Warum fallen Kreisel nicht um?

Dies ist ein ziemlich altes Thema, aber ich hatte das Gefühl, dass ich das habe, wonach Sie suchen.

Als Antwort auf einige der Antworten schreiben Sie:

Da die Winkelbeschleunigung immer tangential ist, würde ich erwarten, dass die Spitze nach außen spiralförmig ist, bis sie auf den Boden fällt.

Absolut, damit sollten Sie rechnen. Und das tut es ... momentan. Die endgültige Lösung ist etwas komplizierter als nur eine gleichmäßige Drehung um die vertikale Achse.

Um dies zu verstehen, stellen Sie sich vor, Sie nehmen einen Kreisel, den Sie gerade abgesetzt haben$t = t_0$auf dem Boden. Was nun im nächsten Moment passiert, ist genau das, was Sie intuitiv erwarten – der Kreisel beginnt unter dem Einfluss der Schwerkraft zu fallen und$\phi$(Notation siehe Abbildung ) beginnt ab zu steigen$\phi \rightarrow \phi + \delta \phi$zum Zeitpunkt$t_1$. Folglich der Drehimpuls$\mathbf{L}$der Top-Änderungen.

Dies ähnelt dem, was in der 2. Abbildung auf der Hyperphysik-Seite passiert, wo$\delta \mathbf{L}$ist in Richtung$\delta \theta$, nur jetzt$\delta \mathbf{L}$in die Richtung$\delta \phi$und liegt in der die Längsachse enthaltenden Ebene$L_A$der Oberseite und der zentralen vertikalen Achse$V_A$.

Zunehmend$\phi$senkt den Schwerpunkt des Kreisels und damit seine potentielle Energie um einen Betrag$-\delta U$. Unter Annahme der Energieerhaltung bedeutet dies eine Zunahme der kinetischen Energie$\delta K$von oben. Da die Spitze gezwungen ist, einen linearen Impuls von Null zu haben, ist dies$\delta K$trägt vollständig zur Rotationsenergie des Kreisels bei.

Beachten Sie jedoch, dass sich der Kreisel jetzt um zwei verschiedene Achsen dreht. Die eine Komponente ist die ursprüngliche Drehbewegung um die eigene Längsachse und die andere die durch die Schwerkraft induzierte Rotation um die Drehrichtung$N_A$ normal zu der Ebene enthaltend$L_A$und$V_A$. deshalb, die$\delta K$muss zwischen diesen beiden Bewegungen angemessen aufgeteilt werden. Mal sehen, wie das passiert.

Das Trägheitsmoment des Kreisels ($I_A$) um die Achse$L_A$deutlich weniger ($I_V$) um die Achse$N_A$. Dies gilt für alle außer den seltsamsten Oberteilen. Überzeugen Sie sich selbst, dass dies der Fall ist. In Schaltungen fließt mehr Strom durch Pfade mit geringerem Widerstand. Ebenso wird in der Mechanik mehr Energie auf das Bauteil mit geringerer Trägheit übertragen. Somit ist der größere Teil von$\delta K$wird dazu führen, den Drehimpuls des Kreisels um seine Längsachse zu erhöhen$L_A$um einen gewissen Betrag$\delta L'$

Die Erhaltung des Drehimpulses erfordert nun, dass dieser Zunahme ein Drehmoment entspricht. Die Wirkung dieses induzierten Drehmoments besteht darin, dass das fallende Oberteil beginnt, wieder nach oben zu schwingen. Auf diese Weise zeichnet die Spitze des Kreisels anstelle einer Spirale so etwas wie eine Zykloide nach, während sie um die Mittelachse präzediert.

Das Diagramm scheint jedoch anzuzeigen, dass die Spitze in einem Kreis und nicht in einer Spirale präzedieren sollte.

Die Kreisbahn ist eine nur im Grenzbereich erreichte Idealisierung$\omega_s / \omega_p \rightarrow \infty$, wo$\omega_s$ist die Spinwinkelgeschwindigkeit und$\omega_p$ist die Präzessionswinkelgeschwindigkeit. Jedes Top mit realistischen Werten von$\omega_s$und$\omega_p$wird endlich "wackeln".

Ich hätte von dieser ziemlich ausgefeilten Dynamik nichts gewusst, wenn nicht einer von Feynmans Vorlesungsbänden (Teil I, glaube ich) gewesen wäre, wo diese Frage sehr detailliert behandelt wird!

Die obige Beschreibung ist ein wenig auf der handgewellten Seite und es gibt wahrscheinlich Fehler in meiner Argumentation. Für das vollständige Kahuna schauen Sie sich die Feynman-Vorlesungen an!

                          Cheers,

Wenn es sich dreht, ist sein Drehimpuls ziemlich hoch. Durch Drehimpulserhaltung ist der Kreisel dann stabiler gegen kleine Drehmomente wie die Wirkung der Schwerkraft auf den Kreisel.

Der Drehimpuls der Spitze ist$J = I \omega$wo$I$ist der Trägheitstensor und$\omega$ist der Darboux-Vektor, dessen Betrag proportional zur Drehzahl ist.

