Kann eine Präzession ohne äußere Kräfte stattfinden?

Jeder sich drehende Körper mit einem nicht skalaren Trägheitstensor ( d. h. der Trägheitstensor ist nicht proportional zur Identitätsmatrix) hat seine Drehimpuls- und Winkelgeschwindigkeitsvektoren in unterschiedlichen Richtungen, es sei denn, die Winkelgeschwindigkeit verläuft entlang einer Hauptachse (einem der drei orthogonalen Eigenvektoren des symmetrischen Trägheitstensors). Darüber hinaus ändert sich der Trägheitstensor vom Standpunkt eines Trägheitsbeobachters mit der Zeit, wenn sich der Körper relativ zum Beobachter dreht.

Daher muss der Drehimpuls unter drehmomentfreien Bedingungen konstant bleiben; daher ändert sich aus den obigen Überlegungen die Winkelgeschwindigkeit des Körpers ständig.

Das ist sehr schwer vorstellbar!

Es gibt noch einen weiteren deutlichen Effekt, der nicht ganz als drehmomentfrei bezeichnet werden kann, bekannt als der Tennisschläger-Effekt . Diese entsteht, wenn alle drei Hauptträgheitsmomente ( also Eigenwerte des Trägheitstensors) unterschiedlich sind. In diesem Fall ist die Drehung um die Eigenvektoren, die den höchsten zwei Trägheiten entsprechen, stabil, aber die Drehung um die dritte ist es nicht. Das heißt, wenn ein noch so kleines Drehmoment die Winkelgeschwindigkeit ändert, wenn sich der Körper um diese dritte Achse dreht, wächst die Störung der Bewegung mit der Zeit, und der Körper kann wild herumschlagen. Siehe das Video im verlinkten Wikipedia-Artikel.

Die Änderung der Rotationsachse auch ohne angelegtes Drehmoment ist ein Effekt, der in 3-Dimensionen möglich ist, aber nicht in 2-Dimensionen.

Der Drehimpuls um eine Achse$\vec L$wird von gegeben$\vec L = I \vec \omega$Wo$I$ist das Trägheitsmoment um die Achse und$\vec \omega$ist die Winkelgeschwindigkeit um die Achse.

Angenommen, Sie beobachten einen asymmetrischen Körper mit Gesamtdrehimpuls$\vec L$wirken keine äußeren Kräfte auf den Körper ein, so ist der Gesamtdrehimpuls des Körpers konstant.

Angenommen, ein Bezugsrahmen ist relativ zum Massenmittelpunkt des Körpers (der sich nicht bewegt) festgelegt, dann müssen die x-, y- und z-Komponenten des Drehimpulses konstant sein -$\vec L = \vec L_x + \vec L_y +\vec L_z$.

Da der Körper asymmetrisch ist, wenn er sich relativ zum Bezugssystem dreht, ändert sich sein Trägheitsmoment um eine Achse zB von$I_x$Zu$I_x^\prime$und dies wiederum ändert die Winkelgeschwindigkeit um diese Achse ab$\omega_x$Zu$\omega_x^\prime$unter der Bedingung, dass der Drehimpuls in x-Richtung,$L_x = I_x \omega_x$Zu$I_x^ \prime \omega_x^\prime$, bleibt konstant.

Das bedeutet, dass Sie als Rotation des Objekts die anfängliche Winkelgeschwindigkeit beobachten,$\vec \omega = \vec \omega_x + \vec \omega_y +\vec \omega_z$, Wechsel zu einer neuen Winkelgeschwindigkeit,$\vec \omega^\prime = \vec \omega_x^\prime + \vec \omega_y^\prime +\vec \omega_z^\prime$.
Sie beobachten also eine Richtungsänderung der Rotationsachse, obwohl sich der Gesamtdrehimpuls nicht mit geändert hat$\vec L = I_x \vec \omega_x + I_y \vec \omega_y+ I_z \vec \omega_z=I_x^ \prime \vec \omega_x^\prime+I_y^ \prime \vec \omega_y^\prime+I_z^ \prime \vec \omega_z^\prime$.

