Drehimpuls des rotierenden und umlaufenden Körpers (Erde)

Beide Situationen können auf die gleiche Weise beschrieben werden. Ich denke, Ihr Problem ist, dass Sie jedes Objekt als ein Objekt behandeln, aber in Wirklichkeit sollten Sie diese Objekte als erweiterte Objekte betrachten, die aus vielen Massenelementen bestehen.

Der Drehimpuls eines Punktteilchens um einen Bezugspunkt ist gegeben durch

$$\mathbf L=\mathbf r\times\mathbf p$$

Wo$\mathbf r$ist der Positionsvektor, der vom Referenzpunkt dorthin zeigt, wo sich das Partikel befindet, und$\mathbf p=m\mathbf v$ist der Impuls des Teilchens.

Um den Gesamtdrehimpuls eines ausgedehnten Körpers zu erhalten, addieren wir einfach den Drehimpuls jedes Teilchens

$$\mathbf L=\sum_i\mathbf r_i\times\mathbf p_i$$

Wenn Sie den Winkelgeschwindigkeitsvektor kennen$\boldsymbol\omega$des Objekts sowie dessen Trägheitstensor$\hat{\mathbf I}$(alles um den gleichen Bezugspunkt/Achsen), dann kann man den Drehimpuls des Objekts auch per Matrixmultiplikation bestimmen:

$$\mathbf L=\hat{\mathbf I}\boldsymbol\omega$$

Drehimpuls eines Körpers um einen Punkt kann nicht gleichzeitig in zwei Richtungen sein, weshalb ein Rad, das sich bereits um seine Achse dreht, nicht gleichzeitig auch um seinen Durchmesser drehen kann; es kippt seitlich.

Ich bin mir nicht sicher, ob ich dem folgen kann. Ein Rad kann sich um seinen Mittelpunkt drehen, während es sich auch um seinen Durchmesser dreht. Sie können immer noch einen Referenzpunkt auswählen und den Gesamtdrehimpuls des Rads ermitteln.

Von der Sonne ausgehend zeigt der Drehimpuls der Erde senkrecht zu ihrer Rotationsebene. Die Erde dreht sich jedoch auch um sich selbst, wobei die Achse einen gewissen Winkel mit der Rotationsebene bildet, sodass sie einen anderen Drehimpuls hat, der in diese Richtung zeigt.

Hier können Sie auch einen Bezugspunkt wählen und den Gesamtdrehimpuls des Systems bestimmen.

Der Drehimpuls ist ein Vektor, also müssen wir für die Komponenten des Drehimpulses ein Koordinatensystem definieren.

I) Rad

das Koordinatensystem liegt im Radmittelpunkt und der Drehimpuls ist:

$$\vec L=I_W\,\vec\omega$$

Wo$I_W$ist der Trägheitstensor des Rades. Und$\vec\omega$die Radwinkelgeschwindigkeit.

alle Komponenten sind im radfesten Koordinatensystem angegeben

Mit dem Winkel kann sich das Rad um die x-Achse drehen$\varphi$und um die z-Achse (Durchmesser) mit dem Winkel$\psi$somit ist die Rotationsmatrix:

$$R=R_x(\varphi)\,R_z(\psi)$$ von hören können Sie die Winkelgeschwindigkeit erhalten.

II) Erd-Sonnen-System

Das Koordinatensystem ist ein Anfangssystem, das sich im Sonnenschwerpunkt befindet. der Drehimpuls ist:

$$\vec L=\vec r\times m_E\,\vec v+I_E\vec\omega$$

alle Komponenten sind im Anfangsrahmen angegeben.

Wo$\vec r$ist der Abstandsvektor zwischen Erde und Sonne,$\vec v$ist die Erdgeschwindigkeit um die,$m_E$ist die Masse der Erde,$I_E$Erdträgheitstensor u$\vec\omega$die Winkelgeschwindigkeit der Erde.

die Erde dreht sich um die Nord-Süd-Achse$\vec n$mit dem Drehwinkel$\psi$, die Rotationsmatrix ist:

$$R=R(\vec n\,,\psi)$$ damit ist die Winkelgeschwindigkeit:

$$\vec \omega=\vec n\,\vec{\dot{\psi}}$$

Der Trägheitstensor muss in das Inertialsystem transformiert werden

$$I_E\mapsto R\,I_E\,R^T$$