Was ist die Physik einer sich drehenden Münze?

Ich denke, wenn Sie "perfekt" drehen (dh so, dass die Rotationsachse normal zur Oberfläche steht und durch den Mittelpunkt der Münze geht), ist dies nur eine Rotationsbewegung mit Reibung. Diese Bewegung ist jedoch instabil, daher neigt sich die Achse ein wenig und dies verursacht eine Rotation in der Achse selbst, die Präzession . Der Kontaktpunkt bewegt sich mit der Präzession, vielleicht können Sie seine Position mit geometrischen Argumenten berechnen, obwohl es eine kreisförmige / spiralförmige / zykloide Bewegung sein sollte (wenn Sie in der Münze eine Bewegung in eine bestimmte Richtung sehen, liegt dies nur daran, dass von der Art und Weise, wie Sie den Spin oder die Münze gemacht haben oder weil der Tisch schief oder unvollkommen ist).

Ich kenne Ihren Wissensstand nicht, aber für eine vollständige Beschreibung benötigen Sie Kenntnisse über Hamilton-Dynamik, starre Körper und Euler-Winkel, also im Grunde einen Kurs der klassischen (auch analytischen ) Mechanik. Ein sehr häufiges, verwandtes Problem ist das Problem des Kreisels, der Unterschied hier ist, dass der Kontaktpunkt materiell ist, also müssen Sie sehen, ob Sie sehen müssen, ob der Kontaktpunkt rutscht oder nicht (wenn nicht, schafft es eine Drehung um die senkrecht zur Münze stehende Achse).

Ich persönlich denke, dass es sich um ein kompliziertes, aber irgendwie behandelbares Problem handelt (mit viel Geduld).

Es gibt keinen einfachen Weg, eine sich drehende Münze zu modellieren und diese Beobachtungen zu berechnen. Es verlangsamt sich hauptsächlich aufgrund von Luftwiderstand und Reibung (hier müssen Sie in Ihrem Fall die geschwindigkeitsabhängige Reibungswinkelgeschwindigkeit nehmen) und bewegt sich aufgrund der Kombination aus Schwerkraftdrehmoment (auch bekannt als Präzession) und Reibung. Geschwindigkeitsabhängige Reibungen liefern im Allgemeinen nichtlineare Differentialgleichungen, die oft sehr schwer zu handhaben sind. Wenn Sie hamiltonsche und kanonische Gleichungen schreiben, werden Sie wahrscheinlich einige gekoppelte nichtlineare partielle Differentialgleichungen erhalten, die am schlechtesten zu lösen sind.

Darüber hinaus beginnt sich der Kontaktpunkt (auf der Münze) zu bewegen, nachdem es langsam genug geworden ist, und nach dieser Zeit sollten Sie die Rollreibung berücksichtigen.

Wenn Sie einen idealisierten Fall ohne Reibung und Luftwiderstand betrachten, ist die Münze ein perfekter Kreis, von dem nur ein winziger elementarer Teil den Boden berührt. dann können Sie es einfach als eine Scheibe behandeln, die sich um den Durchmesser dreht.

Aber das ist natürlich nicht das, wonach Sie gefragt haben: Wir wollen den allgemeinen Fall, in dem alle Kräfte eine Rolle spielen, da dies im wirklichen Leben passiert.

Nun, eine Möglichkeit, die Sie nehmen können, besteht darin, jede elementare Parie im Abstand r vom Durchmesser zu betrachten und eine zusätzliche Kraft -bv hinzuzufügen (da der Luftwiderstand proportional zur Geschwindigkeit dieses Punktes ist) und zu erklären, warum sie langsamer wird.

Aber warum es nicht an der gleichen Stelle bleibt, liegt daran, dass es weder ein perfekter Kreis noch eine 2-D-Scheibe ist. Es ist ein Zylinder und sein Kontaktpunkt ist nicht nur ein einzelner Punkt. und der Reibungskoeffizient auf dem Boden ist nicht überall gleich, was zu einer Nettotranslation führt.

Analytisch, wenn die Münze statisch ist, lässt sie die Schwerkraft auf eine Seite fallen. Aber wenn es sich dreht und die Schwerkraft jeden Kontaktpunkt nach unten und in den Rotationskreis zieht.

Hier wird die innere Zugkomponente mit hoher Geschwindigkeit aufgehoben, da jeder Kontaktpunkt sie hat. Dies wird verifiziert, da die Achsen der Münze immer geneigt sind und sich drehen, um einen Kegel zu bilden.

Wenn die Geschwindigkeit verringert wird, bewirkt die innere Kraft, dass es sich etwas mehr biegt als zuvor, wodurch der Umfang der Kontaktpunkte effektiv erhöht wird. Dies verlängert die Zeit, um die innere Kraft aufzuheben, und die Münze fällt langsam herunter.