Wie würde sich dieses Mehrkörpersystem im freien Raum drehen?

Question

Wie würde sich dieses Mehrkörpersystem im freien Raum drehen?

Alu

Entschuldigung für den vagen Titel, aber bitte lesen Sie meine Frage unten

Stellen Sie sich einen starren Körper b vor, an dessen Rücken am Gelenk J ein Punktmassenschweif t befestigt ist . Das Heck hat 1 DoF und kann durch einen Motor mit Drehachse M (parallel zur Gierachse) betätigt werden. Das gesamte System befindet sich im freien Raum (dh keine Wirkung von Schwerkraft und Luftwiderstand) und befindet sich in Ruhe (dh kein anfänglicher Dreh-/Linearimpuls und keine externe Kraft/Drehmoment wirkt).

Nehmen Sie außerdem an, dass sich COM des Systems am Gelenk J befindet und das Heck mit der Rollachse des Körpers ausgerichtet ist.

Bearbeiten: Es wird angenommen, dass die COM des Körpers bei b ist .

Die anfängliche Konfiguration ist unten im Bild dargestellt:

Wenn nun der Schwanz gedreht wird, dreht sich der Körper in die entgegengesetzte Richtung, da kein externes Drehmoment angelegt wird und der Drehimpuls erhalten bleibt (dh Null). Da keine äußere Kraft wirkt, ändert sich die Position von COM des Systems nicht, dh das Gelenk J bleibt statisch. Das sollte so aussehen -

Aber wäre dann nicht die neue COM des Systems bei J' (da die COM des Systems auf der Linie liegen sollte, die den Massenmittelpunkt von Körper und Schwanz verbindet). Ist das nicht falsch?

Meine Frage ist, warum passiert das? Wie sollten sich der Körper und der Schwanz drehen, um sowohl die Erhaltung des Drehimpulses (kein externes Drehmoment) als auch des Massenschwerpunkts (keine externe Kraft) zu erfüllen?

Wenn möglich, antworten Sie mit relevanten Gleichungen. Bitte erläutern Sie auch anhand eines Diagramms, das die Position von Körper, Schwanz, Gelenk J und den COM des Systems zeigt, wenn dieselbe Anfangskonfiguration angenommen wird.

Bill N

Wie sind Sie zu Ihrer neuen COM-Position im Diagramm gekommen? Warum halten Sie es für richtig oder falsch?

Alu

@BillN Ich habe angenommen, dass die COM des Körpers bei b liegt [Abb. 1]. Dann sollte der COM des Systems auf der Linie liegen, die den Massenmittelpunkt des Körpers und des Hecks verbindet.

Bill N

Warum haben Sie die COM als bewegend gezeichnet? Warum haben Sie die untere Ecke der Kastenmasse gleich gelassen?

y

$y$ Ort (ggf

y

$y$ ist in Ihrem Diagramm vertikal)?

Alu

Die COM des Systems aus der Anfangsbedingung ist bei J. Der Körper dreht sich also um J. Da sollte sich die COM des Systems nicht bewegen (keine äußeren Kräfte). Aber dann, wenn wir die COM des Systems erneut berechnen, wird sie bei J' sein (wie zuvor erklärt). Die untere Ecke hat sich leicht verschoben (in der Abbildung nicht richtig sichtbar), J ist fixiert.

Antworten (3)

Wie würde sich dieses Mehrkörpersystem im freien Raum drehen?

Wie sind Sie zu Ihrer neuen COM-Position im Diagramm gekommen? Warum halten Sie es für richtig oder falsch?
@BillN Ich habe angenommen, dass die COM des Körpers bei b liegt [Abb. 1]. Dann sollte der COM des Systems auf der Linie liegen, die den Massenmittelpunkt des Körpers und des Hecks verbindet.
Warum haben Sie die COM als bewegend gezeichnet? Warum haben Sie die untere Ecke der Kastenmasse gleich gelassen? $y$ Ort (ggf $y$ ist in Ihrem Diagramm vertikal)?
Die COM des Systems aus der Anfangsbedingung ist bei J. Der Körper dreht sich also um J. Da sollte sich die COM des Systems nicht bewegen (keine äußeren Kräfte). Aber dann, wenn wir die COM des Systems erneut berechnen, wird sie bei J' sein (wie zuvor erklärt). Die untere Ecke hat sich leicht verschoben (in der Abbildung nicht richtig sichtbar), J ist fixiert.