Eine ausführliche Diskussion finden Sie auf dieser Seite von Hyperphysics .

Der Punkt ist, dass Erhaltungsprinzipien im Allgemeinen nicht intuitiv sind. Warum sollte zum Beispiel Energie gespart werden? Man muss die beteiligten Dynamiken im Griff haben, um sie zu verstehen.

Jedenfalls hat die Präzession des Kreisels nichts mit der Erhaltung des Drehimpulses zu tun. Es hat mit der seltsamen Natur des Drehmoments und seiner Wechselwirkung mit dem Drehimpuls zu tun. Wenn eine Kraft auf einen Kreisel wirkt, entnimmt er ein Drehmoment senkrecht zu der Ebene, die durch die Kreiselachse und die Richtung der Schwerkraft definiert ist, die eine vertikale Ebene ist. Diese Richtung ist horizontal. Andererseits ist das Drehmoment die Änderungsrate des Drehimpulses. Das bedeutet, dass die Richtung des Drehmoments die Richtung ist, in die sich der Vektor des Drehimpulses ändert. Da das Drehmoment also horizontal und senkrecht zum Drehimpuls ist, kann es die Richtung des Drehimpulses nur entlang der horizontalen Richtung und nicht zum Boden ändern. Das bedeutet, dass der Drehimpulsvektor mit dem Rücken zum Boden steht, an dem Punkt, an dem die Spitze des Kreisels den Boden berührt und sein Kopf einen Kreis auf einer zum Boden parallelen Ebene ausführt. Diese Bewegung ist die Präzession des Kreisels.

Schließlich denke ich, dass der Grund für die Annahme einer viel schnelleren Rotation als der Präzession für den Kreisel darin besteht, die Berechnungen zu vereinfachen und den Kreisel als Kreisel zu betrachten.

Wenn sich die Masse dreht, hat sie einen Drehimpuls, der in eine Richtung senkrecht zu der Ebene zeigt, auf der sie sich dreht.

Der Drehimpuls muss erhalten bleiben, dh immer in die ebene-senkrechte Richtung zeigen. Wie Cedric sagte, sorgt die Schwerkraft dafür, dass die Achse der sich drehenden Masse horizontal auf die Ebene fällt: Wenn dies geschieht, auch der Drehimpuls als Drehmoment! und das ist aus energiespargesichtspunkten nicht bequem..

Dann können Sie bedenken, dass die Größe des Drehimpulses proportional zur Drehgeschwindigkeit ist: Je höher die Drehgeschwindigkeit wird, desto "leichter" wird es für den Kreisel, der Schwerkraft zu widerstehen.

Wenn Sie versuchen, einen Kreisel auf einer schiefen Ebene zu drehen, müssen Sie ihn schneller drehen, um den gleichen "Widerstand gegen die Schwerkraft" zu erreichen!

Die schnelle Antwort lautet: Damit der Kreisel aufgrund der Schwerkraft umfällt, muss jedes Fragment des Kreisels, das sich um die Drehachse bewegt, seine individuelle Bewegungsrichtung ändern. Sie ändern bereits ihre Richtung um die Drehachse, da die Starrheit des Kreisels sie in einer Kreisbewegung hält. Aber die Schwerkraft wirkt im 90º-Winkel zu ihrer Bewegungsrichtung, und ihre Wirkung hängt von der Geschwindigkeit oder Trägheit des Fragments ab. Bei einem schnell rotierenden Kreisel verursacht diese leichte Richtungsänderung die Präzession des Kreisels. Und wenn es langsamer wird, wirkt sich die Schwerkraft stärker aus und es fällt um. Es ist eine ähnliche Situation wie bei der Änderung der Umlaufbahn eines Satelliten mit Seitentriebwerken.

Aus deinem verlinkten Artikel :

Drehen Sie einen Kreisel auf einer flachen Oberfläche, und Sie werden sehen, wie sich sein oberes Ende langsam um die vertikale Richtung dreht, ein Prozess, der als Präzession bezeichnet wird. Wenn sich die Drehung des Kreisels verlangsamt, werden Sie sehen, dass diese Präzession immer schneller wird. Es beginnt dann während der Präzession auf und ab zu schaukeln und fällt schließlich um .

Die Zeichnung zeigt einen Kreis anstelle einer Spirale, da Variablen wie Reibung und Schwerkraft weggelassen wurden.

Dies ist ein schönes Beispiel, das zeigt, dass das Verständnis nicht automatisch nach Abschluss einer Berechnung erfolgt. Aber die Berechnung dient immer noch als (vielleicht wichtigste) Orientierungshilfe. Niemand in den obigen Ausführungen hat die Diskussionen erwähnt, die in \ittext{Landau & Lifshitz, Mechanics (BH, 3rd ed.), Seite 112} gegeben wurden. Ich denke, diese Diskussionen haben das Problem bereits verdeutlicht. Leider gingen sie mit Euler-Winkeln vor. Ich habe ihre Diskussionen hier neu formuliert . Ich hoffe, das hilft.