Drehmoment um den Ursprung eines Partikels mithilfe des Trägheitsmoments (in 2D)

(Sie können diese Herleitung überspringen und zu meiner letzten Frage gehen, wenn Sie bereits mit den Ergebnissen vertraut sind$(1)$Und$(2)'$aus dieser Ableitung)

Angenommen, wir befinden uns in der xy-Ebene:

In zwei Dimensionen können Sie das Drehmoment definieren$\tau$als

$$\tau = I_O \ddot{\theta}$$ Wo $I_O$ist das Trägheitsmoment eines Körpers um den Ursprung $O$Und $\ddot{\theta}$ist die Winkelbeschleunigung des Massenmittelpunkts des Körpers um den Ursprung.

Nach dem Parallelachsensatz ist das Trägheitsmoment eines Teilchens um den Ursprung

$$I_O = d^2M$$ Wo $d$ist der Abstand zwischen dem Ursprung und dem Teilchen und $M$ist die Masse des Teilchens.

Nehmen wir nun an, dass die Position eines Masseteilchens in Polarkoordinaten$M$, vom Ursprung referenziert, ist durch den Vektor gegeben

$$\mathbf{r} = r\hat r+\theta\hat\theta$$

Der Abstand zum Ursprung ist einfach$r$also bekommen wir

$$I_O = r^2M$$

das Drehmoment ist also einfach

$$(1):= \tau = Mr^2\ddot{\theta}$$

Wir berechnen das Drehmoment erneut, indem wir die bekannte Tatsache verwenden, dass

$$(2):=\tau = Force \cdot Distance = Fr$$ Wo $F$ist die Nettokraft auf das Teilchen in der $\hat \theta$Richtung, da die Kraftkomponente in der $\hat r$Richtung trägt nicht zum Drehmoment bei.

Nach dem zweiten Newtonschen Gesetz können wir die Kraft schreiben$F$als Produkt der Teilchenmasse$M$und seine Beschleunigung$a_{\theta}$im$\hat \theta$Richtung

$$(3):= F=Ma_{\theta}$$

Die Beschleunigung des Teilchens in der$\hat \theta$Richtung kann gefunden werden, indem man zwei zeitliche Ableitungen seines Positionsvektors nimmt$\mathbf{r}$, und dann das Skalarprodukt mit dem Einheitsvektor bilden$\hat \theta$. Dadurch bekommen wir

$$(4):= a_{\theta}=\ddot{\vec{r}} \cdot \hat \theta = r\ddot{\theta} + 2\dot{r}\dot{\theta}$$

Mit$(4)$wir können schreiben$(3)$als

$$F=M( r\ddot{\theta} + 2\dot{r}\dot{\theta})$$

Und$(2)$als

$$(2)':=\tau= Mr( r\ddot{\theta} + 2\dot{r}\dot{\theta}) = Mr^2\ddot{\theta} + 2Mr\dot{r}\dot{\theta}$$

Jetzt vergleichen wir endlich$(1)$Und$(2)'$:

$$(1)= \tau = Mr^2\ddot{\theta}$$ $$(2)'= \tau = Mr^2\ddot{\theta} + 2Mr\dot{r}\dot{\theta}$$

Wir sehen das$(1)$Und$(2)'$kann nur gleich sein, wenn$\dot r = \dot \theta = 0$, was nur gilt, wenn das Teilchen keine Geschwindigkeit hat.

Was geht hier vor sich? Ist$I_O = d^2M$nur gültig, wenn das Teilchen keine Geschwindigkeit hat? Was ist mit einem echten starren Körper aus mehreren Teilchen, kann der Parallelachsensatz nicht angewendet werden, wenn die Geschwindigkeit ungleich Null ist?