Gary Godfrey · Answer 1

Das gesamte Objekt ruht in einem externen Koordinatensystem S, das auf Ihrem Zeichenpapier befestigt ist. Das heißt, der CM des Objekts (der Punkt J ) ist bei $\vec{x}$ in Sand $\vec{x}$ ändert sich nicht mit der Zeit. Nachdem eine kleine Feder (die Teil des Objekts ist) den Schwanz in Bezug auf den Körper dreht, befindet sich das neue CM bei J' , als hätten Sie es auf den Körper gezeichnet, außer dass Sie J' auf Ihrem Zeichenpapier fälschlicherweise von J wegbewegt haben . J' bleibt bei $\vec{x}$ und Sie sollten den gebogenen Schwanz + Körper weiter unten auf dem Papier gezeichnet haben, um dies zu erreichen.

Dies ist nur eine ausgefeilte Form von Michael Seiferts Antwort, die richtig lautete: " J' wird an der ursprünglichen Position von J im Raum landen ". Du hättest deine zweite Zeichnung nur so verschieben sollen, dass J' an der gleichen Stelle wie J auf deinem Zeichenpapier war.

Jalex · Answer 2

Wenn Sie Körper b fixieren und das Heck bewegen würden , wäre der COM eine Funktion des Heckwinkels. Verwenden Sie ein Koordinatensystem, in dem sich das Gelenk J im Ursprung befindet, und ermitteln Sie den COM als Funktion des Heckwinkels $\theta$

C Ö M (θ) = (\begin{matrix} \frac{M_{B} C - M_{T} ℓ \cos θ}{M_{B} + M_{T}} \\ \frac{- M_{T} ℓ Sünde θ}{M_{B} + M_{T}} \end{matrix})

$\mathbf{COM}(\theta) = \pmatrix{ \frac{ m_b c - m_t \ell \cos \theta}{m_b + m_t} \\ \frac{ - m_t \ell \sin \theta}{m_b + m_t} }$

so dass mit $c = \frac{m_t}{m_b} \ell$ Und $\theta =0$ die COM ist am Ursprung.

Wenn nun Körper b frei ist, könnte das Gelenk kinematisch an jeder Stelle sein. Ich verwende die Koordinaten $\pmatrix{x_b \\ y_b}$ für die Lage des Gelenks.

Aus der Kinetik des Problems bleibt der Massenmittelpunkt am Ursprung fixiert, was bedeutet, dass Folgendes wahr sein muss

(\begin{matrix} X_{B} \\ j_{B} \end{matrix}) + (\begin{matrix} \frac{M_{B} C - M_{T} ℓ \cos θ}{M_{B} + M_{T}} \\ \frac{- M_{T} ℓ Sünde θ}{M_{B} + M_{T}} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix})

$\pmatrix{x_b \\ y_b } + \pmatrix{ \frac{ m_b c - m_t \ell \cos \theta}{m_b + m_t} \\ \frac{ - m_t \ell \sin \theta}{m_b + m_t} } = \pmatrix{0 \\ 0}$

was die folgende Lösung der gemeinsamen Position ergibt

X_{B} = - \frac{M_{B} C - M_{T} ℓ \cos θ}{M_{B} + M_{T}}

$x_b = -\frac{ m_b c - m_t \ell \cos \theta}{m_b + m_t}$

j_{B} = \frac{M_{T} ℓ Sünde θ}{M_{B} + M_{T}}

$y_b = \frac{ m_t \ell \sin \theta}{m_b + m_t}$

Also wenn sich das Heck mit verschiebt $\theta$ Wie oben gezeigt, bewegt sich das Gelenk ein wenig nach oben und nach links. Aber die COM bleibt auf (0,0).