Eine vollständige Analyse erfordert, dass man die gesamte kinetische Energie des Objekts beibehält,$\frac{1}{2}I_{\rm x} \omega_{\rm x}^2+\frac{1}{2}I_{\rm y} \omega_{\rm y}^2+\frac{1}{2}I_{\rm z} \omega^2_{\rm z}$, konstant und damit auch gleich$\frac{1}{2}I'_{\rm x} {\omega'}_{\rm x}^2+\frac{1}{2}I'_{\rm y} {\omega'}_{\rm y}^2+\frac{1}{2}I'_{\rm z} {\omega'}^2_{\rm z}$.

Hier sind einige Links, die von Interesse sein könnten?

Wikipedia - Präzession - Drehmomentfrei

Wikipedia - Poinsots Konstruktion

Eine wunderbare 3D-Starrkörpersimulation und beginnen Sie mit der Betrachtung des Drehimpulsvektors und des Winkelgeschwindigkeitsvektors, um die Präzession zu beobachten.

Artikel - Starre Körperbewegung in Stereo-3D-Simulation

Erlauben Sie mir, Ihre Frage umzuformulieren, es scheint mir, dass die folgende Formulierung dem Fall, an den Sie denken, näher kommt:

Kann sich ein starrer, axialsymmetrischer Körper ohne äußere Kraft so bewegen, dass seine Bewegung nicht axialsymmetrisch ist?

(Natürlich habe ich die Frage so formuliert, dass die Antwort "Ja" lautet.)

Ein rotierendes axialsymmetrisches Objekt kann ein anhaltendes Wackeln haben. Die Natur dieses Wackelns besteht darin, dass die Symmetrieachse einen Kegel ausstreicht. Dieses Wackeln kann genauso gut zusätzlich zu einer Präzessionsbewegung auftreten, in diesem Fall wird das Wackeln als „Nutation“ bezeichnet. Wenn sich ein Kreiselrad in einer kombinierten Präzessions- und Nutationsbewegung befindet, ist die Amplitude der Nutationsbewegung kleiner als die Amplitude der Präzessionsbewegung, und die Frequenz der Nutation ist höher (in den meisten Fällen weit höher) als die Frequenz der Präzessionsbewegung .

Für das Wackeln im Fall ohne externe Kraft:
Man könnte die Erwartung haben, dass, wenn Sie ein Objekt werfen und ihm eine Drehung geben, sich das Objekt in dem Moment, in dem Sie loslassen, in eine nicht wackelnde Drehung einpendelt. Aber tatsächlich kann und wird ein Objekt, wenn es mit Spin geworfen wird, ein anhaltendes Wackeln haben, wenn es zufällig so geworfen wurde.

Es gibt eine Geschichte, die als „Feynmans Wackelplatte“ bekannt ist. Feynman saß in einer Cafeteria der Universität, wo er einen Lehrauftrag hatte, und wie Feynman erzählte: „Ein Typ, der herumalbert, wirft einen Teller in die Luft. Als der Teller in die Luft flog, sah ich, wie er wackelte, und ich Ich bemerkte, dass das rote Medaillon von Cornell auf dem Teller herumging. Es war ziemlich offensichtlich für mich, dass das Medaillon schneller herumging als das Wackeln.

Es gibt ein YouTube-Video mit dem Titel Feynmans Wackelplatte . Es zeigt einige Aufnahmen einer tatsächlich geworfenen Platte, gefolgt von einer mathematischen Diskussion der Rotationsdynamik.

Anmerkung:
In meiner umformulierten Version der Frage habe ich die Bedingung 'achsensymmetrischer Körper' hinzugefügt, weil man in diesem Fall vielleicht erwarten könnte, dass er nicht wackeln kann - obwohl er es kann. Im Gegensatz dazu behandeln die beiden früheren Antworten auf diese Frage weniger symmetrische Formen, bei denen Sie eine komplizierte Taumelbewegung erwarten.