Kreiselpräzession und Euler-Gleichungen

Ich habe so lange versucht, dieses Problem zu lösen, aber die Lösung, die ich gefunden habe, ist nicht die, die ich erwartet hatte. Im Grunde muss ich die Eulerschen Gleichungen für einen Kreisel mit einem Gewicht im Abstand d lösen. Da das Trägheitsmoment für Achse 1 und 2 gleich ist ($I_{1} = I_{2} = I$):

$$\dot{\omega}_{1}I - (I-I_{3}) \omega_{2}\omega_{3} = 0$$ $$\dot{\omega}_{2}I + (I-I_{3}) \omega_{3}\omega_{1} = mgd$$ $$\dot{\omega}_{3}I = 0$$ Das ist trivial$\omega_3$ist konstant, also haben wir: $$(\dot{\omega_2} + i\dot{\omega_1}) - \Omega i (\omega_2 + i \omega_1) = \alpha$$ $$\dot{u} - \Omega i u = \alpha$$ Wo$\Omega = \frac{I-I_3}{I}\omega_3$Und$\alpha = mgd/I$. Wenn$\vec{\omega}_0 = (0,0, \omega_3)$die anfängliche Winkelgeschwindigkeit ist, lautet die Lösung für diese Gleichung: $$\omega_2 = \frac{\alpha}{\Omega} \sin(\Omega t)$$ $$\omega_1 = \frac{\alpha}{\Omega} (1-\cos (\Omega t))$$

Jetzt kommt, was ich nicht ganz verstehe: Ich verstehe, dass diese Geschwindigkeiten relativ zu den körperfesten Achsen sind, und um sie zu verstehen, muss ich die Eulerschen Winkelgeschwindigkeiten finden (ich meine, die Geschwindigkeiten relativ zu den Eulerschen Winkeln). Wenn ich das tue, finde ich, dass ich die Gleichungen wie folgt ausdrücken muss:

$$\omega_1 = \dot{\phi} \sin{\theta} \sin{\psi} + \dot{\theta} \cos{\psi}$$

$$\omega_2 = \dot{\phi} \sin{\theta} \cos{\psi} - \dot{\theta} \sin{\psi}$$

$$\omega_3 = \dot{\phi}\cos{\theta} + \dot{\psi}$$

Wenn ich das vermute$\theta = \pi /2$Und$\dot{\theta} = 0$(nach dem, was ich gesehen habe, gibt es keine Nutation) Das verstehe ich$\omega_3 = \dot{\psi}$, das Ergebnis, das ich erwartet hatte, aber wenn ich die gleichen Bedingungen auf die anderen beiden Gleichungen anwende, erhalte ich:

$$\dot{\phi} = \sqrt{\omega_1^2+ \omega_2} = \frac{\alpha \sqrt{2}}{\Omega} \sqrt{1-\cos (\Omega t)}$$ Ich bin mir ziemlich sicher, dass diese Antwort falsch ist: Nach dem, was ich gesehen habe, ist die gyroskopische Präzessionsgeschwindigkeit konstant und hört nie auf. Ich habe mich gefragt, ob Sie mir helfen könnten, herauszufinden, wo ich falsch liege, und es mir erklären könnten. Vielen Dank!