Aber da es keine externen Kräfte gibt, sollte sich der COM des Systems nicht bewegen, oder? Wenn es sich bewegen wird, verletzen wir dann nicht Newtons zweites Bewegungsgesetz?
Außerdem bin ich mit den Gleichungen in deinem Fall etwas überfordert, wenn möglich bitte in einfachen Worten erklären.
@Alu - das stimmt. Der kombinierte COM bleibt fest, aber der Drehpunkt beschleunigt vertikal. Ausgehend vom Ruhezustand ist der vertikale Beschleunigungsvektor des Hecks $\frac{M}{m_t \ell}$ während die Beschleunigung des Körpers COM ist $-\frac{M}{m_b \ell}$ . So ist die Beschleunigung des kombinierten COM $M_{T} (\frac{M}{M_{T} ℓ}) + M_{B} (- \frac{M}{M_{B} ℓ}) = 0$ $m_t (\frac{M}{m_t \ell}) + m_b (- \frac{M}{m_b \ell}) = 0$
Wie in der Anfangsbedingung angenommen, liegt der COM am Drehpunkt J, also sollte sich Drehpunkt J theoretisch nicht bewegen. Entschuldigung, aber ich kann Ihren Punkt immer noch nicht verstehen.
Bei Mehrkörpersystemen bewegt sich das kombinierte COM nicht (oder bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit), aber das bedeutet nicht, dass sich der Drehpunkt nicht bewegt. Der Pivot ist nicht der COM, er fällt einfach in diesem Moment zusammen. Jede Konfiguration des Schwenkwinkels führt zu einer anderen COM-Position relativ zum Hauptkörper (er bewegt sich mit dem Heck).
@Alu - hat die Antwort komplett neu geschrieben, in der Hoffnung, dass Sie verstehen, was hier vor sich geht.

Michael Seifert · Answer 3

Michael Seifert

Wenn $J$ im Raum fixiert ist, dann ist der Körper nicht frei und es können Kräfte auf das System ausgeübt werden, die es dem COM ermöglichen, sich zu bewegen. Alternativ ggf $J$ nicht festgelegt ist, bleibt die COM in Ruhe; und wenn sich der "Schwanz" relativ zum "Block" bewegt, dann $J'$ wird an der ursprünglichen Position von enden $J$ im Weltraum.

Alu

J ist in keiner Weise gelagert, dh es ist ebenso frei beweglich wie das ganze System, das sich im freien Raum befindet. Da der COM des Systems jedoch bei J liegt, bewegt er sich nicht, da keine externe Kraft oder kein Drehmoment auf das System einwirkt.

Michael Seifert

@Alu: Mein Punkt ist, dass die Gesetze der Physik besagen, dass die COM für ein isoliertes System festgelegt bleibt. So lange wie

J

$J$ Liegt es zufällig an der COM, bleibt es fest. Aber wenn sich die Massenverteilung im Körper ändert, und

J

$J$ liegt dann nicht mehr an der COM

J

$J$ muss sich von seinem ursprünglichen Standort entfernen.

Alu

Könnten Sie bitte mit einem Diagramm erklären, das die Position des Körpers, des Schwanzes, des Gelenks J und des COM des Systems zeigt. Gehen Sie von derselben Anfangskonfiguration aus.

Michael Seifert

@Alu: Ich werde wahrscheinlich in den nächsten Tagen keine Zeit haben, ein Diagramm zu erstellen, aber ich werde versuchen, mich daran zu erinnern, darauf zurückzukommen, wenn ich mehr Zeit habe. Ehrlich gesagt würde Ihr obiges Diagramm dafür ziemlich gut dienen, wenn Sie die neue Konfiguration so verschieben würden

J^{'}

$J'$ liegt am alten Standort von

J

$J$ .

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