Wie wirkt sich die Präzession auf den Drehimpuls aus?

Einführungsbücher setzen das immer voraus$\omega$ist viel größer als die Präzessionswinkelgeschwindigkeit. In diesem Fall vereinfacht sich das Problem dahingehend, dass wir den Drehimpuls aufgrund der Präzessionsbewegung vernachlässigen können. Wenn Sie den gesamten Drehimpuls einbeziehen, benötigen Sie aufgrund von Euler eine viel fortgeschrittenere Theorie, die den Trägheitstensor beinhaltet . Das Problem mit der Vereinfachung ist, dass viele Bücher Ihnen nicht sagen, dass ihre Erklärung eine Annäherung ist.

Es hat einen Drehimpuls in vertikaler Richtung, sodass Ihre Probleme gelöst werden sollten. Es gibt ein horizontales Drehmoment, also zeichnet der nach oben geneigte Drehimpulsvektor einfach einen Kegel nach, bei dem seine Änderungsrate immer horizontal ist. Die vertikale Komponente wird normalerweise sehr klein sein, stellt aber keine Probleme dar, sie bleibt einfach konstant.

Nein, Sie haben völlig recht, wenn es um Ihre Herkunft geht$O$In der Abbildung oben wirkt das einzige Drehmoment in tangentialer Richtung. Es gibt natürlich eine Winkelgeschwindigkeit$\alpha$im$z$Richtung. Die Wirkungsweise ist die radiale Komponente des Drehimpulses$\vec{L}$Prozesse und$\frac{d\vec{L}}{dt}=|\vec{L}|\alpha \hat {\theta}$, Wo$\hat{\theta}$ist der Einheitsvektor in tangentialer Richtung. Gleichsetzen des bekannten Drehmoments mit$\frac{d\vec{L}}{dt}$würde Ihnen jetzt die Präzessionsfrequenz geben$\alpha$.

Diese von Ihnen verlinkte Lösung hat wahrscheinlich Notationsfehler, da sie darauf hinzudeuten scheint, dass sich der radiale Drehimpuls durch die Änderung ändert$\frac{d\vec{\omega}}{dt}$, was einfach nicht möglich ist, da in radialer Richtung kein Nettodrehmoment auftreten kann.

Das Interessante ist, dass der Kreisel jetzt auch in vertikaler Richtung einen kleinen konstanten Drehimpuls aufnimmt, wenn der Drehimpuls anfangs rein radial war. Damit sind die Lager in der Nähe des Kontaktpunktes gemeint$O$eine Tangentialkraft und damit zunächst für einen sehr kurzen Zeitraum ein vertikales Drehmoment erzeugen, um die Winkelgeschwindigkeit einzustellen$\alpha$des Gyroskops.

Dies ist die Animation der exakten Lösung

Wie Sie sehen können, haben Sie zwei zusätzliche Winkelgeschwindigkeiten, mit denen Ihre Lösung eine Lösung im stationären Zustand ist$~\dot\vartheta=0~,\vartheta=0~$und der Trägheitstensor