Bestimmung des Drehimpulses in einem Spezialfall

Question

Bestimmung des Drehimpulses in einem Spezialfall

Schwarzer Kugelblitz

Nehmen wir an, es gibt einen starren Körper M, der sich um eine Achse dreht, die nicht mit einer Winkelgeschwindigkeit vorbeiläuft $\omega$ durch seinen Massenmittelpunkt und gleichzeitig mit einer Geschwindigkeit übersetzen $v$ . Was wäre der Ausdruck für den Drehimpuls dieses Körpers um einen Punkt P, der sich im Raum außerhalb des Körpers in einem Abstand befindet $r$ vom Massenmittelpunkt des starren Körpers?

Ich habe herausgefunden, wie man den Ausdruck für den Drehimpuls für den Fall schreibt, in dem sich der starre Körper mit einer bestimmten Winkelgeschwindigkeit um eine Achse bewegt und dreht , die durch seinen Massenmittelpunkt verläuft

RW Vogel

Bewegt sich ein Körper ohne Einwirkung äußerer Kräfte frei, so muss sich der Massenmittelpunkt geradlinig bewegen. Jede Drehung muss um den Massenmittelpunkt erfolgen. Jede außermittige Rotation würde eine extern eingeschränkte Achse erfordern, und der Drehimpuls um einen externen Punkt würde nicht erhalten bleiben.

John Alexiou

@RWBird - Die kombinierte Drehung um den Massenmittelpunkt und die Verschiebung des Massenmittelpunkts bedeutet, dass der sofortige Drehmittelpunkt vom Massenmittelpunkt entfernt sein wird.

John Alexiou

Bitte bearbeiten Sie den Beitrag und zeigen Sie Ihre Arbeit, damit wir im selben Rahmen beitragen können.

Schwarzer Kugelblitz

Ok, nehmen wir an, es wirken äußere Kräfte auf den starren Körper, die eine Rotation um einen anderen Punkt auf dem starren Körper als den Massenmittelpunkt verursachen. Außerdem befasse ich mich nicht mit der Erhaltung des Drehimpulses, ich bin nur daran interessiert, den zu finden Ausdruck für dasselbe.

QMechaniker

Kleiner Kommentar: Winkelgeschwindigkeit ist nicht 'W'. Es ist ein griechisches Omega.

Schwarzer Kugelblitz

Das weiß ich, konnte es aber nicht schreiben

John Alexiou

Geben Sie Mathematik in Dollarzeichen ein. Das $x+1$ zeigt sich also als

x + 1

$x+1$ . Verwenden Sie für griechische Buchstaben \omega, \alpha... Verwenden Sie für Kreuzprodukte \timesund Brüche \frac{a}{b}=>

\frac{a}{b}

$\frac{a}{b}$ . Lesen Sie hier mehr

Schwarzer Kugelblitz

Danke für die Hilfe!

Antworten (3)

Bestimmung des Drehimpulses in einem Spezialfall

Bewegt sich ein Körper ohne Einwirkung äußerer Kräfte frei, so muss sich der Massenmittelpunkt geradlinig bewegen. Jede Drehung muss um den Massenmittelpunkt erfolgen. Jede außermittige Rotation würde eine extern eingeschränkte Achse erfordern, und der Drehimpuls um einen externen Punkt würde nicht erhalten bleiben.
@RWBird - Die kombinierte Drehung um den Massenmittelpunkt und die Verschiebung des Massenmittelpunkts bedeutet, dass der sofortige Drehmittelpunkt vom Massenmittelpunkt entfernt sein wird.
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Ok, nehmen wir an, es wirken äußere Kräfte auf den starren Körper, die eine Rotation um einen anderen Punkt auf dem starren Körper als den Massenmittelpunkt verursachen. Außerdem befasse ich mich nicht mit der Erhaltung des Drehimpulses, ich bin nur daran interessiert, den zu finden Ausdruck für dasselbe.
Kleiner Kommentar: Winkelgeschwindigkeit ist nicht 'W'. Es ist ein griechisches Omega.
Geben Sie Mathematik in Dollarzeichen ein. Das $x+1$ zeigt sich also als $x+1$ . Verwenden Sie für griechische Buchstaben \omega, \alpha... Verwenden Sie für Kreuzprodukte \timesund Brüche \frac{a}{b}=> $\frac{a}{b}$ . Lesen Sie hier mehr

Eli · Answer 1

Die Winkelgeschwindigkeit des Punktes p ist:

{\vec{ω}}_{P} = \frac{\vec{u} \times {\vec{v}}_{P}}{{\vec{u}}^{T} \vec{u}}

$\vec{\omega}_p=\frac{\vec{u}\times \vec{v}_p}{\vec{u}^T\,\vec{u}}$

Wo $\vec{v}_p$ ist die Geschwindigkeit des Punktes p:

{\vec{v}}_{P} = \vec{v} + \vec{ω} \times \vec{u}

$\vec{v}_p=\vec{v}+\vec{\omega}\times \vec{u}$

Und $\vec{u}=\vec{r}-\vec{u}_1$

Der Drehimpuls ist:

L = {ICH}_{P} {\vec{ω}}_{P}

$L=I_p\,\vec{\omega}_p$

mit $I_p$ der Trägheitstensor im Punkt p

{ICH}_{P} = {ICH}_{KOM} + M (- \tilde{R} \tilde{R})

$I_p=I_{\text{COM}}+M\,(-\tilde{{r}}\,\tilde{{r}})$

Wo :

\tilde{R} = [\begin{matrix} 0 & - R_{z} & R_{j} \\ R_{z} & 0 & - R_{X} \\ - R_{j} & R_{X} & 0 \end{matrix}]

