degenerierten Fälle exakt mit geschlossenen Formeln lösen.

[Oben haben wir das implizit angenommen$\omega_i$in Gl. (6), (8) und (10) sind nie genau Null, sondern strikt positiv. In der Praxis ist dies wahr.]