$\tilde{r}=\begin{bmatrix} 0 & -r_z & r_y \\ r_z & 0 & -r_x \\ -r_y & r_x & 0 \\ \end{bmatrix}$

Und $I_{\text{COM}}$ die Trägheitsmatrix (Tensor) an der COM

{ICH}_{KOM} = [\begin{matrix} {ICH}_{X X} & {ICH}_{X j} & {ICH}_{X z} \\ {ICH}_{X j} & {ICH}_{j j} & {ICH}_{j z} \\ {ICH}_{X z} & {ICH}_{j z} & {ICH}_{z z} \end{matrix}]

$I_{\text{COM}}=\begin{bmatrix} I_{xx} & I_{xy} & I_{xz} \\ I_{xy} & I_{yy} & I_{yz} \\ I_{xz} & I_{yz} & I_{zz} \\ \end{bmatrix}$

Ich bin gerade in der High School und habe keine Tensoren gemacht, also habe ich keine Ahnung, was Sie geschrieben haben
@SchwarzKugelblitz Ich füge weitere Gleichungen für dich hinzu
Es würde klarer machen, dass Sie dort über den Parallelachsensatz sprechen, wenn Sie es geschafft haben ${ICH}_{P} = {ICH}_{KOM} + M (- \tilde{R} \tilde{R})$ $I_p=I_{\text{COM}}+M\,\left(-\tilde{{r}}\,\tilde{{r}}\right)$

John Alexiou · Answer 2

Betrachten Sie die allgemeine Situation. Ein starrer Körper hat Masse $m$ und Massenträgheitsmoment $\mathbf{I}_C$ entlang des Weltkoordinatensystems, gemessen am Massenmittelpunkt. Der Körper bewegt sich irgendwann mit Geschwindigkeit $\boldsymbol{v}_C$ wie im Massenmittelpunkt gemessen, und dreht sich mit $\boldsymbol{\omega}$ . Es gibt auch eine separate Sehenswürdigkeit $P$ vom Massenmittelpunkt entfernt $C$ wo Mengen gemessen werden.

Figur

Der lineare Impuls (vom ganzen Körper geteilt) wird allein durch die Bewegung des Massenmittelpunkts definiert und variiert nicht mit dem Ort
$P = M v_{C}$ $\boldsymbol{p} = m \,\boldsymbol{v}_C$
Der Drehimpuls (gemessen am Massenmittelpunkt) wird durch die Drehung des Körpers und das Massenträgheitsmoment definiert
$L_{C} = {ICH}_{C} ω$ $\boldsymbol{L}_C = \mathbf{I}_C \boldsymbol{\omega}$
Geschwindigkeit bei P
$v_{P} = v_{C} + (R_{C} - R_{P}) \times ω$ $\boldsymbol{v}_P = \boldsymbol{v}_C + ( \boldsymbol{r}_C - \boldsymbol{r}_P) \times \boldsymbol{\omega}$
Linearer Impuls in Bezug auf die Geschwindigkeit bei P
$P = M (v_{P} + ω \times (R_{C} - R_{P})$ $\boldsymbol{p} = m ( \boldsymbol{v}_P + \boldsymbol{\omega} \times (\boldsymbol{r}_C - \boldsymbol{r}_P)$
Drehimpuls um P
$L_{P} = L_{C} + (R_{C} - R_{P}) \times P$ $\boldsymbol{L}_P = \boldsymbol{L}_C + (\boldsymbol{r}_C-\boldsymbol{r}_P) \times \boldsymbol{p}$ $L_{P} = {ICH}_{C} ω + (R_{C} - R_{P}) \times M (v_{P} + ω \times (R_{C} - R_{P}))$ $\boldsymbol{L}_P = \mathbf{I}_C \boldsymbol{\omega} + (\boldsymbol{r}_C - \boldsymbol{r}_P) \times m ( \boldsymbol{v}_P + \boldsymbol{\omega} \times ( \boldsymbol{r}_C - \boldsymbol{r}_P) )$
Sofortiges Rotationszentrum
$R_{C Ö R} = R_{C} + \frac{ω \times v_{C}}{“ ω “^{2}}$ $\boldsymbol{r}_{\rm COR} = \boldsymbol{r}_C + \frac{ \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{v}_C }{ \| \boldsymbol{\omega} \|^2 }$
Sofortige Perkussionsachse (Linie, durch die der Impuls geht. Schlagen Sie hier mit einem Hammer, um zu verhindern, dass sich der Körper bewegt und dreht)
$R_{ICH A P} = R_{C} + \frac{P \times L_{C}}{“ P “^{2}}$ $\boldsymbol{r}_{\rm IAP} = \boldsymbol{r}_C + \frac{ \boldsymbol{p} \times \boldsymbol{L}_C}{ \| \boldsymbol{p} \|^2 }$

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Benutzer243798 · Answer 3

Nach langwieriger Ableitung können Sie dieses Ergebnis verwenden: $\bf{L}=\bf{L}_{cm}+\bf{r}\times M\bf{V}_{cm}$ . Hier, $\bf{r}$ ist der Positionsvektor des Massenschwerpunkts bezüglich des gewählten Rahmens (Bonus hier, Art des Rahmens spielt keine Rolle, er kann träge oder nicht träge sein), $\bf{L}$ ist der Drehimpuls im ausgewählten Rahmen, $\bf{L}_{cm}$ ist der Drehimpuls im CM-System.

Für eine reine Rotation wird also ohnehin Drehimpuls vorhanden sein $I\omega$

Bestimmung des Drehimpulses in einem Spezialfall

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Benutzer243798

Kaschmir

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